【数学】广东省茂名市2020届高三第二次综合测试(文)(解析版)
广东省茂名市2024届高三一模数学试题(教师版)
2024年茂名市高三年级第一次综合测试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、单选题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}1,0,1B =-，C A B = ，则集合C 的子集个数为（）A.2B.3C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出集合C 即可得解.【详解】集合{}0,1,2,3A =，{}1,0,1B =-，则{0,1}C A B == ，所以集合C 的子集个数为224=.故选：C2.“1x <”是“2430x x -+>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得.【详解】解不等式2430x x -+>得3x >或1x <，记()()(),13,,,1A B ∞∞∞=-⋃+=-，因为A B ，所以“1x <”是“2430x x -+>”的充分不必要条件．故选：A3.从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（）A.33 B.45 C.84D.90【答案】B 【解析】【分析】利用组合数公式直接计算.【详解】2163C C 45=.故选：B4.曲线()e xf x ax =+在点()0,1处的切线与直线2y x =平行，则=a （）A.2- B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】确定曲线()e xf x ax =+在点()0,1处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为曲线()e xf x ax =+在点()0,1处的切线与直线2y x =平行，故曲线()e xf x ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2，因为()e xf x a '=+，所以()00e 12f a a =+=+='，所以1a =，故选：C.5.椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线l ，交C 于A ，B 两点，若12AB F F =，则C 的离心率为（）A.B.1- C.12- D.2【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知直线l ：x c =-，结合方程可得22bAB a=，进而求离心率.【详解】因为()1,0F c -，且直线l 垂直于x 轴，可知直线l ：x c =-，将x c =-代入椭圆方程可得()22221c y a b-+=，解得2b y a =±，所以22b AB a =，又因为12AB F F =，则222b c a =，即22a c c a-=，可得220c ac a +-=，则210e e +-=，解得1551222e -=-+=.故选：A.6.函数()y f x =和()2y f x =-均为R 上的奇函数，若()12f =，则()2023f =（）A.2-B.1- C.0D.2【答案】A 【解析】【分析】由奇函数性质推导出()y f x =的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.【详解】因为()2y f x =-为奇函数，所以()y f x =关于()2,0-对称，即()(4)0f x f x -+-=，又()y f x =关于原点对称，则()()f x f x -=-，有()(4)(4)()f x f x f x f x =-⇒+=，所以()y f x =的周期为4，故()()()()202312024112f f f f =-+=-=-=-.故选：A 7.若π3π,44α⎛⎫∈⎪⎝⎭，ππ6tan 4cos 5cos 244ααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α=（）A.2425B.1225C.725D.15【答案】C 【解析】【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可.【详解】令π4t α=+，π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π4t α=-，则ππ6tan 4cos 5cos 222t t t ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即6tan 4sin 5sin 210sin cos t t t t t +==，整理得()()5cos 3cos 10t t +-=，且cos 0<t ，那么3cos 5t =-，则2π7sin 2sin 2cos 212cos 225t t t α⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.故选：C.8.数列{}n a 满足18a =，11nn n a a na +=+（*n ∈N ），112nn n b a λ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若数列{}n b 是递减数列，则实数λ的取值范围是（）A.8,7⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.7,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C.8,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】将11n n n a a na +=+取倒数结合累加法求得()22118n n a -=，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意，11nn n a a na +=+，两边取倒数可化为1111n n n nna n a a a ++==+，所以21111a a -=，32112a a -=，1111--=-n n n a a ，由累加法可得，()()11111212n n n n a a --=++⋅⋅⋅+-=，因为18a =，所以()()212111288n n n n a --=+=，所以()221111282nn n n n b a λλ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为数列{}n b 是递减数列，故1n n b b -<，即()()2212123118282n n n n λλ-⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理可得，2254842017288n n n λ⎛⎫--+ ⎪-+-⎝⎭>=，因为2n ≥，*n ∈N ，所以22max5548428722888n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，故7,8λ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故选:D.二、多选题：本题共4小题，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.若()32112132f x x x x =-+++是区间()1,4m m -+上的单调函数，则实数m 的值可以是（）A.4-B.3- C.3D.4【答案】CD 【解析】【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m 的不等式组，解出即可．【详解】由题意，()()()2221f x x x x x =-++=--+'，令()0f x '>，解得12x -<<，令()0f x '<，解得1x <-或2x >，所以()f x 在()1,2-上单调递减，在(),1∞--，()2,∞+上单调递减，若函数()32112132f x x x x =-+++在区间()1,4m m -+上单调，则41m +≤-或12m -≥或1142m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得5m ≤-或3m ≥或m ∈∅，即5m ≤-或3m ≥.故选：CD.10.过抛物线C ：24y x =的焦点F 作直线l 交C 于,A B 两点，则（）A.C 的准线方程为2x =-B.以AB 为直径的圆与C 的准线相切C.若5AB =，则线段AB 中点的横坐标为32D.若AB 4=，则直线l 有且只有一条【答案】BCD 【解析】【分析】对于选项A:计算出准线即可判断；对于选项B:验证2AB MM '=是否成立；对于选项C ，D:借助焦点弦及通径的相关公式计算即可.【详解】对于选项A:由抛物线C ：24y x =，可得24,p =解得2p =，故准线方程为12px =-=-，故选项A 错误；对于选项B:设AB 的中点为M ,且,,A B M 在准线上的投影为,,A B M '''，由抛物线的定义可知：,AA AF BB BF =''=,易知四边形ABA B ''为直角梯形，所以222AA BB AF BFAB MM ++===''',故以AB 为直径的圆与C 的准线相切，故选项B 正确；对于选项C:设()()1122,,,A x y B x y ，因为1212522p pAB AF BF AA BB x x x x p =+=+=+++=++'='，所以123x x +=，所以线段AB 中点的横坐标为12322x x +=，故选项C 正确；对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得24AB p ≥=，要使AB 4=，则线段AB 为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条,故选项D 正确.故选：BCD.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，则（）A.直线EF 与1BC 所成的角为60°B.过空间中一点有且仅有两条直线与1111,A B A D 所成的角都是60°C.过1A ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为25+D.过直线EF 的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形【答案】ACD 【解析】【分析】根据线线角和截面的相关知识逐一判断各个选项即可.【详解】对于A ，如图所示，连接111,,AC AC A B ，因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，所以//EF AC ，由1111//,AA CC AA CC =可知，四边形11AA C C 是平行四边形，所以11//AC AC ，所以11//EF AC ，所以EF 与1BC 所成的角即为11A C 与1BC 所成的角，即11AC B ∠或其补角，因为11A BC V 是等边三角形，所以1160A C B ∠=︒，所以EF 与1BC 所成的角为60°，故A 正确；对于B ，因为直线11A B ，11A D 所成角是90°，且两条直线相交于1A ，所以过点1A 与两直线所成角为60°的直线有4条，故B 错误；对于C ，易知平面11A EFC 为过1A ，E ，F 三点的截面，该截面为梯形，显然1111A C A E C F EF =====所以截面图形的周长为1111A C A E EF C F +++=+=，故C 正确；对于D ，如图所示，分别取1AA ，1CC 的靠近A ，C 的三等分点G ，H ，连接1GD ，GE ，1HD ，HF ，易知1//GE HD ，1//HF GD ，故点1D ，G ，E ，F ，H 共面，该截面图形为五边形，故D 正确.故选：ACD12.从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字a ，b ，记点(),A a b ，()1,1B -，()0,0O ，则（）A.AOB ∠是锐角的概率为920B.BAO ∠是锐角的概率为9100C.AOB 是锐角三角形的概率为9100D.AOB 的面积不大于5的概率为920【解析】【分析】根据向量数量积为正结合古典概型公式判断A ，B 选项，根据数量积为正得出锐角判断C 选项，结合面积公式判断D 选项.【详解】对A ，易知OA ，OB不共线，若AOB ∠是锐角，()(),·1,10OA OB a b a b ⋅=-=-> ，易知(),A a b 共有100种情况，其中a b =共有10种，a b >与a b <有相同种情况，即45种，所以AOB ∠是锐角的概率为45910020=，A 正确；对B ，若BAO ∠是锐角，220AB AO a a b b ⋅=-++>恒成立，所以BAO ∠是锐角的概率为1，B 错误；对C ，若AOB 是锐角三角形，则000OA OB BO BA AO AB ⎧⋅>⎪⎪⋅>⎨⎪⋅>⎪⎩，即()()()()()()22,·1,10,1,1·1,12,,·1,10,a b a b a b a b a b a b a a b b ⎧-=->⎪--+=-<⎨⎪-----=-++>⎩所以1a b -=，共有9种情况，所以AOB 是锐角三角形的概率为9100，C 正确；对D，若1sin 2AOBS OA OB AOB =∠11522OA a b =+≤ ，10a b +≤，该不等式共有210109C ==4512⨯⨯组正整数解，所以AOB 的面积不大于5的概率为920，D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题.13.已知复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则z =______.【解析】【分析】应用复数除法化简，结合共轭复数的概念即可得答案.【详解】∵()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，∴1i z =+.故答案为：1i+14.如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半径都为a ，则上层的最高点离平台的距离为______.【答案】2663a +【解析】【分析】根据给定条件，求出四个球的球心构成的正四面体的高即可得解.【详解】依次连接四个球的球心1234,,,O O O O ，则四面体1234O O O O -为正四面体，且边长为2a ，正234O O O 外接圆半径232sin 6033r O O a == ，则1O 到底面234O O O 的距离3h a ==，所以最高点到平台的距离为6233a a a ++=.故答案为：2663a +15.动点P 与两个定点()0,0O ，()0,3A 满足2PA PO =，则点P 到直线l ：430mx y m -+-=的距离的最大值为______.【答案】234+【解析】【分析】利用两点距离公式及已知求得P 的轨迹是圆心为(0,1)-，半径为2的圆上，再确定直线所过的定点并判断其与圆的位置关系，要使圆上点到直线距离最大，有圆心与定点所在直线与直线l 垂直，进而求最大值.【详解】令(,)P x y 2222(3)2x y x y +-=+，整理得22(1)4x y ++=，所以P 的轨迹是圆心为(0,1)-，半径为2的圆上，又直线l ：430mx y m -+-=可化为(3)(4)0m x y ---=，易知过定点(3,4)，由223(41)4++>，故点(3,4)在圆22(1)4x y ++=外，则圆心与定点所在直线与直线l 垂直，圆心与直线l 距离最大，所以点P 到直线l 223(41)2234++=+.故答案为：23416.函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围是______.【答案】111723,5,333⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.由于()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，所以π3232T T <≤，即ππ3π393ωωω<≤⇒<≤，由()0f x =得，ππ6x k ω+=，k ∈Z ，∵ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππππ,66626x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，∴πππ66ππ2π3π26ωω⎧+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩或πππ2π66ππ3π4π26ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，解得1153ω<<或172333ω<≤，所以ω的取值范围是111723,5,333⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故答案为：111723,5,333⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到πππππ,66626x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，再根据零点个数得到不等式组，解出即可.四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 0a B b A a c --+=.（1）求B 的值；（2）若M 为AC 的中点，且4a c +=，求BM 的最小值.【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角以及利用两角和的正弦公式化简cos cos 0a B b A a c --+=，可得cos B 的值，即可求得答案.（2）由题意可得1122BM BA BC =+ ，平方后结合数量积的运算以及基本不等式，即可求【小问1详解】由正弦定理及cos cos 0a B b A a c --+=，得sin cos sin cos sin sin 0A B B A A C --+=，又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos sin 0A B A -=，又()0,πA ∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B -=，即1cos 2B =，又()0,πB ∈，∴π3B =.【小问2详解】由M 为AC 的中点，得1122BM BA BC =+ ，而4a c +=，所以22221111122442BM BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭()2221111cos 4424c a ac B a c ac ⎡⎤=++=+-⎣⎦()()2221334216a c a c a c ⎡⎤+⎛⎫≥+-=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当4a c a c =⎧⎨+=⎩，即2a c ==时等号成立，所以BM18.已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g ）将它们分成5组：[)360,380，[)380,400，[)400,420，[)420,440，[]440,460得到如下频率分布直方图.（1）用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间[)380,400，[)400,420，[)420,440内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.（ⅰ）已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；（ⅱ）记这3个石榴中质量在区间[)420,440内的个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）416g（2）（ⅰ）617，（ⅱ）分布列见解析，()97E X =【解析】【分析】（1）根据题意，用每组的频率乘以该组区间的中点值再求和得解；（2）根据条件概率计算公式运算，求出X 的所有可能取值及对应的概率得解.【小问1详解】该品种石榴的平均质量为()203700.0053904104500.0104300.015x =⨯⨯+++⨯+⨯⎡⎤⎣⎦416=，所以该品种石榴的平均质量为416g .【小问2详解】由题可知，这7个石榴中，质量在[)380,400，[)400,420，[)420,440上的频率比为0.010:0.010:0.0152:2:3=，所以抽取质量在[)380,400，[)400,420，[)420,440上的石榴个数分别为2，2，3.