简单线性规划(整点解问题)

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7.4简单的线型规划 2x+y ≥ 15 x+2y ≥ 18 15 已知 x+3y ≥27 12 A 9 x ≥0 6 y≥0 x 3 z 求z=x+y的最小值 O 3 6 9 12 15 18 21 24 27 解：如图，作出可行域 x+3y=27 x+2y=18 2x+y=15 x+y=z 并作出直线l：x+y=z 显然，当l过点A时，z最小 2x+y = 15 3 4 得A(3 , 7 ) 由 x+3y =27 5 5
7.4简单的线型规划
7.4简单的线型规划(3)
——整点解问题
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7.4简单的线型规划 一、朝花夕拾
图解法解简单线性规划问题的步骤
(1)画可行域； (2)比较斜率，画目标直线l；
(3)平移l，找最优解； (4) 求交算出最优解，并求最值
解简单线性规划应用题的步骤
(列 ) 设 写 作 移 定 答
先将z调整为120,
即10x+10y=120, 得y=12-x, 代入线性约束条件 整理得 3≤x ≤4.5 x=3 x=4 故 y=9 或 y=8 即当x=3，y=9， 或当x=4，y=8时 zmin=120
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7.4简单的线型规划
三、练习反馈
某公司承揽了一项业务, 需做文字标牌2个,绘画 标牌3个.现有两种规格原料,甲种规格每张3m2,可做文 字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2m2,可做文字 标牌2个,绘画标牌1个,求两种规格的原料各用多少张, 才能使总的用料面积最小?
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（6）定:
①平移找解法:打网格,描整点,平移目标函数线, 确定首 先经过的整点. 要求作图准确，易 出现模糊点，可操作 性不强！
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7.4简单的线型规划 ②优值调整法: 当直线x+y=z 移至A(3.6,7.8)时, zmin=11.4, 由x,y取整数知: z 必为整数, 先将z调整为12, 即x+y=12, ∴ y=12-x或 x=12-y, 将y=12-x代入约束条件得：
分析:列
标牌类型 规格类型
文字标牌 绘画标牌 1 2 2 2 1 3
面积 (m2 )
甲规格 乙规格
标牌需求量
3 2
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标牌类型 规格类型
文字标牌 绘画标牌
1 2 2 2 1 3
面积 (m2 )
甲规格 乙规格
标牌需求量
3 2
解: 设用甲种规格原料x张,乙种规格原料y张,所用总 面积为 z m2.则目标函数为z=3x+2y, x 2 y≥ 2 2x y ≥3 约束条件为: x ≥ 0 y ≥ 0
7.4简单的线型规划 2x+y ≥ 15 代入线性约束条件 第 x+2y ≥ 18 整理得 3.5≤x ≤4 一 已知 x+3y ≥27 变： 故x=4， y=23/3 x∈ N y∈ N 不合题意 求z=2x+3y的最小值 再将z调整为32, 即2x+3y=32, 解： 如图，作出可行域 得y=(32-2x)/3, 并作出直线l：2x+3y=z 代入线性约束条件 显然，当l移至过A(3.6,7.8)时, 整理得 3.25≤x ≤5 zmin=30.6 x=4 x=5 (舍) 但由x,y ∈N知: z ∈N 故 y=8 或 y=22/3 先将z调整为31, 即2x+3y=31, 即当x=4，y=8时 得y=(31-2x)/3, zmin=32
7.4简单的线型规划
四、本课小结
寻找“整点”最优解的方法：
①打网格，平移找解法: ②优值调整法: 其步骤是 (1)寻找非整点最优解； (2)回调优值； (3)将回调优值代入线性约束条件，解x，y 范围，并找到整点(x,y) 注意：(1)回调时注意z的整除性； (2)可能需多次回调。
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2 3 4 故当x= 3 ，y= 7 时，zmin= 30 5 5 5
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y
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二、探索研究
问题
要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每 张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型 钢板类型
A规格 2 1
B规格 1 2
C规格 1 3
第一种钢板 第二种钢板
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块。
问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所
用钢板张数最少。
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（1） (列 )
规格类型
钢板类型
A 规格
B 规格
C 规格
第一种钢板 第二种钢板
x y
2x 1y 15
1x 2y 18
1x 3y 27
各规格成品数
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0
l0 :3x 2 y 0
作出可行域如图:
, 1)时, z有最小值， 作直线l0:3x+2y=0,平移l 0 到经过可行域内点A( 4 3 3 , 调整z= 5， 此时z=3x+2y 14 3
可得经过可行域内整点B(1,1)时, zmin=5(m2) 答： 用甲、乙两种原料各为1张时，可使总用料面积最小为 5m2. 怀化铁路第一中学
（2）设： 所需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，两种钢 板共z张. 2x y 15 ≥ x 2 y≥ 18 z x y 写：线性约束条件 目标函数： （3） ≥ 27 x 3 y 0 x≥ y ≥ 0 几何画板演示
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7.4简单的线型规划 2x+y ≥ 15 第 x+2y ≥ 18 二 已知 x+3y ≥27 变： x∈ N y∈ N 求z=10x+10y的最小值 解： 如图，作出可行域 并作出直线l：10x+10y=z 显然，当l移至过A(3.6,7.8)时, zmin=114 但由x,y ∈N知: z是10的倍数
2 x y 15, x 2y 18, x 3y 27, x 0, y 0,
2 x (12 x ) 15, x 2(12 x ) 18, x 3(12 x ) 27, x 0, 12 x 0,
x 3 x 4 3 x 4.5 x 3, 或x 4, ，或 y 9 y 8 若调整z=12仍无整数解，应继续调整，直到找到为止.
x 3, x 6, 9 x , 2 x 0, x 12,
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y
4 3 2 1

x 2 y≥ 2 ≥3 2x y x ≥ 0 y ≥ 0

1
B(1,1)
4 ,1 ) A ( 3 3
2x y 3
2 3 4 5 6
z=3x+2y,
x
x 2y 2