平行关系的性质

∴PQ∥平面EBC.
1．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系
2．应用判定定理、性质定理证明时，一定要注 意定理中的线、面满足的条件．
答案：2
7．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N 分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱 a AD上的一点，AP＝ 3 ，过P，M，N的平面交上底面于 PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
解析：连接AC，由面面平行的性质可知PQ∥MN， ∴PQ∥AC， PQ PD ∴AC＝AD， 2 3a PD ∴PQ＝AD· AC＝ a × 2a 2 ＝3 2a.
2 答案：3 2a
8．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB， 在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 证明：法一：如图所示，作PM∥AB， 交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连 接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD. 又∵AP＝DQ，∴PE＝QB.
2．面面平行的性质定理
(1)面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理. (2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直 线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的直线并不 一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直
线，但不可能是相交直线．
1．已知直线l∥平面α，直线m 置关系是 ) A．相交 C．异面 解析：l与m平行或异面．
提示：平行．
问题3：若一个平面与两个平行平面同时相交， 则交线有什么位置关系？
提示：平行．
平面与平面平行的性质
文字语言 如果两个 平行 平面同时 与第三个平面相交， 则它 们的 交线 平行
图形语言
符号语言
α∥Baidu Nhomakorabeaβ γ∩α＝a γ∩β＝b
⇒a∥b
1．直线与平面平行的性质定理可以简记为“线面 平行，则线线平行”，这是直线与平面的平行关系到直 线与直线的平行关系的转化的依据．
法三：如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥ BE，交AB于点M，连接QM. ∵PM∥BE，即PM∥平面EBC， AP AM ∴PE＝MB. 又∵AP＝DQ，PE＝BQ， AP DQ ∴PE＝ BQ. ② ①
AM DQ 由①②得MB＝ QB，∴MQ∥AD， ∴MQ∥BC，∴MQ∥平面EBC. 又∵PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面EBC， 又∵PQ 平面PMQ，
PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE，DC ＝BD， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形． ∴PQ∥MN. 又MN 平面BCE，PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE，
法二：如图，连接AQ，并延长交BC于 K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK，∴BQ＝QK. AP AQ 由①②得PE＝QK，∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC，EK 平面BEC，∴PQ∥平面BEC. ① ②
问题1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直 线是否与这个平面内所有直线平行吗？
a b
a b α
α
直线与平面平行的性质
文字语言 如果一条直线与一个平 面平行，则过该直线的
任意一个 平面与已知平
图形语言
符号语言
a∥α a β α∩β＝b
⇒a∥b
面的 交线与该直线平行
问题1：分别位于两个平行平面内的直线有什 么位置关系？ 提示：平行或异面． 问题2：两个平面互相平行，其中一个平面内 的直线与另一个平面有什么位置关系？
α，则直线l和m的位 (
B．平行 D．平行或异面
答案：D
2．如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点
B、C、D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于 点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝4， 则EG＝________.
解析：由线面平行的性质可知，BD∥EG ∴△AEG∽△ABD. EG AF ∴BD＝AC. AF 4 ∴EG＝AC· BD＝8×4＝2.