（ⅰ）记A =“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，B =“这3个石榴恰好来自不同区间”，则()337337C C 34C 35P A -==，()11122337C C C 12C 35P AB ==，所以()()()12635341735P AB P B A P A ===，即这3个石榴恰好来自不同区间的概率为617.（ⅱ）由题意X 的所有可能取值为0，1，2，3，则()3437C 40C 35P X ===，()214337C C 181C 35P X ===，()124337C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===，所以X 的分布列为X0123P 43518351235135所以()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为13的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）令()21n n nn a b S -=，n T 为数列{}n b 的前n 项积，证明：1615n n i i T =-≤∑.【答案】（1）2n a n=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差数列定义可得n S ，由n S 与n a 的关系即可得n a ；（2）由n S 与n a 可得n b ，即可得n T ，由()()2116n n ++≥，可得16n n T -≤，借助等比数列求和公式计算即可得证.【小问1详解】由()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为13的等差数列，故()()111112336n S nn n n =+-=++，即()()()21111366n n n n n S n n ++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，()()12116n nn n S ---=，故()()()()121121166n n n nn n n n n S S a -++---==-()2222312316n n n n n n ++-+-==，当1n =时，113216a S ⨯===，符合上式，故2n a n =；【小问2详解】由2n a n =，()()2116n n n n S ++=，故()()()()()()()266211211212121n n n n a n n b S n nn n n n n ++-==+-=+-，则()()()()()()()()()12121412666211141121221n n nT b n b b n n --⨯=-⋅⋅⋅=++++++ ()()()()()6216211211n nn n n n -==++++，由()()211326n n ++≥⨯=，故1666nn n T -≤=，则()111116616165n ni i n n i n T ==-⨯--≤==-∑∑.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，22PD AB CD ===，BC =120PDC ∠=︒.（1）证明：PB AD ⊥；（2）点E 在线段PC 上，当直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为5时，求平面ABE 与平面PBC 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）415477【解析】【分析】（1）要证AD PB ⊥，需要证过PB 的平面与AD 垂直即可，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理结合条件即得；（2）建立空间直角坐标系，先根据条件确定E 点的坐标，再求二面角.【小问1详解】如图：由于平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD CD =，过点P 作CD 的垂线交CD 的延长线于点O ，则PO ⊥平面ABCD .连接OB 交AD 于Q ，连接OA ，∵2PD =，120PDC ∠=︒，∴1OD =，∴2==OC AB ，又//AB CD ，90ABC ∠=︒，∴四边形ABCO 为矩形，∴OA BC ==，∴22OD OA OA AB ==，∴Rt Rt ODA AOB ∽△△，∴OAD ABO ∠=∠，又∵90OAD DAB ∠+∠=︒，∴90AQB ∠=︒，即AD OB ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO AD ⊥，又,,PO BO O PO BO ⋂=⊂平面POB ，∴AD ⊥平面POB ，又∵PB ⊂平面POB ，∴AD PB ⊥.【小问2详解】以O 为坐标原点，OA ，OC ，OP 所在直线分別为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(P ，()0,2,0C，)A，)2,0B ，由于E 在PC 上，设PE PC λ=uur uuu r，则()0,2E λ，∴()2AE λ= ，又平面ABCD 的法向量()0,0,1n =，设直线AE 与平面ABCD 所成角为θ，∴sin cos ,5AE n θ== ，解得12λ=或52λ=（舍去），∴30,1,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴()0,2,0BA =- ，31,2BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()BC = ，设平面ABE 的法向共()1111,,n x y z = ，平而PBC 的法向共()2222,,n x y z = ，则110,0,BA n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 220,0,BC n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111120,0,2y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，22220,0,2y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取1x =2y =1n =，()22n = ，∴124154cos ,77n n = ，故平面ABE 与平面PBC 夹角的余弦值为415477.21.已知双曲线E ：22213x y a -=（0a >）的左焦点为F ，A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为32.（1）求E 的标准方程；（2）过点B 的直线与双曲线左支交于点P （异于点A ），直线BP 与直线l ：=1x -交于点M ，PFA ∠的角平分线交直线l 于点N ，证明：N 是MA 的中点.【答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析条件，求解方程即可.（2）找到斜率不存在的情况，容易证明，再求证斜率存在的情况即可.【小问1详解】因为22213x y a -=，所以b =，0ay -=，因为双曲线的右顶点为(),0a ，设右顶点到浙近线的距离为d ，由题意得22,23,d c a c ⎧⎪===⎨⎪+=⎩解得1,2,a c =⎧⎨=⎩则E 的标准方程为2213y x -=.【小问2详解】①当90PFA ∠=︒，即PF AF ⊥时，设点()2,p P y -，代入双曲线方程得，()22213P y --=，解得3p y =±，取第二象限的点，则()2,3P -，因为()1,0B ，所以直线BP 的斜率为30121BP k -==---，所以直线BP 的方程为=1y x +，令=1x -，解得2y =，即()1,2M -，因为直线FN 是PFA ∠的角平分线，且.90PFA ∠=︒，所以直线FN 的斜率为1FN k =，直线FN 的方程为2y x =+，令=1x -，解得1y =，即()1,1N -，此时12AN AM =，即N 是MA 的中点；②当90PFA ∠≠︒时，设直线BP 的斜率为k ，则直线BP 的方程为()1y k x =-，联立方程()221,1,3y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得()()22223230k x k x k -+-+=，由韦达定理得，2233B P k x x k +=-，又因为1B x =，所以2233P k x k +=-，()2613P P k y k x k =-=-，点22236,33k k P k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，又因为()2,0F -，所以222226623333123PF k k k k k k k k k -===+--+-，由题意可知，直线NF 的斜率存在，设为k '，则直线NF ：()2y k x ='+，因为FN 是PFA ∠的角平分线，所以2PFB NFB ∠=∠，所以tan tan 2PFB NFB ∠=∠，又因为22tan 1PF k PFB k k ∠==-，2'22tan 2tan 21tan 1NFB k NFB NFB k ∠∠='=-∠-，所以2'22211k k k k'=--，即()2210k k k k k +--''='，即()()10k k kk ''+-=，得k k '=-或1k k ='，由题意知k 和k '异号，所以k k '=-，所以直线FN 的方程为()2y k x =-+，令=1x -，可得y k =-，即()1,N k --，所以AN k =-，直线PB 的方程为()1y k x =-，令=1x -，可得2y k =-，即()1,2M k --，所以2AM k =-，所以122AN kAM k -==-，即N 是MA 的中点.综上，N 是MA 的中点.22.若函数()f x 在[],a b 上有定义，且对于任意不同的[]12,,x x a b ∈，都有()()1212f x f x k x x -<-，则称()f x 为[],a b 上的“k 类函数”.（1）若()22x f x x =+，判断()f x 是否为[]1,2上的“3类函数”；（2）若()()21e ln 2xx f x a x x x =---为[]1,e 上的“2类函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 为[]1,2上的“2类函数”，且()()12f f =，证明：1x ∀，[]21,2x ∈，()()121f x f x -<.【答案】（1）()22x f x x =+是[]1,2上的“3类函数”，理由见详解.（2）2e 114e e e a ++≤≤（3）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明()()12123f x f x x x -<-即可；（2）由已知条件转化为对于任意[]1,e x ∈，都有()22f x '-<<，()e ln 1x f x ax x x '=---，只需ln 3e x x x a x ++<且ln 1e x x x a x +->，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.（3）分1212x x -<和12112x x ≤-<两种情况进行证明，()()12f f =，用放缩法()()()()()()()()()()1212121212f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-进行证明即可.【小问1详解】对于任意不同的[]12,1,2x x ∈，有1212x x ≤<≤，1224x x <+<，所以122232x x ++<<，()()()2212121212121223222x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+-+=-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()22x f x x =+是[]1,2上的“3类函数”.【小问2详解】因为()e ln 1x f x ax x x '=---，由题意知，对于任意不同的[]12,1,e x x ∈，都有()()12122f x f x x x -<-，不妨设12x x <，则()()()()21122122x x f x f x x x --<-<-，故()()112222f x x f x x +<+且()()112222f x x f x x ->-，故()2f x x +为[]1,e 上的增函数，()2f x x -为[]1,e 上的减函数，故任意[]1,e x ∈，都有()22f x '-≤≤，由()2f x '≤可转化为ln 3e x x x a x ++≤，令()ln 3ex x x g x x ++=，只需()min a g x <()()()212ln e xx x x g x x +---'=，令()2ln u x x x =---，()u x 在[]1,e 单调递减，所以()()130u x u ≤=-<，()0g x '<，故()g x 在[]1,e 单调递减，()()e 1min 4e e e g x g ++==，由()2f x '≥-可转化为ln 1e x x x a x +-≥，令()ln 1ex x x h x x +-=，只需()max a h x ≥()()()212ln e xx x x h x x +--'=，令()2ln m x x x =--，()m x 在[]1,e 单调递减，且()110m =>，()e 1e<0m =-，所以[]01,e x ∃∈使()00m x =，即002ln 0x x --=，即02000ln 2,e x x x x -=-=，当[)01,x x ∈时，()0m x >，()0h x '>，故()h x 在[)01,x 单调递增，当(]0,e x x ∈时，()0m x <，()0h x '<，故()h x 在(]0,e x 单调递减，()()000e 12max 0ln 11e e x x h x h x x ++-===，故2e 114e e e a ++≤≤.【小问3详解】因为()f x 为[]1,2上的“2类函数”，所以()()12122f x f x x x -<-，不妨设1212x x ≤<≤，当1212x x -<时，()()121221f x f x x x -<-<；当12112x x ≤-<时，因为()()12f f =，12112x x -<-≤-()()()()()()()()()()1212121212f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-()()()121212122212112x x x x ⎛⎫<-+-=-+≤-+= ⎪⎝⎭，综上所述，1x ∀，[]21,2x ∈，()()121f x f x -<.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立()()max a f x ≥或()a f x ≤恒成立()()min a f x ≤；②数形结合（()y f x =的图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值()max 0f x ≤或()min 0f x ≥恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围扫码加微信，进微信交。
广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．设21(1)iz i +=-则|z|=（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（ ） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题含解析
广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，3）C．（2，3）D．（﹣1，+∞）2．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y（万0.5 0.6 1 1.4 1.5辆）由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（）A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.83．“m≤0”是“函数f（x）＝lnx﹣mx在（0，1]上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为：M＝lg（其中A0（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8×101.5M焦耳，其中M为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大．已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的100.9倍，若玉树地震波产生的能量为E，则汶川地震波产生的能量为（）A．101.35E B．1.35E C．100.9E D．90E5．已知三角形ABC的边长分别为AB＝3，AC＝4，BC＝5，＝3，则•＝（）A．1 B ．C．3 D ．6．设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，若|PF|＝6，则△POF的面积为（）A．2 B．4C．4D．47．已知数列{a n}满足3a n﹣2a n﹣1＝a n+1，且a1＝0，a6＝2021，则a2＝（）A．B．C．D．8．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝2，∠ABC＝∠ACD＝60°，E、F分别为BC、AD的中点，且EF⊥BC，EF⊥AD，BC⊥AD，则异面直线BF与DE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9．第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18．则这两组数据的（）A．平均数相等B．中位数相等C．极差相等D．方差相等10．已知函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x，则下列正确的是（）A．f（x）的图象可由g（x）的图象向右平移个单位得到B．x∈（，π）时，|g（x）|＞|f（x）|C．h（x）＝f（x）+g（x）的对称轴方程为：x＝+kπ（k∈Z）D．若动直线x＝a与函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）＝（x3）8，则（）A．f（x）的展开式中的常数项是56B．f（x）的展开式中的各项系数之和为0C．f（x）的展开式中的二项式系数最大值是70D．f（i）＝﹣16，其中i为虚数单位12．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y＝x，且F1到l的距离为3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为∠F1PF2的平分线，则下列正确的是（）A．双曲线的方程为﹣＝1B．＝2C．||＝3D．点P到x轴的距离为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：e iπ+1＝．14．写出一个对称中心为（，0）的函数f（x）＝．15．在矩形ABCD内有E、F两点，其中AB＝120cm，AE＝100cm，EF＝80cm，FC＝60cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该矩形ABCD的面积为cm2．（答案如有根号可保留）16．已知x＞0，f（x）＝x2+e x，g（x）＝（m2+1）x+lnx，若f（x）≥g（x）恒成立，则实数m的取值范围是．四、解答题：共70分。
2020届高考文数二轮复习常考题型大通关(全国卷)：第19题+统计概率+Word版含答案
常考题型大通关：第19题统计概率1、2018年10月17日是我国第5个扶贫日，也是第26个国际消除贫困日。
射洪某企业员工共500人参加“精准扶贫”活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．2、某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②、③、④位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？3、随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查40人,并将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,60]频数 5 10 10 5 10赞成人数 4 6 8 4 91.完成被调查人员年龄的频率分布直方图,并求被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄约为多少岁?15,25,45,55的被调查人员中各随机选取1人进行调查.请写出所有的基2.若从年龄在[)[)本亊件,并求选取2人中恰有1人持不赞成态度的概率.4、某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。
