第04章 平面一般力系

4.1.2
力的平移定理
d
F'
F'
B
A
F
B
F
A
B
A
M
F"
(F )
( F, F' , F" )
( F' , M )
M Fd M B F
定理:作用于刚体上一点的力可以平移到刚体上另一
点,不改变力的大小和方向；同时附加一个力偶, 附加力偶的力偶矩等原力对新的作用点之矩。
几个性质：
1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的
以A为简化中心，有
y x
xc
F
q0
x l
B
F ' Fx 0 Fy Fy lim q0 l
l 0 x 0
(
q0 x x) l
A
x
xdx 2 l
x 0
q0
M A M A ( F ) lim
(
q0 x x) x l
式中x随 m2、m3 而变，其他各量都是不变的。
欲使起重机不翻倒
应有
2
0 xa
(1) 空载时， m=0，w=0， x>0，由(a )式得
m1 (a b) m3 c 0
即得
m1 (a b) 50(3 1.5) m3 37.5t c 6
（2） 满载时， m2 =25t，x< a 由( a ) 式得
由整体
局部
或
由局部
整体
[例] 已知：三铰刚架受力及尺寸如图。求：固定铰支座 A
B 的反力和中间铰C 处的压力。 解：㈠ 研究刚架系统整体
刚架受力分析如图，列 平衡方程求解：
M
A
( F ) 0,
① ②
YBl Ga G(l a) Ph 0 M B ( F ) 0,
YAl Ph G(l a) Ga 0
' 1.FR 0， MO 0
MA
A
MO
O
FR
(力偶，与简化中心无关)
' 2. FR 0， MO 0
(合力，作用线过简化中心)
A
MO
O
FR
' 3. FR 0， MO 0
(最终简化结果为合力)
MO
' 4. FR 0， MO 0
FR '
(平衡)
FR
O
A
补充：分布荷载
集中力或集中荷载：力或 荷载的作用面积很小或与整个 构件的尺寸相比很小，可以认 为集中作用在一点上。例如， 道路给轮子的力等。 几种分布荷载
大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一 个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。
3、力的平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点 力系和一个平面力偶系的依据。
4.1.3 平面任意力系的简化结果分析
可能存在以下四种情况：
求：A、B的支反力。
解 ① 研究AB梁；② 受力如图；③ 取Axy直角坐标；
④ 列平衡方程求解：
由 Fx 0, FAx 0
①
M
F
A
(F ) 0 ;
a FB a q a M P 2a 0 ② 2
y
0
FAy FB qa P 0 ③
解得：
FA
16 m
FB
（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。
如图所示坝体所受的水压力为非均布荷载。
A
qy
y B
C
例
求图示梁上分布荷载的合力。
【解】取坐标系如图 所示。Leabharlann Baidu x 处取一 微段，其集度为
y x
A
xc
F
x q q0 L
微段上的荷载为：
q0
x l
B
x
q0 F q x x x L
m1 (a b) m2 (a l ) m3c a(m1 m2 m3 ) m1b m2l m3c m3 a m1b m2l 50 1.5 25 10 m3 36.1t ca 63
欲使起重机不致翻倒，应有
36.1t m3 37.5t
c
b
o
W1
y
L
x
a
FR
x
合力的作用线与x 轴 的交点的坐标设为x，则 由合力矩定理得
c
b
o
W1
M A ( FR ) M A ( F ) (a)
即
y
L
x
a
FR
x
FR x m1 g (a b) m2 g (a l ) m3 g c m1 (a b) m2 (a l ) m3c x m1 m2 m3
第四章 平面一般力系
主讲人：李锦学
如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心 （球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与 球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。
c
F
c
c
m
F
(a)
F
(b)
4.1 平面一般力的简化
4.1.1 平面一般力系向一点简化
平移 定理
基本力 系简化
一、简化方法
⒋ 列平衡方程求解：
FAy Q P sin a 0 l M A ( F ) 0, M A Q 2 P sin a l 0
y
F F
x
0, 0,
FAx P cos a 0
① ②
③
将 Q = q l= 3 kN 及 P , a 之值代入相应方程， 解得：
为了保证安全，可取m3 =36.5~37t。
4.3 物体系统的平衡 静定与静不定
⒈ 物体系统
物体系统（物系）：由若干个 物体通过约束所组成的系统 称为物体系统。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
⒉ 物系平衡的特点 ① 物系平衡 ② 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方
（1）体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。 例如，构件的自重等。
（2）面分布荷载：分布在构件表面上的荷载（力）。例如， 风压力、雪压力等。 （3）线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线 分布。
荷载的单位
（1）集中荷载的单位，即力的单位为（N,kN)。
分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
【解】机架重量、起吊重量及平衡锤重量分别设为W1 、 W、 Q。这是一个平面一般力系的特例——平面平行力系。 取坐标如图，可知合力FR的投影为
FRx Fx 0, FRy Fy m1 g m2 g m3 g , FR (m1 m2 m3 ) g
F 的方向铅垂向下。
向一点简化 汇交力系+力偶系 （已知力系）
一般力系（任意力系） （未知力系）
M M O M Oi
F Fi
' R
二、主矢与主矩 1. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和
' FRx Fx
Fi 。
