21.6综合与实践 获取最大利润

21.6综合与实践获取最大利润

龚先奎

教学目标:

经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值;能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次

函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.

过程与方法

经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.

情感与价值观要求

体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值.增进对数学的理解和学好数学的信心;认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

重点难点:

教学重点

探索销售中最大利润问题;能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用

二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值,发展解决问题的能力.

教学难点

运用二次函数的知识解决实际问题.

教学过程:

创设问题情境,引入新课

前面我们认识了二次函数,研究了二次函数的图象和性质,由简单的二次函数y=x2开始,

然后是y=ax2.y=ax2+c,最后是y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,掌握了二次函数的三种表示方式.怎么突然转到了获取最大利润呢?看来这两者之间肯定有关系.那么究竟有什么样的关系呢?我们本节课将研究有关问题.

探究新知、学习新课

一、有关利润问题

某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足

如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.

请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?

没销售单价为x(x≤13.5)元,那么

(1)销售量可以表示为 ;

(2)销售额可以表示为 ;

(3)所获利润可以表示为 ;(4)当销售单价是元时,可以获得最大利润,最大利润

是 .

从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题:有关利润问题.不过,这也为我们以后就业做了准备,今天我们就不妨来做一回商家.从问题来看就是求最值问题,而最值问题是二次函数中的问题.因此我们应该先分析题意列出函数关系式.

获利就是指利润,总利润应为每件T恤衫的利润(售价一进价)乘以T恤衫的数量,设销售单价为x元,则降低了(13.5-x)元,每降低1元,可多售出200件,降低了(13.5-x)元,则可多售出200(13.5-x)件,因此共售出500+200(13.5-x)件,若所获利润用y(元)表示,则y=(x-

2.5)[500+200(1

3.5-x)].

(1)销售量可以表示为500+200(13.5-x)=3200—200x.

(2)销售额可以表示为x(3200-200x)=3200x-200x2.

(3)所获利润可以表示为(3200x-200x2)-2.5(3200-200x)=-200x2+3700x-8000.

(4)设总利润为y元,则y=-200x2+3700x-8000=-200(x- .

∵-200<0 ∴抛物线有最高点,函数有最大值.当x= =9.25元时,

y最大= =9112.5元. 即当销售单价是9.25元时,可以获得最大利润,最大利润是9112.5元.

二、做一做

还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.

我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测,现在验证一下你的猜测是否正确?你是怎么做的?与同伴进行交流.

因为表达式是二次函数,所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值.

所以y=-5x2+100x+60000

=-5(x2-20x+100-100)+60000

=-5(x-10)2+60500.

当x=10时,y最大=60500.

三、议一议

(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.

(2)增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上? 图象如上图.

(1)当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小.

(2)由图可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.

补充例题

已知——个矩形的周长是24 cm.

(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式.

(2)画出这个函数的图象.

(3)当a长多少时,S最大?

(1)S=a(12-a)=a2+12a=-(a2-12a+36-36)=-(a-6)2+36.

(2)图象如下:

(3)当a=6时,S最大=36.

课堂练习 P61

解:设销售单价为;元,销售利润为y元,则

y=(x-20)[400-20(x-30)] =-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.

所以当x=35元,即销售单价提高5元时,可在半月内获得最大利润4500元.

课时小结

本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受了数学的应用价值.

学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值,提高解决问题的能力.

课后作业

习题2.7

活动与探究

某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40~70元之间.市场调查发现:若每箱以50元销售,平均每天可销售90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱,价格每升高1元,平均每天少销售3箱.

(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式.(注明范围)

(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=售价-进价).

(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求当x=40,70时W的值.在坐标系中画出函数图象的草图.

(4)由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润为多少?

解:(1)当40≤x≤50时,则降价(50-x)元,则可多售出3(50-x),所以y=90+3(50-x)=-3x+240.当50

因此,当40≤x≤70时,y=-3x+240.

(2)当每箱售价为x元时,每箱利润为(x-40)元,平均每天的利润为W=(240-3x)(x-40)=-

3x2+360x-9600.

(3)W=-3x2+360x-9600=-3(x2-120x+3600-3600)-9600 =-3(x-60)2+1200.

所以此二次函数图象的顶点坐标为(60, 1200).

当x=40时,W=-3(40-60)2+1200=0;

当x=70时,W=-3(70-60)2+1200=900.

草图略.

(4)要求最大利润,也就是求函数的最大值,只要知道顶点坐标即可.

由(3)得,当x=60时,W最大=1200.

即当牛奶售价为每箱60元时,平均每天的利润最大,最大利润为1200元.