现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者.组号分组频数频率160,165 5 0.05第1组[)第2组[165,170)0.35第3组[170,175)第4组[175,180)20 0.20第5组[180,185)10合计100 1.001.请补充频率分布表中空白位置相应数据,再完成下列频率分布直方图;2.为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?3.在2的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率?5、某中学组织了一次高三学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.1.若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?2.在1中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.6、某乡镇根据中央文件精神，在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有473户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，从2015年至2018年该乡镇每年脱贫户数见下表：年份2015 2016 2017 2018 年份代码x 1 2 3 4脱贫户数y55 69 71 85（1）根据2015-2018年的数据，求出y关于x的线性回归方程$$y bx a=+$；（2）利用（1）中求出的线性回归方程，试判断到2020年底该乡镇的473户贫困户能否全部脱贫.附：$$1221,ni iiniix y nxyb a y bxx nx==-==--∑∑$$7、某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种种子发芽数之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天昼夜温差大小与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中随机选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验。
2022年广东省茂名市高考数学第二次综合测试试卷(解析版)
2022年广东省茂名市高考数学第二次综合测试试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣3，﹣）B．（﹣，5）C．[﹣3，﹣2）D．（﹣2，5）2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S5＝25，则a4＝（）A．6B．7C．8D．93．平面非零向量，满足||＝||，|﹣|＝||，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．已知f（x）＝x﹣sin x，则不等式f（2m+1）+f（1﹣m）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）5．由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》发布，呈现了我国与“一带一路”沿线国家的贸易成果现状报告．由数据分析可知．在2011年到2016年这六年中，中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额图表如图，下列说法中正确的是中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额（亿美元）（）A．中国与沿线国家贸易进口额的极差为1072.5亿美元B．中国与沿线国家贸易出口额的中位数不超过5782亿美元C．中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增（贸易顺差额＝贸易出口额一贸易进口额）D．中国与沿线国家前四年的贸易进口额比贸易出口额更稳定6．双碳，即碳达峰与碳中和的简称.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A•h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：C＝I n•t，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10A时，放电时间t＝57h，则当放电电流I＝15A 时，放电时间为（）A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h7．已知0＜α＜，sin（﹣α）＝，则的值为（）A．B．C．D．8．已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点I，且|ON|＝2|BM|，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．已知复数z1＝a2﹣1+ai，z2＝1+（a﹣1）i（a∈R），若z1﹣2z2为实数，则下列说法中正确的有（）A．B．z1z2＝5+5iC．为纯虚数D．对应的点位于第三象限（多选）10．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）A．所有奇数项的二项式系数和为212B．所有项的系数和为312C．二项式系数最大的项为第6项或第7项D．有理项共5项（多选）11．已知函数f（x）＝（cos x﹣|sin x|）•（cos x+sin x），下列说法正确的有（）A．f（x）关于点对称B．f（x）在区间内单调递增C．若f（x1）+f（x2）＝﹣2，则x1+x2＝π+2kπ（k∈Z）D．f（x）的对称轴是（多选）12．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，，则下列说法中正确的有（）A．三棱锥F﹣A1EG的体积为定值B．当时，平面EGC1截正方体所得截而的周长为C．直线FG与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是D．当时，三棱锥A1﹣EFG的外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正实数m，n满足m+2n＝1，则的最小值为．14．正三棱锥S﹣ABC的底面边长为4，侧棱长为2，D为棱AC的中点，则异面直线SD 与AB所成角的余弦值为．15．以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝．16．已知函数f（x）＝，若存在实数t使得函数y＝[f（x）]2﹣（t+2）f（x）+2t有7个不同的零点，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B，b＝5，c cos A＝1．（1）求C；（2）求△ABC的面积．18．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分．冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响．甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．19．如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径，AA1，CC1为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且CD＝BC＝AB＝AA1，E，F分别为A1D，CC1的中点．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值．20．已知数列{a n}满足，a1＝2，a2＝8，a n+2＝4a n+1﹣3a n．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知椭圆C：＝1（a＞2＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与C交于M，N两点过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NQ⊥x 轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝a cos x+x sin x+b在点处的切线方程为．（1）求函数f（x）在（﹣π，π）上的单调区间；（2）当时，是否存在实数m使得f（x）≤m（x﹣π）恒成立，若存在，求实数m的取值集合，若不存在，说明理由．（附：（π2+4）≈19.6，5π+4≈19.7）．参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣3，﹣）B．（﹣，5）C．[﹣3，﹣2）D．（﹣2，5）【分析】求出集合B，利用交集、补集的定义能求出A∩（∁R B）．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|y＝}＝{x|x≥﹣}，∁R B＝{x|x＜﹣}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣3≤x＜﹣}．故选：A．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S5＝25，则a4＝（）A．6B．7C．8D．9【分析】利用等差数列的求和公式求解即可．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3＝6，S5＝25，∴3a1+3d＝6，5a1+10d＝25，解得a1＝﹣1，d＝3，则a4＝﹣1+3×3＝8，故选：C．3．平面非零向量，满足||＝||，|﹣|＝||，则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设与的夹角为θ，||＝||＝t，由数量积的运算性质可得（﹣）2＝32，即2t2﹣2t2cosθ＝3t2，变形可得cosθ的值，分析可得答案．解：根据题意，设与的夹角为θ，||＝||＝t，若|﹣|＝||，则（﹣）2＝32，即2t2﹣2t2cosθ＝3t2，变形可得cosθ＝﹣，又由0≤θ≤π，则θ＝；故选：C．4．已知f（x）＝x﹣sin x，则不等式f（2m+1）+f（1﹣m）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【分析】利用导数研究函数的单调性，利用定义判断函数为奇函数，把原不等式转化为关于m的一元一次不等式求解．解：f（x）＝x﹣sin x，f′（x）＝1﹣cos x≥0，∴f（x）＝x﹣sin x在R上单调递增，又f（﹣x）＝﹣x﹣sin（﹣x）＝﹣x+sin x＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，则f（2m+1）+f（1﹣m）＞0⇔f（2m+1）＞f（m﹣1），可得2m+1＞m﹣1，即m＞﹣2．∴不等式f（2m+1）+f（1﹣m）＞0的解集为（﹣2，+∞）．故选：B．5．由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》发布，呈现了我国与“一带一路”沿线国家的贸易成果现状报告．由数据分析可知．在2011年到2016年这六年中，中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额图表如图，下列说法中正确的是中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额（亿美元）（）A．中国与沿线国家贸易进口额的极差为1072.5亿美元B．中国与沿线国家贸易出口额的中位数不超过5782亿美元C．中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增（贸易顺差额＝贸易出口额一贸易进口额）D．中国与沿线国家前四年的贸易进口额比贸易出口额更稳定【分析】根据图表中的数据，结合统计中的相关概念逐一计算判断即可得出答案．解：对于A，中国与沿海国家贸易进口额的极差这4833.6﹣3661.1＝1172.5，故A错误；对于B，由已知图中的数据可得出口额的中位数为＝5782.85，故B错误；对于C，2011年至2016年的贸易顺差额依次为：142.9，428.6，976.8，1536.8，2262.4，2213.7，2016年开始下降，故C错误；由图表可知中国与沿线国家前四年的贸易进口额比贸易出口额更稳定，故D正确．故选：D．6．双碳，即碳达峰与碳中和的简称.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A•h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：C＝I n•t，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10A时，放电时间t＝57h，则当放电电流I＝15A 时，放电时间为（）A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把I＝15A时代入，结合指数与对数的运算性质即可求出结果．解：根据题意可得C＝57•10n，则当I＝15A时，57•10n＝15n•t，所以t＝57＝57＝57•＝＝28.5h，即当放电电流I＝15A时，放电时间为28.5h，故选：B．7．已知0＜α＜，sin（﹣α）＝，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用两角差的正弦公式可求得cosα﹣sinα＝，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinα•cosα＝，进而可求cosα+sinα＝，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．解：因为0＜α＜，sin（﹣α）＝，可得cosα﹣sinα＝，可得cosα﹣sinα＝，两边平方，可得1﹣2sinα•cosα＝，可得sinα•cosα＝，所以cosα+sinα＝＝＝＝，所以＝＝＝＝．故选：C．8．已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点I，且|ON|＝2|BM|，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】由中点B，且|ON|＝2|BM|得NF⊥OM，由点到直线距离公式得|FM|＝b，从而得|OM|＝|OA|＝a，通过三角形全等证得△MNB为等边三角形，然后得，从而计算出离心率．解：记M为双曲线C：的渐近线bx﹣ay＝0上的点，因为|ON|＝2|BM|，且|OB|＝|BN|，所以∠BOM＝∠BMO，∠BMN＝∠BNM．所以NF⊥OM．因为右焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay＝0的距离，所以|OM|＝|OA|＝a．所以∠BMO＝∠BAO，所以∠BOM＝∠BAO，所以Rt△AOB全等于Rt△OMN，所以∠ABO＝∠ONM，又因为∠MNB＝∠NMB，∠ABO＝∠NBM．所以△MNB为等边三角形，所以∠FNO＝60°，所以∠MFO＝30°，即，所以．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．已知复数z1＝a2﹣1+ai，z2＝1+（a﹣1）i（a∈R），若z1﹣2z2为实数，则下列说法中正确的有（）A．B．z1z2＝5+5iC．为纯虚数D．对应的点位于第三象限【分析】根据已知条件，由z1﹣2z2为实数，求得a的值，依次计算，即可求解．解：∵z1﹣2z2为实数，∴a﹣2（a﹣1）＝0，解得a＝2，∴z1＝3+2i，z2＝1+i，，故A正确，z1z2＝（3+2i）（1+i）＝1+5i，故B错误，∵（1+i）2＝2i，∴＝（2i）5＝32i，故C正确，∵z1＝3+2i，z2＝1+i，∴＝＝，其对应的点（，）在第四象限，故D 错误．故选：AC．（多选）10．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）A．所有奇数项的二项式系数和为212B．所有项的系数和为312C．二项式系数最大的项为第6项或第7项D．有理项共5项【分析】由二项式定理结合二项式系数的求法及展开式有理项问题逐一判断即可得解．解：由的展开式共有13项，则n＝12，对于选项A，由展开式二项式系数和为212，则所有奇数项的二项式系数和为211，即选项A错误；对于选项B，令x＝1，得（2×）12＝312，即所有项的系数和为312，即选项B正确；对于选项C，由的展开式共有13项，则二项式系数最大的项为第7项，即选项C错误；对于选项D，由（2x+）12展开式的通项公式为T r+1＝212﹣r x，又0≤r≤12，则r＝0、3、6、9、12时，12﹣，即展开式有理项共5项，即选项D正确，故选：BD．（多选）11．已知函数f（x）＝（cos x﹣|sin x|）•（cos x+sin x），下列说法正确的有（）A．f（x）关于点对称B．f（x）在区间内单调递增C．若f（x1）+f（x2）＝﹣2，则x1+x2＝π+2kπ（k∈Z）D．f（x）的对称轴是【分析】取特殊值判断A，化简函数表达式，作函数图象判断B，C，D．【解答】解；因为f（π）＝1，f（﹣）＝1，所以f（x）不关于点对称，故A错误；当x∈[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）时，f（x）＝（cos x﹣sin x）（cos x+sin x）＝cos2x，当x∈[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）时，f（x）＝（cos x+sin x）（cos x+sin x）＝1+sin2x，作出f（x）的图象如图所示，由图象可知f（x）在区间内单调递增，故B正确；因为f（x1）+f（x2）＝﹣2，所以f（x1）＝﹣1，f（x2）＝﹣1，x1＝2k1π+，k1∈Z，x2＝2k2π+，k2∈Z，所以x1+x2＝π+2kπ（k∈Z），故C项正确；由图象可知f（x）的图象不关于x＝﹣对称，故D项错误．故选：BC．（多选）12．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，，则下列说法中正确的有（）A．三棱锥F﹣A1EG的体积为定值B．当时，平面EGC1截正方体所得截而的周长为C．直线FG与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是D．当时，三棱锥A1﹣EFG的外接球的表面积为【分析】对于A，B1C∥平面ADD1A1，则G点到平面ADD1A1的距离为定值，从而得到三棱锥F﹣A1EG的体积为定值；对于B，延长C1G，交棱BB1于点M，则M是BB1的中点，取A1F的中点N，连接EN，MN，EC1，平面ENMC1为平面EGC1截正方体所得的截面，从而可求出截面周长；对于C，由FM⊥平面BCC1B1，则∠FGM为直线FG与平面BCC1B1所成角，由此能求出直线FG与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围；对于D，连接A1D，交EF于点J，则J为EF的中点，由球的性质可得球心在过点J且与GH平行的直线上，求出其半径可判断．解：对于A，∵＝（0≤λ≤1），∴点G为线段B1C上的一个动点，又B1C∥平面ADD1A1，则G点到平面ADD1A1的距离为定值，∴三棱锥是定值，又，故A正确；延长C1G交棱BB1于点M，则＝＝，即M是BB1的中点，取A1F的中点N，连接EN，MN，EC1，∵EN∥D1F，D1F∥C1M，∴EN∥C1M，∴平面ENMC1为平面EGC1截面正方体所得的截面，∵EC1＝，EN＝，MN＝，∴平面EGC1截正方体所得截而的周长为，故B错误；由上可知FM⊥平面BCC1B1，当点G在B1C上移动时，连接MG，∴∠FGM为直线FG与平面BCC1B1所成角，∵MG的最小值为，最大值为2，由tan∠FGM＝＝，∴tan∠FGM∈，∴直线FG与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是，故C正确；对于D，如图，连接A1D，交EF于点J，则J为EF的中点，A1J＝JE＝JF＝，在A1D上取点H，使＝，连接GH，则GH∥CD，∴GH⊥平面ADD1A1，则GH＝4，设三棱锥A1﹣EFG的外接球的球心O，则OA1＝OG＝OE＝OF，由OA1＝OE＝OF，及，得点O在过眯J且与GH平行的直线上，设OJ＝h，∵＝h2+（）2，OG2＝（4﹣h）2+（2）2，∴，解得h＝，∴OA12＝，∴三棱锥A1﹣EFG的外接球的表面积为4＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正实数m，n满足m+2n＝1，则的最小值为17．