' FRy Fy
大小：
FR' ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
d
h
dy B
C
q
该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形 的面积，作用线在距水面2/3处。
1 1 F qh (9.81 10) 10 491kN 2 2 2 2 d h 10 6.67 m 3 3
4.2
平面一般力系的平衡条件
一、平衡的必要与充分条件 所以平面任意力系平衡的充要条件为：
F 0 M (F) 0 M (F) 0
x A B
x
O
条件：x 轴不 垂 直于 AB连线
三矩式
M M M
A B C
(F) 0 (F) 0 (F) 0
条件：A,B,C不 在同一直线上
以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个 未知量。
[例] 已知：P=20kN, M=16kN· m, q=20kN/m, a=0.8m
1m
A
qy
y
d
F C q
B
h
dy
图3-15
【解】在深度为y处，水的压强为
F ' y(kN m)
取1m 长的坝考虑时，作用于坝面的水压力可以简 化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。
1m
qy
A
qy
h(1 dy)
dy qh h(kN m)
h(kN m)
y F
三、结论
平面一般力系向作用面内任一点简化 ，一般可以得到一力和一力偶 ； 该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系的主矢 ，该力偶之 矩等于该力系对于简化中心的主矩 。
二、几点说明：
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位 置无关。
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因
此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
四、固定端（插入端）约束
在工程中常见的有：
雨搭 固定端（插入端）约束的构造
车刀
约束反力
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一
力和一力偶; ③FA方向不定可用正交
分力FAx, FAy表示; ④ FAx, FAy, MA为固定端
约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。
力系的主矢
FR' 和主矩
MO 都等于零，即：
FR' ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 0
M O M O (Fi ) 0
平面一般 力系平衡
必要 充分
FR' 0 MO 0
二 、平衡方程
一般式
F 0 F 0 M (F) 0
x y O
y
MO
FR'
二矩式
例
图示一塔示起重机。机架m1=50t，重心在o点。 已知起重机的最大起吊质量m2=25t，欲使起重 机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量 m3 应如何？
c
b
o
W1
图中 a=3m,b=1.5m, c=6m, l=10m, W=m2g, P =m3g W1=m1g。
Q
y
L
x
a
FR
x
图3-7 例题3-1图
qa m 20 0.8 16 FB 2P 2 20 12(kN) 2 a 2 0.8 FAy P qa RB 20 20 0.8 12 24(kN)
[ 例] 已知：q=2 kN ∕m ，P=2 kN ，l=1.5 m ，a=45° 求 ：固定端A处的反力。 解：⒈ 研究 AB 梁； ⒉ 受力分析：P ,Q , Q=q l ,FAx ,FAy ,MA ； ⒊ 取Axy坐标轴；
（2）体分布荷载的单位： N
（3）面分布荷载的单位： N （4）线分布荷载的单位： N
/m
/m
/m
2
3
分布荷载的计算方法 （1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。 如图所示的均布荷载，其合力为：
F q l 10.9116 174.6kN,
作用线则通过梁的中点。
F
q=10.91kN/m
程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体,每个物体都
受有平面一般力系作用） ③ 由n个刚体组成的物系，其中n1个刚体为二力体或受有平 面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，n3 个刚体受有平面一般力系作用，且：n = n1+n2+n3 ，则整个系统 可列出m个独立的平衡方程，而 m = n1+2n2+3n3 ，可求解m个未 知量。 ⒊ 解物系问题的一般方法
F cos(F , i)
' R x
主矢 F
' R
方向：
FR'
F , cos(F , j )
' R
y
FR'
因主矢等于原力系各力的矢量和,所 注意： 以它与简化中心的位置无关。
大小： 主矩 MO
M O M Oi M O ( Fi )
–
正、负规定 ： 转向 +
注意：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和， 所以它的大小和转向一般与简化中心有关。
FAx 1.41kN , FAy 4.41kN , M A 4.37 kN m
[例] 已知：旋转式起重机，自重W=10 kN，被起吊重物重 Q=40 kN 。求：止推轴承A 和径向轴承B 的约束反力。 解：① 研究起重机；② 受力分析： W , Q ,XA ,YA ,NB ；③ 取 Axy直角坐标
q0 l 2 q0 l 2 0 x dx l 3
由此可见，分布荷 载合力的大小等于荷载 集度图的面积。合力作 用线的位置为：
M A q0 l 2 3 2 xC l Fy q0 l 2 3
y x
A
xc
F
q0
x l
B
x
例
如图所示，已知水坝的坝前水深h=10m，求 1m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的 位置。
轴；④ 列平衡方程求解：
F 0, F M ( F ) 0,
y A
Ay
W Q 0 ①
M
N B 5 W 1.5 Q 3.5 0 ②
B
( F ) 0,
③
FAx 5 W 1.5 Q 3.5 0
解得：
FAx 31 kN ; FAy 50 kN ; N B 31 kN