2014年华约自主招生数学试题及答案

2014年华约自主招生数学试题

1.1

2

3

4

5

,,,,x x x x x 是正整数,任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数.

2.乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率是1()2

p p >,甲赢得比赛

的概率是q ,求p 为多少时,q p -取得最大值.

3.函数()sin )sin()2sin (0)4

f x x x x a x b a π

-+-+>的最大值为1,最小值为4-,求,a b 的值.

4.(1)证明(())y f g x =的反函数为1

1

(())y g f x --=;

(2)1

()(),()()F x f x G x f x -=-=,若()G x 的反函数是()F x ,证明()f x 为奇函数.

5.已知椭圆22

221x y a b

+=与圆222x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,切

点分别为,P Q ,直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.

6.已知数列{}n a 满足:110,n

n n a a np qa +==+.(1)若1q =,求n

a ;(2)若||1,||1p q <<,求证:数列{}n

a 有界.

7.已知*,,n N x n ∈≤求证:2

(1)n x x n n e x n

--≤.

华约参考答案:

1.【解】五个数任取四个应该可以得到45

5C =个不同的和,现条件中只

有4个不同的和,故必有两个和值相同.而这五个和值之和为1

2

3

4

5

4()x x x x x ++++,是4的倍数,所以这个相同的和值只可能是46,

从而有1

23454445464647

57

4

x

x x x x ++++++++==,故这五个数分别为

57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2.【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为3

p ;

若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为23

3

(1)C p p -; 若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为232

4

(1)C p p -,因此

3

23

232

3

4

(1)(1)q p C p p C p p =+-+-,

所以3

2323254334(1)(1)61510q p p C p p C p p p p p p p -=+-+--=-+-,12

p >

; 设5

43()61510f p p p p p =-+-,1

2

p >

,则432()3060301f p p p p '=-+-, 即432221()306030130[(21)]30

f p p p p p p p '=-+-=-+-,

所以22221()30[(1)]30(

30f p p p p p p p '=--=--,

又因为1(,1)

2p ∈,所以2p p <,故20p p -<,

所以令()0f p '=时,即2

p

p -+

=,得12p =

=

±;

又因为1(,1)2

p ∈,所以取12p =+,

易知当11(,22p ∈+时,1()0,(2f p p '>∈时,()0f p '<,

所以当12p =

+,()f p 有唯一极大值,也是最大值.

3.【解】易知2

221

()(cos

sin )2sin sin 2sin 2

f x x x a x b x a x b =--+=--++

,令sin t x =, 则问题等价于2

1

()22

g t t

ax b =--++

在[1,1]-上的最大值和最小值分别为1和4-.

①当对称轴1t a =-≤-,即1a ≥时,则()g t 在[1,1]-上递减,则

1(1)21,21(1)242g a b g a b ⎧

-=+-=⎪⎪⎨

⎪=-+-=-⎪⎩

,解得5,41a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ②当对称轴10a -<-<,即01a <<时,则2

1()121(1)24

2g a a b g a b ⎧-=++=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩

,

消去b 得2240a a +-=,

解得1(0,1)a =-±,舍去. 综上①②可知,5,14

a b ==-为所求.

4.【解】(1)证明:由反函数定义可知(())y f g x =的反函数为(())x f g y =,

故

1

1

()((()))()f x f f g y g y --==,从而1

1

1

(())(())g f x g g y y ---==, 所以1

1

(())y g f x --=为(())y f g x =的反函数.

(2)由()G x 的反函数是()F x ,故1

(())(())G F x G G x x -==,

则()((())),f x f G F x =又因为1

()()G x f x -=,所以1

(())(())G F x f F x -=-,

代入得1

()((())),((()))()()f x f G F x f f F x F x f x -==-=-=--,所以()f x 为奇函数.

5.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222

x y b +=的

切点弦,其方程为2

(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b b

x y a θθ

==

,

于是33

1||||2|sin 2|EOF E F b b S x x a a

θ∆=⋅=

≥,

当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 6.【解】(1)当1q =时,1n n n a a np +-=,则11(1)(2)n n n a a n p n ---=-≥

由累加法得1

1

2

2

1

1

(2)n

n

n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥, 即2

3

1

23(1)(2)n n

a p p p n p n -=++++-≥ (1)

①当1p =时,(1)

;2

n

n n a

-=

当1n =时,10a =也适合; ②当1p ≠时,232(1)n n pa p p n p =+++- (2)

由(1)-(2)得231(1)n n n

n a

pa p p p p n p --=++++--, 所以112

(1)

(1)(1)11(1)n n

n n n p p n p n p np p p

a p p -+-----+-==--,当1n =时,10a =也适合;