【分析】化简表达式，利用基本不等式转化求解即可．解：正实数m，n满足m+2n＝1，则＝+1＝（）（m+2n）+1＝9+≥9+＝17，当且仅当m＝2n＝时，取等号．则的最小值为17．故答案为：17．14．正三棱锥S﹣ABC的底面边长为4，侧棱长为2，D为棱AC的中点，则异面直线SD 与AB所成角的余弦值为．【分析】取BC的点E，连接SE，DE，则∠SDE（或其补角）为异面直线SD与AB所成的角，利用余弦定理计算即可．解：取BC的点E，连接SE，DE，则∠SDE（或其补角）为异面直线SD与AB所成的角，由题知，所以．故答案为：．15．以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝．【分析】设点A在第一象限，可得A（4，4），由此可确定圆的半径，利用可求得结果．解：由抛物线方程知：，∴F（1，0），不妨设点A在第一象限，如图所示，由|AB|＝8，y2＝4x得：A（4，4），∴圆的半径，∴．故答案为：．16．已知函数f（x）＝，若存在实数t使得函数y＝[f（x）]2﹣（t+2）f（x）+2t有7个不同的零点，则实数a的取值范围是[0，+∞）．【分析】利用导数研究函数f（x）的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由y＝[f（x）]2﹣（t+2）f（x）+2t＝0得f（x）＝2或f（x）＝t，然后分类讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．解：当x＞1时，f（x）＝，f′（x）＝；当1＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故x＝e时，f（x）min＝f（e）＝1；当x≤1时，f（x）＝x3﹣3x+a，f′（x）＝3x2﹣3，当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝﹣1时，f（x）有极大值f（﹣1）＝2+a，当x＝1时，f（1）＝﹣2+a，作出f（x）＝的大致图象如图，由题意知[f（x）]2﹣（t+2）f（x）+2t＝0，即[f（x）﹣2][f（x）﹣t]＝0有7个不同的实根，当f（x）＝2有三个根，f（x）＝t有四个实根，此时2+a＝2或﹣2+a＞2，得a＝0或a＞4；当f（x）＝2有四个根时，f（x）＝t有三个实根，此时﹣2+a≤2≤2+a，得0＜a≤4，所以a≥0．故答案为：[0，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B，b＝5，c cos A＝1．（1）求C；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos C，进而可求C的值．（2）由已知结合正弦定理先求a的值，然后结合三角形面积公式即可求解．解：（1）因为a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B，所以a2﹣c2＝ab﹣b2，由余弦定理可得cos C＝＝，由C为三角形内角，可得C＝60°．（2）因为C＝60°，b＝5，所以由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+25﹣2×，又c cos A＝1，可得c•＝＝1，可得c2＝a2﹣15，所以a2+25﹣2×＝a2﹣15，解得a＝8，所以△ABC的面积S＝ab sin C＝＝10．18．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分．冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响．甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．解：（1）由题意知甲得0分的概率为，乙得0分的概率为，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为；（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，则，，，，．，，所以，随机变量X的分布列为：X0123456P所以．19．如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径，AA1，CC1为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且CD＝BC＝AB＝AA1，E，F分别为A1D，CC1的中点．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）取AA1的中点G，连接EG，FG，AC，可证明四边形AGFC是平行四边形，从而证明平面EFG∥平面ABCD，从而得证．（2）题意知CA，CB，CC1两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．【解答】（1）证明：取AA1的中点G，连接EG，FG，AC，因为EG∥AD，EG⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EG∥平面ABCD，因为AG∥CF，AG＝CF，所以四边形AGFC是平行四边形，FG∥AC，又FG⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以FG∥平面ABCD，因为FG⋂EG＝G，所以平面EFG∥平面ABCD，因为EF⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．（2）解：设，由AD＝CD＝BC，得∠DAB＝∠ABC＝60°，因为AC⊥BC，所以，由题意知CA，CB，CC1两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，B（0，2，0），C1（0，0，4），，，所以，，设平面C1EB的一个法向量为，则，取z＝1，得，连接BD，因为BD⊥AD，BD⊥AA1，AD∩AA1＝A，所以BD⊥平面AA1D，所以平面AA1D的一个法向量为，所以，所以平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值为．20．已知数列{a n}满足，a1＝2，a2＝8，a n+2＝4a n+1﹣3a n．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由a n+2＝4a n+1﹣3a n，变形为：a n+2﹣a n+1＝3（a n+1﹣a n），a2﹣a1＝6，即可证明结论．（2）由（1）可得：a n+1﹣a n＝6×3n﹣1＝2×3n，变形为：a n+1﹣3n+1＝a n﹣3n，可得a n＝3n ﹣1，b n＝＝（﹣1）n[+]，对n分类讨论即可得出数列{b n}的前n项和T n．解：（1）证明：a n+2＝4a n+1﹣3a n，变形为：a n+2﹣a n+1＝3（a n+1﹣a n），a2﹣a1＝6，∴数列{a n+1﹣a n}是等比数列，首项为6，公比为3．（2）由（1）可得：a n+1﹣a n＝6×3n﹣1＝2×3n，变形为：a n+1﹣3n+1＝a n﹣3n，a1﹣3＝﹣1，∴a n﹣3n＝﹣1，∴a n＝3n﹣1，∴＝＝（﹣1）n[+]，∴n＝2k（k∈N*），数列{b n}的前n项和T n＝﹣（+）+（+）﹣（+）+…﹣[+]+[+]＝﹣+．n＝2k﹣1（k∈N*），数列{b n}的前n项和T n＝﹣（+）+（+）﹣（+）+…+[+]﹣[+]＝﹣﹣．21．已知椭圆C：＝1（a＞2＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与C交于M，N两点过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NQ⊥x 轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程，可求得答案；（2）设直线MN方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，求得相关点的坐标，利用三角形面积之间的关系表示出，列方程求得m，可得答案．解：（1）由题意知A（0，b），F（c，0），因为△AOF的面积为1，所以．又直线AF的方程，即bx+cy﹣bc＝0，因为点O到直线AF的距离为，所以，解得c＝2，b＝1，，所以椭圆C的方程为．（2）依题意，当直线MN斜率为0时，不符合题意；当直线斜率不为0时，设直线MN方程为x＝my+2（m≠0），联立，得（m2+5）y2+4my﹣1＝0，易知Δ＝16m2+4（m2+5）＝20（m2+1）＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，因为ME⊥x轴，NQ⊥x轴，所以E（x1，0），Q（x2，0），所以直线QM：①，直线NE：②，联立①②解得，因为ME∥NQ，ME与直线平行，所以，因为，所以，由，得m4﹣6m2+9＝0，解得，故存在直线l的方程为或，使得△PMN的面积等于．22．已知函数f（x）＝a cos x+x sin x+b在点处的切线方程为．（1）求函数f（x）在（﹣π，π）上的单调区间；（2）当时，是否存在实数m使得f（x）≤m（x﹣π）恒成立，若存在，求实数m的取值集合，若不存在，说明理由．（附：（π2+4）≈19.6，5π+4≈19.7）．【分析】（1）根据切线方程，结合导数的几何意义，求出a，b的值，再由导数得出单调区间．（2）由题意g（x）＝x sin x+cos x+1﹣m（x﹣π），只需g（x）max≤0，又注意g（π）＝0，由题意π必为g（x）的最大值点，从而为g（x）的极大值点，必有g′（π）＝0，再证明检验即可．解：（1）由题意知f（）＝+1，即+b＝+1，得b＝1，因为f′（x）＝﹣a sin x+sin x+x cos x，所以f′（）＝﹣a+1＝0，得a＝1，所以f′（x）＝x cos x，当0＜x＜π时，令f′（x）＞0，得0＜x＜，令f′（x）＜0，得＜x＜π，当﹣π＜x＜0时，令f′（x）＞0，得﹣π＜x＜﹣，令f′（x）＜0，得﹣＜x＜0，所以f（x）在（﹣π，﹣），（0，）上单调递增，在（，π），（﹣，0）上单调递减．（2）假设存在实数m，使得f（x）≤m（x﹣π）在x∈[0，]上恒成立，即x sin x+cos x+1﹣m（x﹣π）≤0在[0，]上恒成立，令g（x）＝x sin x+cos x+1﹣m（x﹣π），只需g（x）max≤0，又g（π）＝0，所以若x sin x+cos x+1﹣m（x﹣π）≤0在[0，]上恒成立，π必为g（x）的最大值点，从而为g（x）的极大值点，必有g′（π）＝0，由g′（x）＝x cos x﹣m，得g′（π）＝﹣π﹣m＝0，解得m＝﹣π，下面证明m＝﹣π符合题意，当m＝﹣π时，g′（x）＝x cos x+π，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝cos x﹣x sin x，①当x∈[0，]时，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，]上单调递增，当x∈[，π]时，h′（x）＜0，所以h（x）＝g′（x）单调递减，所以当x∈[，π）时，g′（x）＞g′（π）＝0，所以g（x）在[，π]上单调递增，由g（x）在[0，]和[，π]上单调递增得，g（x）在[0，π]上单调递增．②当x∈[π，]时，令F（x）＝h′（x）＝cos x﹣x sin x，由F′（x）＝﹣2sin x﹣x cos x，得F′（x）＞0，F（x）在[π，]上单调递增，因为F（π）＝﹣1＜0，F（）＝（﹣1）＞0，所以由零点存在定理知存在x1∈（π，），使得F（x1）＝0，当x∈[π，x1）时，F（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，即g′（x）单调递减，当x∈（x1，]时，F（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，即g′（x）单调递增，因为g′（π）＝0，g′（）＝π（1﹣）＞0，所以由零点的存在定理得，存在x2∈（x1，），使得g′（x2）＝0，当x∈[π，x2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x2，]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（π）＝0，g（）＝﹣（+1）++1＜0，综上所述，g（x）max＝0，符合题意，综上所述，m的取值集合为{﹣π}．。
2020年广东茂名高三第二次综合测试-数学(文)
2020年广东省茂名市高三第二次综合测试文科数学 2020.5一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={2, 3, 5}，B ={2, 5}，则( )A. A ⊂BB. ∁U B ={1, 3, 4}C. A ∪B ={2, 5}D. A ∩B ={3} 2．若，则复数的虚部为( )A.2B.1C.D.−13．已知函数f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为x +2y −2=0，则f (1)+f ′(1) =( )A ．B ． 1C ．D ．04．函数的图象如图所示，则的值为( )A ．B ．1C ．D ．5．下列命题错误的是( )A ．“x ＝2”是“x 2−4x +4＝0”的充要条件B ．命题“若，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”D ．若等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的充要条件 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉 为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。
河图的排列结构如图 所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为：( )A. B.C.D.7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入m =2020，n =303时，则输出的m 是( )()i 2i,,R x i y x y -=+∈i x y +i 3212()=sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ+>><()3f π122314m ≥-15625725825xO y26π23π–2第4题图第6题图A. 2B. 6C. 101D. 2028．已知双曲线(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，其一条渐近线被圆(x −m )2+y 2=4(m ＞0)截得的线段长 为2，则实数m 的值为( )A ．B ．C ．2D ．1 9．已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，．则使不等式成立的x 取值范围是( )A. B. C. D.10．函数在[−5, 5]的图形大致是( )11．已知三棱锥 中，且 平面P AB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ． B ． C ． D ．12．已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有成立；③有且仅有两个零点；④若y =e x 在点处的切线也是y =ln x 的切线，则x 0必是零点． 其中所有正确的结论序号是A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置) 13．已知向量，，若，则 .14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n （n ∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于 . （盈利额=总收入−总成本）15．在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，则平面A 1EC 截该正方体所得截面面积为： .22221y x a b-=32()f x 0x ≥()1()22xf x =+9(1)4f x -<(,1)(3,)-∞-+∞∪(1,3)-(0,2)(,0)(2,)-∞+∞∪()1+e ()cos 1e xxf x x =⋅-P ABC -2,3,5,4,3APB PA PB AC BC π∠=====16π28π24π32π+1()=e 1x x f x x --()f x ()f x 0a <()1f a >-()f x 00(,e )x x 0(1)x ≠()f x (4,2)a =-r(1,1)b =-r ()b a kb ⊥+rrrk =AO y5 −5 CO y 5 −5 x x BO y 5 −5 x DO y5 −5x否 结束输出m 是r ＞0? r =1开始 输入m , n 求m 除以n 的余数rm =n n =r 第7题图BC AB 1C 1 A 1D D 1E F第15题图16．过点作圆的切线，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 . （第一空2分，第二空3分）三、解答题：(共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分17．(分)在中，角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求；(2)若，求的面积．18．(分)某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品. 现把测量数据整理如下, 其中B 配方废品有6件.A 配方的频数分布表质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)频数8a36248(1)求a , b 的值；(2)试确定A 配方和B 配方哪一种好？ (说明：在统计方法中，同一组数据常用 该组区间的中点值作为代表)19．(分)如图1，在□ABCD 中，AD =4，AB =2，∠DAB =45°，E 为边AD 的中点，以BE为折痕将△ABE 折起，使点A 到达P 的位置, 得到图2几何体P −EBCD . (1)证明： ；(2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.()11,2P -221x y +=l 12ABC △A B C a b c 2B C =34b c =cos C 3c =ABC △12122PD BE ⊥B 配方的频频率分布直方图 75 85 95 105 115 125 质量指标值O0.0080.006 b 0.022 0.038 第18题图 D P20．(分)已知抛物线C : y 2=2px (p ＞0)与直线l : x +y +1=0相切于点A ，点B 与A 关于x 轴对称.(1)求抛物线C 的方程，及点B 的坐标；(2)设M 、N 是x 轴上两个不同的动点，且满足∠BMN =∠BNM ，直线BM 、BN 与抛物线C 的另一个交点分别为P 、Q ，试判断直线PQ 与直线l 的位置关系，并说明理由. 如果相交，求出的交点的坐标.21．(分)设函数.(1)讨论的单调性；(2)若，当m =1，且时，，求的取值范围.12122()(+)e x f x x m =()f x ()2e 1()x g x nx f x =---0x ≥()0g x ≤n(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C : (θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程，点M)在直线l 上，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求△OAB 的面积.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +1|−|x −2|.(1)若f (x )≤1，求x 的取值范围；(2)若f (x )最大值为M ，且a +b +c =M ，求证：a 2+b 2+c 2≥3.绝密★启用前 卷类型：A,,x y θθ=⎧⎨=⎩cos()4a πρθ-=4π2020年茂名市高三级第二次综合测试文科数学参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．3 14. 4 15. 16. 2x −y −2=0(2分);(3分). 提示：三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分17. 解：(1)依题意，由正弦定理得：．