算符对易

(∆ X ) (∆ p )
2 x
2
h2 ≥ 4
(40)
证明：令函数 I (ξ ) =
其中ξ 为实参数，即分区域为变量变化的整个空间
∫(
ˆ ˆ ξ∆F − i∆G ψ dτ ≥ 0
)
2
I (ξ ) = ∫
(
ˆ ˆψ − i∆Gψ ξ ∆Fψ ˆ ξ∆F
) (
) (
∗
ˆ + i ∆Gψ
)
∗
En , l ( l + 1) h 2 , mh 确定值：
三、力学量完全集
1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量， 通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量， 称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。 2.例：自由粒子，3个自由度： 氢原子中电子，3个自由度： 数
px , p y , pz
∞
(36)
1.两个算符对易的条件即两个算符所表示的力学量同 时有确定值的条件。 ˆ ˆ 如果两个算符 F 和 G 有一组共同本征函数 {φn } ，而 ˆ ˆ 且 {φn }组成完全系，则算符 F 和 G 对易。 证明：
Fφn = λnφn , Gφn = µnφn , 而ψ = ∑ anφn
n n
称上面三组算符之间对易
(9)
(10)
一般结论：动量分量算符和它对应的坐标算符不对易。 $ $ x , p x , $ , p y , z , p z ；而和它不对应的坐标之 y ≠0 如 $ $ 间对易（如 和 px ，y 和 y ），动量各分量算符之 p x 间是对易的。
(
)(
) (
)(
)
ˆ ˆ ˆ ˆ 注： ∆F , ∆G = F , G
ˆ ˆ ˆ I (ξ ) = ∆F ξ + kξ + ∆G
2 2
(42) 可以作为公式使用
上式 I (ξ ) ≥ 0 为二次多项式，系数必须满足 2 2 k2 ˆ ˆ ∆F ∆G ≥ (39) 4 （44）称为测不准关系，是量子力学最重要的关系。
A+ B+C = A+ B +C
(
) (
)
(16)
(c)算符之积，
( AB )ψ = A ( Bψ )
(17)
算符 AB 对ψ 的运算结果，等于B 先对 ψ 运算，然后再 用 A 对 Bψ 运算。一般说来算符之积不满足交换率：
AB ≠ B A (18) $ $ $ 典型例子： x, px = x px − px x = i h
∗ ∗
所以
2 ∗
ˆ ξ ∫ψ ∆F ψ dτ −
而
( )
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ iξ ∫ψ ∆F∆G −∆G∆F ψ dτ + ∫ψ ∆G ψ dτ
∗ ∗
(
)
( )
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∆F ∆G − ∆G ∆F = F − F G − G − G − G F − F ˆˆ ˆˆ =FG − GF = ik
关系。显然（1）（2）两种操作之间结果不同： $ $ x p ψ − p xψ = i hψ (3)
x x
$ $ 其中ψ 为任意波函数 ∴ x px − px x = i h
(4)
记为
$ x, p x = i h A − B ≡ AB − B A (5)
$ （5）式称为算符 x 和 px 的对易关系(comutation $ relation),等式不为零，我们说，x 与 px 不对易。
(25)


(26)
(26)式即为角动量各分量间对易关系合写式，分开写 为：
l , l = 0, l , l = 0, l , l = 0 x x y y z z lx , lz = i hlz , l y , lz = ihlx , lz , lx = i hl y
四、测不准关系
1.设 和 的对易关系为
n, l , m
ˆ F
三个量子 v ˆ , lˆ , l → H z
ˆ G ˆ ˆˆ ˆˆ FG − GF = ik
(37)
令
ˆ ˆ ˆ ˆ F = F − F, G = G − G
2
(38)
ˆ ˆ 则 ( ∆F ) ∆G
( )
2
k2 ≥ 4
(39)
ˆ ˆ 如果 k 不为 0 ，则 F 和 G 的均方偏差不会同时为 0， 乘积大于某一正数。例如 x, px = ih 则
(19)
2）角动量算符之间的对易关系 力学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系 量之间的对易关系。 v v v 角动量算符定义： l$ = r × p
xα , pβ = i hδαβ 和恒等式(19)之一，可以导出其它力学
(20)
分量式： lx , x = 0, lx , y = i hz , lx , z = −i hy l y , x = −i hz , l y , y = 0, l y , z = i hx lz , x = i hy, lz , y = −i hx, lz , z = 0 (22)式合并写为 lα , xβ = ε αβγ i hxγ
−∞
h 2 ∞ − p = + Nn ∫ e −∞ i =− p =0
dτ
ˆ = ξ ∫ ∆Fψ
)( ) ˆ ˆ dτ + ∫ ( ∆Gψ )( ∆Gψ ) dτ
ˆ ∆Fψ
∗ ∗
(
ˆ dτ − iξ ∫ ∆Gψ (41)
(
)(
ˆ ∆Fψ
) (
∗
ˆ − ∆Fψ
)(
ˆ ∆Gψ
)
∗

ˆ ˆ ∆F , ∆G ：厄密算符：∫ψ Fψ dτ = ∫ ( Fψ ) ψ dτ
由于ψ 为任一波函数，所以 FG − GF = 0 即 F , G = 0
n
( FG − GF )ψ
(
= ∑ an ( λn µn − µn λn ) φn = 0
对易
)
逆定理：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完 全系的共同本征函数。 两个算符对易的条件可以推广到任一多个算符，逆 定理也是。如果一组算符有共同的本征函数，而且这 些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一 个和其余算符对易。反之亦然。
( )
( )
2
≥0
(43)
( )( )
ˆ ˆ ˆ ˆ 当 F , G 不对易， ≠ 0 ，则 F , G 的均方偏差不能同 k 时为0，而者乘积恒大于某一正数。
ˆ ˆ 令 F = x, G = px , 则 x, px = ih 即 k=h
∴ ( ∆x )
2
( ∆px )
2
2 h ≥ 4

