变分原理与变分法

第一章 变分原理与变分法

1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则)

一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理:

昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理;

对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。

变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples :

① 光线最短路径传播;

② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron);

③ 光线折射遵循时间最短的途径

CB AC EB AE +>+

Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理;

在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。

二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学

方法),就是计算泛函驻值的数学理论

数学上的泛函定义

定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映

射)关系

特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}

Examples :

① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间

‖A ‖1 = ∑=n

i ij j

a 1

max ;∑=∞=n

j ij i

a A 1max

;21

)(11

2

2∑∑===n j n

i ij a A

② 函数的积分: 函数空间

D ⊂=⎰n b

a n f dx

x f J )(

Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。

Discussion :

① 判定下列那些就是泛函:

)(max x f f b x a <<=;

x y x f ∂∂)

,(; 3x+5y=2; ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。

物理问题中的泛函举例

① 弹性地基梁的系统势能

i 、 梁的弯曲应变能: ⎰=∏l b dx dx

w d EJ 02

22)(21

ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ⎰=

∏02

2

1 iii 、 外力位能: ⎰-=∏l l qwdx 0

iv 、 系统总的势能:

00

0;})({221222

021

===-+=∏⎰dx

dw

w x dx qw kw dx

w d EJ l

泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统

势能。

泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系

统势能泛函取最小值。

② 最速降线问题

问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有

重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法:

i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函:

x

设P (x , y )就是曲线上的点,P 点的速度由能量守恒定律求得:

gy v mgy mv 22

2

1=⇒= 命ds 为曲线弧长的微分,有:

dx gy y gy ds

dt gy v dt ds 2'1222+==

⇒== 重物从A 点滑到B 点的总时间:

T =dx gy

y a

⎰

+0

22'1

泛函驻值提法:在0≤x ≤a 的区间内找一个函数y (x )使其满足端点几何条件

并使T 取最小值。

③ 圆周问题

问题:在长度一定的闭曲线中,什么曲线所围成的面积最大。 作法:

i 、 假设所考虑的曲线用参数形式表示: x = x (s ), y = y (s )

s 为参数。取s 1为曲线上的某一定点,则坐标表示x 1=x (s 1),y 1=y (s 1),因曲

线就是封闭的,必存在一个s 2点使x 2 = x (s 2),y 2 = y (s 2)与点s 1(x 1,y 1)重合。 ii 、 该封闭曲线的周长: L =

ds ds

dy ds dx s s ⎰

+2

1

2

2)()(

该曲线所围成的面积:R = ⎰⎰Ω

dxdy

iii 、 转换R 的表达式 由Green 公式:

⎰

⎰⎰

+=∂∂-∂∂2

1)(s s Qdy Pdx dxdy y

P x Q Ω

取P =-2y ,Q =2x

, 则:

1=∂∂-∂∂y

P x Q ∴⎰

⎰

-=

-=

21

21

))(')('(2121s

s

s s

ds s yx s xy ydx xdy R

泛函驻值的提法:等周问题即就是在满足端点条件x (s 1) = x (s 2), y (s 1) = y (s 2)