·····································1分 ∵，∴， ·······················································2分 ∴， ······························································3分 ∴，，··················4分 ∴． ···············5分(2)解法一：由题意得：. ··················································6分 ∵，∴， ··········································7分∴， ···············································8分， ···············································9分∴.···········10分················································11分22154y x +=3sin 4sin B C =2B C =3sin24sin C C =3sin cos 2sin C C C =(0,)C π∈sin 0C ≠2cos 3C =3,4c b ==(0,)C π∈sin C =sin sin 22sin cos B C C C ===221cos cos2cos sin 9B C C C ==-=-sin sin()sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=--=+=+2139=-=∴. ·····································12分 解法二：由题意及(1)得：. ··································6分∵，∴， ···········································7分由余弦定理得：， ························8分即， 解得. ···············································9分若，又 则A =C ，又B =2C ，得△ABC 为直角三角形，而三边为的三角形不构成直角三角形，矛盾. ∴. ·················11分∴. ·······································12分18.解：(1)依题意，A 、B 配方样本容量相同，设为n ，又B 配方废品有6件.由B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为， ·················1分 解得n =100. ···················2分 ∴a =100−(8+36+24+8)=24. ···············3分 由(0.006+b +0.038+0.022+0.008)⨯10=1 ······························4分 解得b =0.026.因此a , b 的值分别为24, 0.026； ································5分 (2)由(1)及A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为····7分质量指标值的样本方差为[(−20)2⨯8+(−10)2⨯24+0⨯36+102⨯24+202⨯8]=112.···8分 由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为=80⨯0.06+90⨯0.26+100⨯0.38+110⨯0.22+120⨯0.08=100. ··············9分 质量指标值的样本方差为=(−20)2⨯0.06+(−10)2⨯0.26+0⨯0.38+102⨯0.22+202⨯0.08=104. ········10分综上，＞， ···································11分 即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好. ···········································································12分 (2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.19. 证明：（1）依题意，在△ABE 中（图1），AE =2，AB =2，∠EAB =45°，由余弦定理得 EB 2=AB 2+AE 2−2AB ·AE cos45°=8+4−2⨯2⨯2⨯=4，·······························································2分 ∴AB 2= AE 2+EB 2， ···········································································3分 即在□ABCD 中，EB ⊥AD . ····································································4分 以BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体P −EBCD 中，7514511sin 4322279ABC S bc A ==⨯⨯⨯=V 3,4c b ==2cos 3C =(0,)C π∈25sin 1cos 3C C =-=222=+2cos c a b ab C -229=+1683a a -⨯231621=0a a -+7=3=3a a 或=3a 3,c ==3,4,3abc ==7=3a 5145711sin 422339ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V 60.00610n =⨯808902410036110241208=100A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20082002410036==100.100⨯+⨯+⨯21=100As B x 5221()Bi i i s x x p ==-∑A B x x =2A s 2B s 2222E B CA D ⇒第19题图1PEBCD第19题图2EB ⊥PE ，EB ⊥ED . 又ED ∩PE =E ，∴BE ⊥平面PED ， ···························5分 又BE ⊂平面PEB ，∴； ·······················································6分 (2)∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴ BC ⊥PE . ····································7分 由(1)得 EB ⊥PE ，同理可得PE ⊥平面BCE ，·············································8分 即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P −CBD 的高. ········································9分 又∠DCB =∠DAB =45°，BC =AD =4，CD =AB =2，PE =AE =2，∴S △CBD =⨯BC ⨯CD ⨯sin45°=⨯4⨯2⨯=4. ·································10分 V C −PBD =V P −CBD =S △BCD ⨯PE =⨯4⨯2=.因此，三棱锥C −PBD 的体积为.··························································12分（写出V C −PBD =V P −CBD 得1分，结果正确并作答得1分）20.解： (1)联立·········································1分 消去x 得y 2+2py +2p =0，···········································2分∵直线与抛物线相切，∴△=4p 2−8p =0， 又p ＞0，解得p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．·········3分 由y 2+4y +4=0，得y =−2，∴切点为A (1, −2)，∵点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标B (1, 2). ···········4分(2)直线PQ ∥l . ····························5分 理由如下：依题意直线BM 的斜率不为0, 设M (t , 0)(t ≠1), 直线BM 的方程为x =my +t , ·····6分由(1)B (1, 2)，1=2m +t ，∴直线BM 的方程为x =y +t ， ·························7分 代入y 2=4x ．解得y =2(舍)或y =−2t ，∴P (t 2,−2t ). ·······························8分 ∵∠BMN =∠BNM ，∴ M 、N 关于AB 对称，得N (2−t , 0) . ·····················9分 同理得BN 的方程为x =y +2−t ，代入y 2=4x ．得Q ((t −2)2, 2t −4). ···········10分， ·······················································11分直线l 的斜率为−1，因此PQ ∥l . ·······················································12分 21. 解： (1)依题得，定义域为R ，，，··········1分 令，.①若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，.所以在R 上单调递增. ································································2分②若，即，令，得或. 当时，； ····································3分 当时，. ·····················4分 综合上述：当时，在R 上单调递增；当时，在区间上单调递减， 在区间上单调递增. ···················5分 (2)依题意可知： ···················6分 令，可得, ···························································7分 .设，则.·····························8分当时, ，单调递减, ······································9分PD BE ⊥2121222213138383{22,10,y px x y =++=12t -12t -224444144(2)PQ t t k tt t --===----()f x 2()(+2+)e x f x x x m '=e 0x >2()2h x x x m =++=44m -△0≤△1m ≥()0h x ≥()0f x '≥1m =1x =-()0f x '=()f x 0△＞1m ＜()0h x =11x m =---11x m =-+-(11,11)x m m ∈----+-()0'<f x (,11)(11,)x m m ∈-∞----+-+∞U ()0f x '>1m ≥()f x 1m ＜()f x (11,11)m m ----+-()f x (,11),(11,)m m -∞----+-+∞2()21()1x x x g x e nx f x e x e nx =---=---0x =(0)0g =2()(12)(R)x g x x x e n x '=---∈2()(12)x h x x x e n =---2()(41)x h x x x e '=-++0x ≥()0h x '<()g x 'xO yN B M PQ A故. ······················································10分 要使在时恒成立,需要在上单调递减， 所以需要. ······················································11分 即,此时,故.综上所述, 的取值范围是. ······································12分 (二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. 解:(1)将曲线C :消去参数θ得, 曲线C 的普通方程为:.·····1分∵点M)在直线上，∴ (2)分∴, 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0, ························································4分显然l 过点(1, 1), 倾斜角为.∴直线l 的参数方程为(t 为参数). ······································5分(2)解法一：由(1)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得： ， ····························································6分· 整理得，显然△＞0.设A , B 对应的参数为t 1, t 2, 则由韦达定理得，.········7分由参数t 的几何意义得|AB |=| t 1−t 2， ························8分又原点O (0,0)到直线l 的距离为····································9分 因此，△OAB 的面积为.···················10分 (2)解法二: 由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 设，则由韦达定理得，.············· ·········7分 由弦长公式得|AB ， ··········· ·········8分 又原点O (0,0)到直线l 的距离为 ··································9分 因此，△OAB 的面积为. ··················10分 (2)解法三：由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 ()(0)1g x g n ''≤=-()0g x ≤0x ≥()g x [0,)+∞()10g x n '≤-≤1n ≥()(0)0g x g ≤=1n ≥n [1,)+∞,,x y θθ=⎧⎨⎩22143y x +=4πcos()=4a πρθ-cos(44a ππ-cos(4πρθ-cos sin ρθρθ+34π1,1,x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩2211(1)(1)143-++=27100t +-=12t t +=12107t t =-=d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=设，则由韦达定理得，. ·····················7分 ∵直线l 过椭圆右顶点(2,0)，∴，∴······················8分把代入直线l 的方程得，······················9分因此，△OAB 的面积为. ··························10分23．解：(1)由已知·················································1分当x ≥2时，f (x )=3，不符合； ···························································2分 当−1≤x ＜2时, f (x )=2x −1, 由f (x )≤1, 即2x −1≤1, 解得x ≤1, ∴−1≤x ≤1. ······3分 当x ＜−1时，f (x )= −3，f (x )≤1恒成立. · ··················································4分 综上，x 的取值范围是x ≤1. ·····························································5分 (2)由(1)知f (x )≤3，当且仅当x ≥2时，f (x )=3， ········································6分 ∴M = f (x )Max =3.即a +b +c =3， ·······················································7分· ∵a 2+b 2≥2ab ，a 2+c 2≥2ac ，c 2+b 2≥2cb ， ·············································8分 ∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +ac +cb )∴3(a 2+b 2+c 2)≥a 2+b 2+c 2+2ab +2ac+2cb =(a +b +c )2=9， ·································9分 因此(a 2+b 2+c 2)≥3. ··············································································10分1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =21627x +=227x =227x =2127y =2111212||27722S OA y =⋅=⨯⨯=3,2,21,12,(, 1.)3x x f x x x ≥⎧⎪--≤⎨--⎪⎩=＜＜。
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷2 (含答案解析)
