1.5.2 平行关系的性质 课件(北师大必修2)

根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA∥GH.
[例2]
已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直
线AB与CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，
求当S在α，β之间时SC的长．
[思路点拨] 已知有面面平行，要使用面面平 行的性质定理，需寻找与α，β都相交的第三个平面， 而AB与CD相交确定一个平面，也正好与α，β都相交， 这样就具备了使用面面平行的性质定理的前提条件，
[一点通] (1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的 依据，可以用来证明线线平行． (2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面 平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交 线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平
行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平
面，得交线，得平行”．
写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证 明．
[精解详析] 已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.
求证：a∥b. 证明：过a作平面δ，δ∩β＝c， ∵a∥β，∴a∥c. 过a作平面γ，
γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵dα，c
α，∴c∥α.
又∵cβ，α∩β＝b， ∴c∥b，又c∥a，∴a∥b.
∴△AEG∽△ABD. EG AF ∴BD＝AC. AF 4 ∴EG＝AC· BD＝8×4＝2.
答案：2
3．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面
ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上 取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于 GH，求证：AP∥GH. 证明：如图，连接AC交BD于O，连接MO. ∵ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又M是PC的中点， ∴AP∥OM.
所以平面MNQ∥平面PAD.
MN平面MNQ，所以MN∥平面PAD.
[一点通]
本题综合运用了线面平行的性质和面面
平行的性质，对于证明线线平行目前有如下几种方法： ①定义法． ②公理4. ③线面平行的性质定理． ④面面平行的性质定理．
7．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N 分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱 a AD上的一点，AP＝ 3 ，过P，M，N的平面交上底面于 PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
问题1：如果一条直线与一个平面平行，那么这 条直线是否与这个平面内所有直线平行吗？
提示：不一定，直线与平面内的直线平行或异
面． 问题2：教室日光灯管所在直线与地面平行，如 何在地面做一条直线与灯管所在直线平行呢？ 提示：过灯管所在直线作一个平面与地面相交，
交线与灯管所在直线平行．
直线与平面平行的性质
解析：连接AC，由面面平行的性质可知PQ∥MN， ∴PQ∥AC， PQ PD ∴AC＝AD， 2 3a PD ∴PQ＝AD· AC＝ a × 2a 2 ＝3 2a.
2 答案：3 2a
8．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB， 在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 证明：法一：如图所示，作PM∥AB， 交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连 接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD. 又∵AP＝DQ，∴PE＝QB.
1．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系
2．应用判定定理、性质定理证明时，一定要注 意定理中的线、面满足的条件．
∴EF∥平面 BB′C′C.
法二：作FH∥AD交AB于H，连接HE.
∵AD∥BC，∴FH∥BC，
又∵FH 平面BB′C′C，
BC平面BB′C′C.
∴FH∥平面BB′C′C.
BF BH 由FH∥AD，可得＝ BD＝ BA ，
又BF＝B′E，BD＝AB′，
B′E BH ∴ ＝ BA ，∴EH∥B′B， B′A 又∵EH 平面BB′C′C，B′B平面BB′C′C.
1．已知直线l∥平面α，直线mα，则直线l和m的位 置关系是 ( ) A．相交 C．异面 D．平行或异面 B．平行
解析：l与m平行或异面．
2．如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点
B、C、D∈a.线段AB，AC，AD分别交α
于 点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝4， 则EG＝________. 解析：由线面平行的性质可知，BD∥EG
则得BC∥l.
②利用线面平行，面面平行得MN∥平面PAD.
[精解详析]
法一：(1)证明：因为
BC∥AD，
BC
平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝
l，所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以 证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形． 所以MN∥AE，MN 平面APD，AE平面
法三：如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥ BE，交AB于点M，连接QM. ∵PM∥BE，即PM∥平面EBC， AP AM ∴PE＝MB. 又∵AP＝DQ，PE＝BQ， AP DQ ∴PE＝ BQ. ② ①
AM DQ 由①②得MB＝ QB，∴MQ∥AD， ∴MQ∥BC，∴MQ∥平面EBC. 又∵PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面EBC， 又∵PQ平面PMQ， ∴PQ∥平面EBC.
∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H. ∴平面FHE∥平面BB′C′C，又∵EF平面FHE. ∴EF∥平面BB′C′C.
[例3]
如图所示，已知P是▱ABCD所在
平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点， 平面PAD∩平面PBC＝l. (1)求证：l∥BC； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． [思路点拨] ①利用线线平行得BC∥平面PAD，
PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE，DC ＝BD， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形． ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE，PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE，
法二：如图，连接AQ，并延长交BC于 K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK，∴BQ＝QK. AP AQ 由①②得PE＝QK，∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC，EK平面BEC，∴PQ∥平面BEC. ① ②
AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.
求证：EF∥平面BB′C′C.
证明：法一：连接 AF 延长交 BC 于 M，连接 B′M. AF DF ∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，∴MF＝BF. AF AE 又∵BD＝B′A，B′E＝BF，∴DF＝AE.∴FM＝ . EB′ ∴EF∥B′M， 又∵EF 平面 BB′C′C，B′M平面 BB′C′C，
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过
C、M、D1作正方体的截面，则截面的形状是
解析：如图，由面面平行的性质知截面与 ______． 平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线， 所以截面是等腰梯形CD1MN. 答案：等腰梯形
6．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在
4．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过 点B的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，
该平面与β的交线过B点，则交线与a平行，且唯一．
答案：D
提示：平行．
问题3：若一个平面与两个平行平面同时相 交，则交线有什么位置关系？
提示：平行．
平面与平面平行的性质
文字语言 如果两个 平行 平面同时 与第三个平面相交， 则它 们的 交线 平行
图形语言
符号语言
α∥ β γ∩α＝a γ∩β＝b
⇒a∥b
1．直线与平面平行的性质定理可以简记为“线 面平行，则线线平行”，这是直线与平面的平行关系到 直线与直线的平行关系的转化的依据．
进而可有结论线线平行，由此可把求SC长度的问题放
到一个平面中求解．
[精解详析]
如图所示．
∵AB与CD相交于S， ∴AB，CD可确定平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. SA SC ∵α∥β，∴AC∥BD，∴SB＝SD， SA SC SC 8 ∴ ＝CD，即 34 ＝17，解得SC＝16. SA＋SB
[一点通]
(1)已知面面平行问题可以考虑两个转化，即面
面平行转化为线面平行和面面平行转化为线线平行． (2)面面平行的性质定理的几个有用推论 ①夹在两个平行平面之间的平行线段相等． ②经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面
平行.
③两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线 段成比例． ④如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这 两个平面互相平行．
APD所以MN∥平面APD.
法二：(1)证明：由AD∥BC，AD
平面PBC，
BC
平面PBC，所以AD∥平面PBC.
又因为AD平面PAD，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥AD∥BC.
(2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ， 则MQ∥AD，MQ 平面PAD，AD平面PAD.
所以MQ∥平面PAD，同理，由NQ∥PD，可得NQ∥ 平面 PAD，而MQ∩NQ＝Q，
2．面面平行的性质定理
(1)面面平行的性质定个平面内的任何 直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的直线并
不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面
直线，但不可能是相交直线．
[例1] 如果一条直线和两个相交平面平行，那 么这条直线就和它们的交线平行． [思路点拨] 首先把文字语言改为符号语言，
文字语言 如果一条直线与一个平 面平行，则过该直线的