2.力学量共同本征函数的例子：
v a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 ψ p =
1
同时具有确定值 px , p y , pz ,
( 2π h )
3 2
e
i v v p•r h
v2 ˆ b)氢原子的哈密顿 பைடு நூலகம் ，角动量平方算符 L ，角动量子 ψ 分量 Lz 互相对易，共同本征函数： nlm ( r ,θ , ϕ ) ，
−1
−1
(33)
(b) 算符的函数 设给定一函数 F ( x ) 存在各阶导数，幂级数张开收敛：
F ( x) = ∑
n −0 ∞
F ( n) ( 0 ) n!
xn
(34)
d ax 如 F ( x) = e : F = e dx
a
d dx
二、两个算符对易的条件
an d n =∑ n! dxn n=0
∆x ≤ a, ( ∆x ) ( ∆px )
2
2
h2 h2 2 ≥ , ( ∆px ) ≥ 4 4a
∆T =
( ∆px )
2µ
2
h ≥ 8µ a
2
例2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小 能量 p2 1 E= + µω 2 x 2 2µ 2 ∞ 2 −α 2 x 2 而 x = Nn ∫ e H n2 (α x ) xdx = 0
(22)


(23)
式中
ε αβγ
为levi-Civifa符号，定义为
εαβγ = −εβαγ = −εαγβ ε123 = 1 α, β , γ = 1,2,3或x,y,z
(24)
对换任意两个指标 α , β , γ , ε αβγ 变号，有两个指标相 同则为0，如 ε112 = ε121 = 0 同理， lα , pβ = ε αβγ ih pr 所以， lα , lβ = ε αβγ i hlr
(d)对易式的代数恒等式：
A, B = − B, A A, B + C = A, B + A, C A, BC = B A, C + A, B C AC, B = A B, C + A, C B A, B, C + B, A, C + C, A, B = 0
(a) 逆运算 设 A = φ (31) 能够唯一解出 ，则定义算符 A ψ −1 −1 的逆 A 为： A φ = ψ (32) 不是所有算符存在逆算符，如矢量分解，投影算符。
又
( )
A, A−1 = 0 AA = A A = I ,∴ −1 −1 −1 AB = B A
A ( C1ψ 1 + C2ψ 2 ) = C1 A 1 + C2 A 2 ψ ψ (12)
描写客观测量的都是线性算符，这是态迭加原理的反 映。
$ 单位算符 I ：满足
$ Iψ = ψ
(13)
(b)算符之和，满足
( A + B )ψ = Aψ + Bψ
(15)
2
pr 2 h 2 l2 如哈密顿算符 H = T + U ，而 T = − ∇ = , + 2µ 2µ 2µ r ∂ 1 pr = −i h + ， A + B = B + A ， ∂r r
(27)
将上式非0式合写，成为:
v v v ˆ × lˆ = i hlˆ l
(28)
另外，定义：角动量平方算符 v2 v2 v2 v2 l = lx + l y + lz (29) v l 2 , l = 0, α = x, y, z 则 (30) α v2 而 l 和 lx , l y , lz 的球坐标表达式以在3.2节中讲过。 3）算符一般性质补充
同理
$, p y = ih y
$ z, pz = ih
(6)
(7)
注意(5),(6),(7)左边[ ]表算符乘积交易次序之差（测量 次序不同结果不同） 另外:
$ x, p y = 0
(8)
$ , pz = 0 y
px , p y = 0
(5),(6),(7)可合并记为 xα , pβ = ihδαβ (8),(9),(10)可合并记为 pα , pβ = 0 (11)式为量子力学基本对易式
α =1,2,3,
(11)
2.其它力学量之间的对易关系
1 1）量子力学中算符的一般性质： （a）线性算符：满足
坐标——动量测不准关系
当坐标x的均方偏差 ( ∆x ) 越小，即测量粒子位置越准 确，则测其共轭动量 px 的均方偏差越大；反之亦然。 类比：光的单缝衍射。
2
2.测不准关系的应用例子
例1）隧道效应中的粒子能量 v 2 ˆ p p ˆ ˆ ˆ ˆ E= + U ( x) → H = + U ( x) = T + V (44) 2µ 2µ ˆ ˆ 由于 x 与 p 不对易，所以动能算符与势能算符不对易， 所以（44）式应理解为一个态中平均总能量为平均势 能和平均动能之和，注意，求平均值对变量变化的整 a) 个区域积分。当粒子在势垒范围内 ( ∆x 被发现时， 由测不准关系粒子动能就在一定范围内不确定：
§3.7
算符的对易关系
测
两力学量同时有确定值的条件 不准关系
一、算符的对易关系 1.对于任一波函数ψ ，有
h ∂ h ∂ h $ pxψ = xψ ) = x + ψ ( i ∂x i ∂ψ i
$ p ψ = h x ∂ψ x x i ∂x
(1)
(2)
注意：算符的意义是对波函数（状态）进行运算操作， 算符之间的关系是先后对同一波函数操作的结果之间的