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若(x +2i)i =y −1i (x,y ∈R)，则x +y =( )A. −1B. 1C. 3D. −32. 已知集合A ={−2,0，2}，B ={x|x 2+x −2=0}，则A ∪B =( )A. ⌀B. (−2,1)C. (−2,−1,0，2)D. (−2,0，1，2)3. 已知cos(3π14−θ)=13，则sin(2π7+θ)=( )A. 13B. −13C. 2√23D. −2√234. 下列结论中是错误命题的是( )A. 命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式为￢p ：“∀x ∈R ，x 2−2<0”B. 若￢p 是q 的必要条件，则p 是￢q 的充分条件C. “M >N ”是“(23)M >(23)N ”的充分不必要条件5. 集合A ={2,3}，B ={1,2，3}，从A ，B 中各取任意一个数，则这两个数之和等于5的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 236. 如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m =91，n =56，则输出m 的值为( )A. 0B. 3C. 7D. 147.已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则圆锥的侧面积为()A. 4πB. 3πC. 2πD. π8.已知函数f(x)=2x−12x+1，则不等式f(x−2)+f(x2−4)<0的解集为()A. (−1,6)B. (−6,1)C. (−2,3)D. (−3,2)9.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆C:(x−2)2+y2=2相切，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √7D. 210.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是()A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元11.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点．(Ⅰ)PB与平面ACM的位置关系为___；(Ⅱ)设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，sinα·cosβ的值为____．A. (Ⅰ)平行(Ⅱ)−√23B. (Ⅰ)平行(Ⅱ)√23C. (Ⅰ)垂直(Ⅱ)−√23D. (Ⅰ)垂直(Ⅱ)√23E. (Ⅰ)相交但不垂直(Ⅱ)√23F. (Ⅰ)相交但不垂直(Ⅱ)−√2312.已知关于x的方程4x+m⋅2x+m2−1=0有实根，则实数m的取值范围是()A. [−2√33,2√33] B. [−2√33,1) C. [−2√33,1] D. [1,2√33]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，a⃗+b⃗ =(1,k)，若a⃗⊥b⃗ 则实数k等于______ ．14.若(x+ax2)9的二项展开式中的常数项是84，则实数a=______．15.若曲线f(x)=12sinx−√32cosx的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______ ．16.在△ABC中，已知A=2B，cosC=0，则a︰b︰c=________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.己知各项均为正数且递减的等比数列{a n}满足a3，32a4，2a5成等差数列．前5项和S5=31．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式：(Ⅱ)若等差数列{b n}满足b1=a4−1，b2=a3−1.求数列{a bn}的前n项和．18.如图，五面体A−BCC1B1中，AB1=4，底面ABC是正三角形，AB=2，四边形BCC1B1是矩形，二面角A−BC−C1为直二面角，D为AC的中点．(1)证明：AB1//平面BDC1；(2)求二面角C−BC1−D的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+√6=0相切．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A，B，过F与直线l1垂直的直线l2与椭圆交于C，D，与直线l2：x=4交于交于P，求四边形ABCD面积的最小值．20.在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．下表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E 的教师和学生的测评成绩(单位：分)：(1)建立y关于x的回归方程ŷ=b̂x+â；(2)现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．附：b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(x−x)2n，â=y−b̂x．21.已知函数f(x)=alnx−x2+x有两个极值点x1，x2(x1<x2).(1)若x2−x1=14，求实数a的值；(2)若−325<a<−19，求f(x1)−f(x2)x1−x2的取值范围．22.直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2=124−cos2θ．(1)求出曲线C的直角坐标方程；(2)设过点P(0,1)且倾斜角为45∘的直线l和曲线C交于两点A,B，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|x−m|−|x+2m|的最大值是3，其中m>0．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足ab>0，且a2+b2=m2，求证：a3b +b3a≥1．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得x，y的值，则x+y可求．【解答】解：由(x+2i)i=y−1i，得−2+xi=y−−i−i2=y+i，∴x=1，y=−2.则x+y=−1．故选A．2.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．化简集合B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={−2,0，2}，B={x|x2+x−2=0}={x|x=−2或x=1}={−2，1}，则A∪B={−2,0，1，2}．故选：D．3.答案：A解析：解：∵cos(3π14−θ)=13，∴cos(3π14−θ)=sin(π2−3π14+θ)=sin(2π7+θ)=13．故选：A．利用诱导公式即可得到sin(2π7+θ)的值．本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．4.答案：C解析：解：对于A ：命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式为￢p ：“∀x ∈R ，x 2−2<0”，故A 正确；对于B ：若￢p 是q 的必要条件，则￢q 是p 的必要条件，即p 是￢q 的充分条件，故B 正确 对于C ：若M >N ，则(23)M <(23)N ”，不能得到“(23)M >(23)N ”，即充分性不成立； 反之，若“(23)M >(23)N ”，则M <N ，即必要性也不成立，∴“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的既不充分又不必要条件，故C 错误． 故错误的是：C ． 故选：C ．A ，写出命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式，再判断正误即可；B ，利用原命题与其逆否命题的等价性可知：￢q 是p 的必要条件，即p 是￢q 的充分条件；C ，利用充分必要条件的概念及指数函数的单调性质可判断“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的既不充分又不必要条件．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定及等价命题的应用，考查充分必要条件的概念及应用，属于中档题．5.答案：B解析： 【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意古典概型概率计算公式的合理运用．集合A ={2,3}，B ={1,2，3}，从A ，B 中各取任意一个数，取法总数为6，这两个数之和等于5的情况有2种，由此能求出这两个数之和等于5的概率． 【解答】解：集合A ={2,3}，B ={1,2，3}，从A ，B 中各取任意一个数， 取法总数为：2×3=6，这两个数之和等于5的情况有2种：2+3和3+2， ∴这两个数之和等于5的概率：p =26=13． 故选B ．6.答案：C解析：。
广东省茂名市2020届高三第二次综合测试数学(文)试卷
绝密★启用前文科数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U={1, 2, 3, 4, 5}，A={2, 3, 5}，B={2, 5}，则( ) A. A ⊂B B. ∁U B={1, 3, 4} C. A ∪B={2, 5} D. A ∩B ={3} 2．若()i 2i,,R x i y x y -=+∈，则复数i x y +的虚部为( ) A.2 B.1 C. D.−13．已知函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x+2y −2=0，则f(1)+f′(1) =( ) A ．32 B ．1 C ．12D ．04．函数()=sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ+>><的图象如图所示，则()3f π的值为( )A ．12B ．1 CD5．下列命题错误的是( )A ．“x＝2”是“x 2−4x+4＝0”的充要条件B ．命题“若14m ≥-，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”D ．若等比数列{a n }公比为q ，则“q＞1”是“{a n }为递增数列”的充要条件6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国 古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。
河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为：( )第6题图A. 15B. 625 C. 725 D. 8257．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入m=2020，n=303时，则输出的m 是( ) A. 2 B. 6 C. 101 D. 2028．已知双曲线22221y x a b -=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，其一条渐近线被圆(x −m)2+y 2=4(m ＞0)截得的线段长 为2，则实数m 的值为( )A B C ．2 D ．1 9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1()22xf x =+．则使不等式9(1)4f x -<成立的 x 取值范围是( )A.(,1)(3,)-∞-+∞∪B.(1,3)-C.(0,2)D.(,0)(2,)-∞+∞∪10．函数1+e ()cos 1exx f x x =⋅-在[−5, 5]的图形大致是( )11．已知三棱锥P ABC - 中，2,5,4,3APB PA PB AC BC π∠=====且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．16π B ．28π C ．24π D ．32π12．已知函数+1()=e 1x x f x x --，对于函数()f x 有下述四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-成立；③()f x 有且仅有两个零点；④若y=e x在点00(,e )x x 0(1)x ≠处的切线也是y=lnx 的切线，则x 0必是()f x 零点．第7题图其中所有正确的结论序号是A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置) 13．已知向量(4,2)a =-r，(1,1)b =-r ，若()b a kb ⊥+rrr，则k = .14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入n ∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于 . （盈利额=总收入−总成本）15．在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，则平面A 1EC 截该正方体所得截面面积为： .16．过点()11,2P -作圆221x y +=的切线，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 . （第一空2分，第二空3分）三、解答题：(共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分 17．(12分)在ABC △中，角，，的对边分别为，，，已知2B C =，34b c =． (1)求cos C ；(2)若3c =，求ABC △的面积．18．(12分)某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量B 1 F第15题图指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品. 现把测量数据整理如下, 其中B 配方废品有6件.A 配方的频数分布表(1)求a, b 的值；(2)试确定A 配方和B 配方哪一种好？(说明：在统计方法中，同一组数据常用 该组区间的中点值作为代表)19．(12分)如图1，在□ABCD 中，AD=4，，∠DAB =45°，E 为边AD 的中点，以BE 为折痕将△ABE 折起，使点A 到达P 的位置, 得到图2几何体P −EBCD. (1)证明：PD BE ⊥；(2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.B 配方的频频率分布直方图第18题图 EBCAD⇒第19题图1PEBCD20．(12分)已知抛物线C: y 2=2px (p ＞0)与直线l: x+y+1=0相切于点A ，点B 与A 关于x 轴对称.(1)求抛物线C 的方程，及点B 的坐标；(2)设M 、N 是x 轴上两个不同的动点，且满足∠BMN=∠BNM ，直线BM 、BN 与抛物线C 的另一个交点分别为P 、Q ，试判断直线PQ 与直线l 的位置关系，并说明理由. 如果相交，求出的交点的坐标.21．(12分)设函数2()(+)e x f x x m =. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()2e 1()x g x nx f x =---，当m=1，且0x ≥时，()0g x ≤，求的取值范围.(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C: ,,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos()4a πρθ-=，点4π)在直线l 上，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求△OAB 的面积.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|x+1|−|x −2|. (1)若f(x)≤1，求x 的取值范围；(2)若f(x)最大值为M ，且a+b+c=M ，求证：a 2+b 2+c 2≥3.文科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示：1. B 【解析】∵U={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 5}，∴∁U B={1, 3, 4}. 故选B.2. B 【解析】(i)i 1i 2i,2,1x x y x y -=+=+==∵∴，所以i x y +的虚部1y =，故选B .3. D 【解析】切点(1, f(1))在切线x+2y −2=0上，∴1+2f(1)−2=0，得f(1)=12，又切线斜率1(1),2k f '==-(1)(1)0.f f '+=故选D.4. B 【解析】根据图象可得2A =，22362T πππ=-=，即T π=，根据2||T πω=，0,ω>得22πωπ==, ∴2sin(2)y x ϕ=+, 又()f x 的图象过点(,2)6π，∴22sin(2)6πϕ=⨯+,即22,Z 62k k ππϕπ⨯+=+∈，∴26k πϕπ=+，Z k ∈，又因||2πϕ<，∴ 6πϕ=，∴()2sin(2)6f x x π=+，5()2sin(2)2sin 13366f ππππ=⨯+==，故选B.5.D.【解析】由 x 2−4x+4＝0⇔(x −2)2=0⇔ x −2=0⇔ x ＝2，∴A 正确；命题“若14m ≥-, 则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为命题“若方程x 2+x −m ＝0有实根，则14m ≥-”，∵方程x 2+x −m ＝0有实根⇒△=1+4m ≥0⇒14m ≥-，∴B 正确；在△ABC 中，若A ＞B ⇒a ＞b ⇒sinA ＞sinB(根据正弦定理) ∴C 正确；故选D. (事实上等比数列{a n }公比为q ，则“q＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件)6. A.【解析】∵阳数为：1, 3, 5, 7, 9；阴数为：2, 4, 6, 8, 10，∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：(1, 6), (3, 8), (5, 10), (7, 2)，(9, 4)共5个, 则51525p ==, 故选A.7. C 【解析】输入m=2020，n=303，又r=1.①r=1＞0，2020÷303=6··············202， r=202，m=303，n=202；②r=202＞0，303÷202=1············101 r=101，m=202，n=101；③r=101＞0，202÷101=2··············0. r=0，m=101，n=0；④r=0，则r ＞0否，输出m=101，故选C.8.C.【解析】依题意: 2c b a a ==⇒=∴双曲线渐近线方程为.y =不妨取渐近线l 10y -=，则圆心(m,0) (m ＞0)到l 1的距离d =.由勾股定理得2222()22+=，解得2m =±，∵m ＞0，∴m=2，故选C ．9. A.【解析】∵9(2)=4f ，由9(1)4f x -<得，(1)(2)f x f -<.又∵()f x 为偶函数，(|1|)(2)f x f -<∴, 易知()f x 在(0,)+∞上为单调递减，|1|2x ->∴∴12x ->或12x -<-，即3x >或1x <-，故选A.10. A 【解析】易知f(−x)= −f(x)，即函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D ， f(x)在y 轴右侧第一个零点为2x π=.当02x π<<时，1+e 0,1e 0,cos 0x x x >-<>，∴f(x)＜0排除B ，当x (＞0)→0时，则1+e 2,1e 0,cos 1x x x →-→→, 且1e 0x -<∴y →−∞.故选A.(当02x π<<时，()1+e 2cos ()cos =cos 1e 1exx x x f x x x =⋅---.222(e cos e sin sin )2(e sin sin )()=+sin +sin 0(1e )(1e )x x x x x x x x x x f x x x +--'>>--,排除C)11. B 【解析】在PAB △中，由余弦定理得3AB = ，又222AC AB BC =+， ∴ABC △为直角三角形，CB AB ⊥ ，又平面PAB ⊥平面ABC 且交于AB ， ∴CB ⊥平面PAB ，∴几何体的外接球的球心到平面PAB 的距离为1=22BC ，设PAB ∆的外接圆半径为,则322sin 3r π==∴r =设几何体的外接球半径为R，则22227R =+=， 所求外接球的表面积2428,S R ππ== 故选B.12.解析：依题意()f x 定义域为(−∞, 1)∪(1, +∞)，且22()=e (1)x f x x '+-，∴()f x 在区间(−∞, 1)和(1, +∞)上是增函数，①错；∵当0a <时，则2e 01a a ->-，因此+12()=e =1e 111a a a f a a a --+->---成立，②对；∵()f x 在区间(−∞, 1)上单调递增，且22111(2)=e =0,(0)=2>0.e 33f f ----< ∴(2)(0)0f f -⋅<，即()f x 在区间(−∞, 1)上有且仅有1个零点.BCAP∵()f x 在区间(1, +∞)上单调递增，且552445()=e 93304f -<-<，2(2)=e 3>0f - ∴5()(2)04f f ⋅<，(也可以利用当1x +→时，()f x →-∞，2(2)=e 3>0f -)得()f x 在区间(1, +∞)上有且仅有1个零点. 因此,()f x 有且仅有两个零点；③对 ∵y=e x在点00(,e )x x 0(1)x ≠处的切线方程l 为000e =e ()x x y x x --.又l 也是y=lnx 的切线，设其切点为11(,ln )A x x ，则l 的斜率11k x =， 从而直线l 的斜率011==e x k x ，∴01=e x x -，即切点为00(e ,)x A x --，又点在l 上. ∴00000e =e (e )x x x x x ----000+1e 01x x x ⇒-=-0(1)x ≠，即x 0必是()f x 零点．④对. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．3 14.4 15. 16. 2x −y −2=0(2分);22154y x +=(3分). 提示：13.【答案】3【解析】∵ ()b a kb ⊥+r r r，∴()0b a kb ⋅+=r r r ，即2||0b a k b ⋅+=r r r ，由已知得426,b a ⋅=--=-rr ||b =r，∴620 3.k k -+=⇒=14.【答案】4【解析】设每年的营运成本为数列{}n a ，依题意该数列为等差数列，且1=3,=2.a d 所以n 年后总营运成本2S 2n n n =+，因此，年平均盈利额为：220(2)1616181810,n n n n n n -+-=--+≤-= 当且仅当4n =时等号成立.15.【答案】ABCD –A 1B 1C 1D 1中， ∵平面A 1D 1DA ∥平面B 1C 1CB ，∴平面A 1EC 与平面B 1C 1CB 的交线必过C 且平行于A 1E ， 故平面A 1EC 经过B 1B 的中点F ，连接A 1F ，得截面A 1ECF ， 易知截面A 1ECF， A 1C=S=12A 1C ⨯EF=12⨯⨯16.【答案】2x −y −2=0，22154y x +=. 【解析】①当过点1(1,)2-的直线斜率不存在时, 直线方程为：x=1, 切点的坐标10(,)A ;②当直线斜率存在时, 设方程为1=(1)2y k x --, 根据直线与圆相切, 圆心(0,0)到切线的距离等于半径1, 可以得到切线斜率34k =, 即：35=44y x -.直线方程与圆方程的联立可以得B 1F切点的坐标3455(,)B -；根据A 、B 两点坐标可以得到直线AB 方程为2x −y −2=0,（或利用过圆222+=x y r 外一点00(,)x y 作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为200x x y y r +=）依题意，AB 与x 轴的交点10(,)即为椭圆右焦点，得1c =，与y 轴的交点02(,)-即为椭圆下顶点坐标，所以2b =，根据公式得2225a b c =+=，因此，椭圆方程为：22154y x +=. 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分17. 解：(1)依题意，由正弦定理得：3sin 4sin B C =．·····································1分∵2B C =，∴3sin24sin C C =， ·······················································2分 ∴3sin cos 2sin C C C =， ······························································3分 ∴(0,)C π∈，sin 0C ≠，··················4分 ∴2cos 3C =． ···············5分 (2)解法一：由题意得：3,4c b ==. ··················································6分∵(0,)C π∈，∴sin C ， ··········································7分∴sin sin 22sin cos B C C C === ···············································8分221cos cos2cos sin 9B C C C ==-=-， ···············································9分 ∴sin sin()sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=--=+=+. ···········10分2139- ················································11分∴11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯V ·····································12分解法二：由题意及(1)得：3,4c b ==. 2cos 3C = ··································6分∵(0,)C π∈，∴sin C ， ···········································7分由余弦定理222=+2cos c a b ab C -得：229=+1683a a -⨯， ························8分 即231621=0a a -+， 解得7=3=3a a 或. ···············································9分 若=3a ，又3,c = 则A=C ，又B=2C ，得△ABC 为直角三角形，而三边为=3,4,3a b c ==的三角形不构成直角三角形，矛盾. ∴7=3a . ·················11分∴711sin 4223ABC S ab C ==⨯⨯=V . ·······································12分18.解：(1)依题意，A 、B 配方样本容量相同，设为n ，又B 配方废品有6件. 由B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为60.00610n =⨯， ·················1分 解得n=100. ···················2分 ∴a=100−(8+36+24+8)=24. ···············3分由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)⨯10=1 ······························4分解得b=0.026.因此a, b 的值分别为24, 0.026； ································5分(2)由(1)及A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为808902410036110241208=100A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20082002410036==100.100⨯+⨯+⨯····7分 质量指标值的样本方差为21=100A s [(−20)2⨯8+(−10)2⨯24+0⨯36+102⨯24+202⨯8]=112.···8分 由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为B x =80⨯0.06+90⨯0.26+100⨯0.38+110⨯0.22+120⨯0.08=100. ··············9分质量指标值的样本方差为5221()Bi i i s x x p ==-∑=(−20)2⨯0.06+(−10)2⨯0.26+0⨯0.38+102⨯0.22+202⨯0.08=104. ········10分综上A B x x =，2A s ＞2B s ， (11)分即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定， 所以选择B 配方比较好. ···········································································12分 (2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.19. 证明：（1）依题意，在△ABE 中（图1），AE=2，，∠EAB=45°，由余弦定理得 EB 2=AB 2+AE 2−2AB·AEcos45°=8+4−2⨯⨯2=4，·······························································2分 ∴AB 2= AE 2+EB 2， ···········································································3分 即在□ABCD 中，EB ⊥AD. ····································································4分 以BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体P −EBCD 中，EBCAD⇒第19题图1PEBCD第19题图2EB ⊥PE ，EB ⊥ED. 又ED ∩PE=E ，∴BE ⊥平面PED ， ···························5分 又BE ⊂平面PEB ，∴PD BE ⊥； ·······················································6分 (2)∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴ BC ⊥PE. ····································7分 由(1)得 EB ⊥PE ，同理可得PE ⊥平面BCE ，·············································8分 即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P−CBD 的高. ········································9分 又∠DCB=∠DAB=45°，BC=AD=4，，PE=AE=2，∴S △CBD =12⨯BC ⨯CD ⨯sin45°=12⨯4⨯=4. ·································10分 V C−PBD =V P−CBD =13S △BCD ⨯PE=13⨯4⨯2=83. 因此，三棱锥C −PBD 的体积为83.··························································12分 （写出V C−PBD =V P−CBD 得1分，结果正确并作答得1分）20.解： (1)联立{22,10,y px x y =++= (1)消去x 得y 2+2py+2p=0，···········································2分 ∵直线与抛物线相切，∴△=4p 2−8p=0，又p ＞0，解得p=2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．·········3分 由y 2+4y+4=0，得y=−2，∴切点为A(1, −2)，∵点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标B(1, 2). ···········4分 (2)直线PQ∥l. ····························5分 理由如下：依题意直线BM 的斜率不为0, 设M(t, 0)(t≠1), 直线BM 的方程为x=my+t, ·····6分由(1)B(1, 2)，1=2m+t ，∴直线BM 的方程为x=12t -y+t ， ·························7分代入y 2=4x ．解得y=2(舍)或y=−2t ，∴P(t 2,−2t). ·······························8分 ∵∠BMN=∠BNM ，∴ M 、N 关于AB 对称，得N (2−t, 0) . ·····················9分同理得BN 的方程为x=12t -y+2−t ，代入y 2=4x ．得Q((t −2)2, 2t−4). ···········10分224444144(2)PQ t t k tt t --===----， ·······················································11分直线l 的斜率为−1，因此PQ ∥l. ·······················································12分 21. 解： (1)依题得，()f x 定义域为R ，2()(+2+)e x f x x x m '=，e 0x >，··········1分令2()2h x x x m =++，=44m -△.①若0≤△，即1m ≥，则()0h x ≥恒成立，从而()0f x '≥恒成立，当且仅当1m =，1x =-时，()0f x '=.所以()f x 在R 上单调递增. ································································2分②若0△＞，即1m ＜，令()0h x =，得1x =-1x =-当(11x ∈--时，()0'<f x ； ····································3分当(,1(1)x ∈-∞--++∞U 时，()0f x '>. ·····················4分综合上述：当1m ≥时，()f x 在R 上单调递增；当1m ＜时，()f x 在区间(11---+上单调递减，()f x 在区间(,1(1)-∞--+∞上单调递增. ···················5分(2)依题意可知：2()21()1x x x g x e nx f x e x e nx =---=--- ···················6分令0x =，可得(0)0g =, ···························································7分2()(12)(R)x g x x x e n x '=---∈.设2()(12)x h x x x e n =---，则2()(41)x h x x x e '=-++.·····························8分当0x ≥时, ()0h x '<，()g x '单调递减, ······································9分 故()(0)1g x g n ''≤=-. ······················································10分要使()0g x ≤在0x ≥时恒成立,需要()g x 在[0,)+∞上单调递减，所以需要()10g x n '≤-≤. ······················································11分 即1n ≥,此时()(0)0g x g ≤=,故1n ≥.综上所述,的取值范围是[1,)+∞. ······································12分 (二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. 解:(1)将曲线C:,,x y θθ=⎧⎨⎩消去参数θ得, 曲线C 的普通方程为:22143y x +=.·····1分∵点4π)在直线cos()=4a πρθ-上，∴cos(44a ππ-···········2分∴cos(4πρθ-cos sin ρθρθ+, 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为x+y−2=0, ························································4分显然l 过点(1, 1), 倾斜角为34π. ∴直线l的参数方程为1,1,x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数). ······································5分 (2)解法一：由(1)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得：2211(1)(1)143++=， ····························································6分·整理得27100t +-=，显然△＞0.设A, B 对应的参数为t 1, t 2,则由韦达定理得12t t +=12107t t =-.········7分 由参数t 的几何意义得|AB|=| t 1−t 2， ························8分 又原点O(0,0)到直线l的距离为d ···································9分 因此，△OAB的面积为1112||722S AB d ===. ···················10分 (2)解法二: 由(1),联立221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩消去y 得:271640x x -+=, 显然△＞0. ····6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则由韦达定理得12167x x +=，1247x x =.············· ·········7分 由弦长公式得= ··········· ·········8分又原点O(0,0)到直线l的距离为d ··································9分 因此，△OAB的面积为1112||722S AB d ===. ··················10分 (2)解法三：由(1),联立221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩消去y 得:271640x x -+=, 显然△＞0. ····6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则由韦达定理得12167x x +=，1247x x =. ·····················7分 ∵直线l 过椭圆右顶点(2,0)，∴21627x +=，∴227x =······················8分 把227x =代入直线l 的方程得，2127y =······················9分因此，△OAB 的面积为2111212||27722S OA y =⋅=⨯⨯=. ··························10分23．解：(1)由已知3,2,21,12,(, 1.)3x x f x x x ≥⎧⎪--≤⎨--⎪⎩=＜＜·················································1分当x ≥2时，f(x)=3，不符合； ···························································2分 当−1≤x ＜2时, f(x)=2x−1, 由f(x)≤1, 即2x−1≤1, 解得x ≤1, ∴−1≤x ≤1. ······3分当x ＜−1时，f(x)= −3，f(x)≤1恒成立. · ··················································4分 综上，x 的取值范围是x ≤1. ·····························································5分 (2)由(1)知f(x)≤3，当且仅当x ≥2时，f(x)=3， ········································6分∴M= f(x)Max =3.即a+b+c=3， ·······················································7分· ∵a 2+b 2≥2ab ，a 2+c 2≥2ac ，c 2+b 2≥2cb ， ·············································8分。
广东省茂名市2020届高三五大联盟学校9月份联考数学(文)试卷Word版含解析
广东省茂名市2020届高三五大联盟学校9月份联考数学（文）试卷一、选择题1. 已知集合，，则中的元素的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】∵集合，∴，即，.∴中的元素的个数为1个故选：B2. 已知，为虚数单位，，则( )A. B. 0 C. D. 1【答案】A【解析】由，为虚数单位，，得：∴即，∴故选：A点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．3. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】由题设，故在上单调递增，则当时取最小值，应选答案B。
点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性.研究函数单调性的一般方法：（1）直接利用基本初等函数的单调性；（2）利用定义判断函数单调性；（3）求导得函数单调性.4. 已知，，，这三个数的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 的内角的对边分别是，已知，，，则等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】由余弦定理得，即，所以，应选答案B。
6. 设满足约束条件，则的最大值为( )A. 3B.C. 1D.【答案】A【解析】画出不等式组表示的区域如图，则问题转化为求动直线在上的截距的最小值的问题，结合图形可知：当动直线经过点时，，应选答案A。
7. 已知函数的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与轴的交点的纵坐标为1，则( )A. 1B.C.D. 0【答案】D【解析】由题设条件可得，则，所以，将点代入可得，即，又，所以，应选答案D。
8. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( )A. 80B. 84C. 88D. 92【答案】A【解析】由题设可知当时，，程序运算继续执行，程序运算继续执行，程序运算继续执行，故此时运算程序结束，输出，应选答案A。
2020届 九师联盟高三押题(二)信息卷数学(文)试题(解析版)
15．若 ，则 __________.
【答案】
【解析】由已知条件求得 的值，进而利用二倍角的正切公式求出 ，再利用二倍角公式结合弦化切的思想可求得所求代数式的值.
【详解】
， ，则 .
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
【详解】
抛物线 的焦点坐标为 ，直线 的方程为 ，
据 得 .设 ，
则 .
线段 垂直平分线方程为 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 .
故答案为：1．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．
三、解答题
17．已知在等比数列 中， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 前 项的和.
本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
6．已知变量的几组取值如下表：
1
2
3
4
7
若 与 线性相关，且 ，则实数 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出 ，把坐标 代入方程可求得 ．
【详解】
据题意，得 ，所以 ，所以 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点 可计算参数值．
又当 时，令 ，
则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在区间 上单调递增，则 ，
当 时， ，
所以只需要函数 在 上单调递增，
即当 时， 恒成立，即 ，解得 恒成立，所以 .
故选：C.
广东省江门市2020届高三下学期4月模拟考试数学(文)试题 Word版含解析
数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】A【解析】【分析】进行交集的运算即可求出P＝{2}，然后即可得出P的子集的个数.【详解】∵A＝{1,2},B＝{2,3}，∴P＝A∩B＝{2}，∴P的子集共有21＝2个.故选：A【点睛】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.2.i是虚数单位，复平面内表示i（1+2i）的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】直接由已知求得对应复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案.【详解】因为i（1+2i）=-2+i其在复平面内对应的点为（-2,1）故在第二象限；故选：B【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.3.学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为（）A. 12B.13C.14D.16【答案】B【解析】【分析】基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3，由此能求出这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率.【详解】学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率p3193 mn===.故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.4.数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，∀n∈N+，a n+2＝a n+1﹣a n，则a2020＝（）A. 1B. 5C. ﹣2D. ﹣3【答案】C【解析】【分析】根据递推关系求出其是以6为周期交替出现的数列，进而表示结论，并求得答案.【详解】因为数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，∀n∈N+，a n+2＝a n+1-a n，∴a3＝a2-a1＝1；a4＝a3-a2＝-2；a5＝a4-a3＝-3；a6＝a5-a4＝-1；a7＝a6-a5＝2＝a1；a8＝a7-a6＝3＝a2；∴数列{a n}是周期为6的数列；∵2020＝6×336+4；∴a2020＝a4＝-2；故选：C【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，解决本题的关键在于求出周期为6，属于简单题.5.执行如图的程序框图，如果输出的y 的值是1，则输入的x 的值是（ ）A.23 B. 2 C. 23或2 D. 以上都不是 【答案】C【解析】【分析】根据结果，倒着推，进行判断.【详解】若x ＜1，则3x -1＝1，解之得x 23=； 若x ≥1，则x 2-4x +5＝1，解之得x ＝2；故选：C【点睛】本题考查程序框图、分段函数的性质，属于基础题.6.若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =-上，则cos(2)2πα+的值等于（ ） A. 45- B. 45 C. 35 D. 35【答案】B【解析】点()cos ,P sin αα在直线2y x =-上，2cos ,tan 2sin ααα∴=-∴=-，22tan 4cos 2221tan 5sin παααα⎛⎫∴+=-=-= ⎪+⎝⎭，故选B. 7.已知a ＝ln 3，b ＝sin 3，13c e -=，则（ ）A. a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜c ＜a【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出.【详解】∵a ＝ln 3＞lne =1，b ＝sin 3＜sin 2132π=，11312c e -==＞， ∴b ＜c ＜a .故选：D .【点睛】本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8.ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱，若AB ＝1，AB 1⊥BC 1，则AA 1＝（ ）【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ，再由110AB BC ⋅=列式求解a 值，则答案可求.【详解】如图，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ，则A （12-,0,0）,B 1（12,0,a ）,B （12,0,0）,C 1（,a ）,则()1111,0,,2AB a BC a ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭.由AB 1⊥BC 1，得211102AB BC a ⋅=-+=，即a =.∴AA 12=.。
广东省茂名市2020届高三数学第二次综合测试试题文含解析
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
①当过点 的直线 斜率不存在时，直线方程为 ，切点的坐标 ；
②当直线 斜率存在时，设 方程为 ，根据圆心 到切线的距离等于半径 ，求出 确定直线方程，直线 方程与圆方程的联立，进一步求出切点的坐标 ，再求出 方程，则椭圆的右焦点及下顶点可求，其标准方程可求.
当且仅当 时等号成立．
故答案为： .
【点睛】考查等差数列的应用，考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.
15.在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点，则平面 截该正方体所得截面面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设平面 交 于点 ，可知平面 截正方体 所得截面为 ，推导出点 为 的中点，计算得知四边形 是边长为 的菱形，并求出菱形 的对角线长，由此可求得该截面的面积.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
列出图中的阴数、阳数，求出从阳数和阴数中各取一数的所有组合总数、满足差的绝对值为 的组合数，利用古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】∵阳数为 ；阴数为 ，
∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有 个，
满足差的绝对值为 的有 ， ， ， ， 共 个，
则 .
5.下列命题错误的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充要条件
B. 命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为真命题
C. 在 中，若“ ”，则“ ”
D. 若等比数列 公比为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的充要条件
《精品》2020届高三入学调研考试试卷 文科数学(二)-解析版
2020届高三入学调研考试卷文 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}||2M x x =∈≤R ，{}04N x x =∈<<R ，则()M N =R ð（ ） A ．[0,2] B ．[2,0)-C ．[2,0]-D ．(,2][4,)-∞+∞【答案】C【解析】[2,2]M =-，集合()0,4N =，(,0][4,)N =-∞+∞R ð，()[2,0]MN =-R ð．2．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且11i z =+， 则12iz z =-（ ） A ．1i +B ．13i 55-+C ．1i 3-+D ．1i 22-【答案】B【解析】复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11i z =+， 所以21i z =-，∴121i 1i (1i)(12i)13i1i i 12i (12i)(12i)55z z i ++++====-+-----+． 3．已知0.5log 5m =，35.1n -=，0.35.1p =，则实数,,m n p 的大小关系为（ ） A ．m p n << B ．m n p << C ．n m p <<D ．n p m <<【答案】B【解析】0.5log 50m =<，30 5.11n -<=<，0.35.11p =>，所以m n p <<．4．焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的离心率为2，则a =（ ）A ．6 B．6+CD ．32【答案】C【解析】因为22213x y a +=（0a >）焦点在x 轴上，即23b =，2222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，解得a =5．若函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()x f x e m =+，则1ln 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．2-【答案】A【解析】因为()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()x f x e m =+，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号即(0)0f =，1m =-，∵1ln 02<，即1ln 02->，1ln 21ln 112f e -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，11ln ln 122f f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，6350S S =-≠，则93S S =（ ） A ．18 B ．13C ．13-D ．18-【答案】D【解析】由635S S =-，可设65S a =-，3S a =，∵{}n a 为等差数列，∴3S ，63S S -，96S S -为等差数列，即a ，6a -，96S S -成等差数列，∴9613S S a -=-，即918S a =-， ∴9318S S =-． 7．如图，每一个虚线围成的最小正方形边长都为1，某几何体的三视图如图中实线所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8πB ．9πC ．28π3 D ．32π3【答案】C【解析】该几何体为一个半圆锥和一个圆柱组合而成，半圆锥体积为21114π22π233V =⋅⋅⋅=，圆柱体积为22π228πV =⋅⋅=，∴该几何体的体积为1228π3V V +=． 8．随机从3名老年人，2名中老年和1名青年人中抽取2人参加问卷调查，则抽取的2人来自不同年龄层次的概率是（ ）A ．15B ．415C ．45D ．1115【答案】D【解析】记3名老年人，2名中老年和1名青年人分别为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，C ，该随机试验的所有可能结果为12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，1(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，2(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，3(,)A C ，12(,)B B ，1(,)B C ，2(,)B C 共15种，其中来自不同年龄层的有11种，故古典概型的概率为1115． 9．将函数()2sin 2f x x =的图象向左平移ϕ（π04ϕ<<）个单位长度后得到()g x 的图象，且π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭则函数()g x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】将函数()2sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位得到()()sin 22g x x ϕ=+，ππ2sin 221212g ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又π04ϕ<<，解得π12ϕ=，即π()2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又πππ2sin 2012126g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心． 10．秦九韶算法是我国古代算筹学史上光辉的一笔，它把一元n 次多项式的求值转化为n 个一次式的运算，即使在计算机时代，秦九韶算法仍然是高次多项式求值的最优算法，其算法如图所示，若输入的0a ，1a ，2a ，3a ，4a 分别为0，1，1，3，2-，则该程序框图输出p 的值为（ ）A ．14-B ．2-C ．30-D ．32【答案】B【解析】根据图中程序框图可知：234()032f x x x x x =+++-， 当2x =时，图中的计算是当2x =时，多项式234()032f x x x x x =+++-的值，∴(2)2p f ==-．11．若在ABC △中，1BC =，其外接圆圆心O 满足3AO AB AC =+， 则AB AC ⋅=（ ）A ．12BCD ．1【答案】A【解析】取BC 中点为D ，根据32AO AB AC AD =+=，即O 为ABC △重心，另外O 为ABC △的外接圆圆心，即ABC △为等边三角形，1cos602AB AC AB AC ⋅=⋅︒=． 12．函数()f x 满足：1()()xf x f x e '+=，且(0)1f =，则关于x 的方程2[()]()0f x mf x n ++=的以下叙述中，正确的个数为（ ）①12m =-，0n =时，方程有三个不等的实根；②1m n +=-时，方程必有一根为0；③0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】D【解析】1()()xf x f x e'+=，得(())1x e f x '=，即()xe f x x c =+，()x x c f x e +=，由(0)1f =，得1c =，()x xf x e-'=，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，且(1)0f -=，大致草图如图所示，12m =-，0n =，有3个不等实根，①正确； 1m n +=-时，()1f x =，即0x =恒满足方程，②正确；0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根，③正确， 所以正确的个数为3个．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．2018年俄罗斯世界杯将至，本地球迷协会统计了协会内180名男性球迷，60名女性球迷在观察场所（家里、酒吧、球迷广场）上的选择，制作了如图所示的条形图，用分层抽样的方法从中抽取48名球迷进行调查，则其中选择在酒吧观赛的女球迷人数为_________人．【答案】4【解析】总球迷是18060240+=人，家里的女性球迷是12025%30⨯=人，球迷广场女性8012.5%10⨯=人，所以在酒吧观赛的女球迷是60301020--=人， 抽样中，选择在酒吧观赛的女球迷人数为20484240⨯=人． 14．设x ，y 满足约束条件1024y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则平面直角坐标系对应的可行域面积为_________． 【答案】4912【解析】画出可行域如图所示，则可行域对应的面积为ABC △，44,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,12B ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,1C -，则1774922312ABC S =⨯⨯=△．15．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =，6a =，b =C =_________． 【答案】5π12【解析】在ABC △中，∵π3A =，6a =，b =sin sin a bA B=，得sin B =a b >，得π4B =，所以5π12C =． 16．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过双曲线222:C x y a -=（0a >）的右顶点P 作射线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于第一象限的点M 和第二象限的点N ，且3PN PM =，OMN △的面积为3S =，则a =________． 【答案】3【解析】由等轴双曲线可设11(,)M x x ，22(,)N x x -，10x >，20x <， 由3PN PM =，得2211(,)3(,)x a x x a x --=-，整理得213()x a x a -=-，解得13a x =，213x x =-，12)3OMN S x =-=△，解得11x =，即3a =．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a ---=（2n ≥，n +∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2log (1)n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）21n n a =-；（2）1n nS n =+． 【解析】（1）由已知112n n n a a ---=， ∴11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+，∴12321222221n n n n a ---=++++++，∴1(1)1(12)21112n n n n a q a q -⋅-===---． （2）2log (1)n n b a n =+=，11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++，∴1111111111122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++． 18．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB △为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD ∥平面GAC ．（1）求证：G 为SB 的中点；（2）若F 为SC 的中点，连接GA ，GC ，FA ，FG ，平面SAB ⊥平面ABCD ，2AB =，求三棱锥F AGC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）14F AGC V -=． 【解析】（1）证明：如图，连接BD 交AC 于E 点，则E 为BD 的中点，连接GE ，∵SD ∥平面GAC ，平面SDB 平面GAC GE =，SD ⊂平面SBD ， ∴SD GE ∥，而E 为BD 的中点，∴G 为SB 的中点． （2）∵F ，G 分别为SC ，SB 的中点，∴1111122448F AGC S AGC C AGS C ABS S ABC S ABCD V V V V V V ------=====，取AB 的中点H ，连接SH ，∵SAB △为等边三角形，∴SH AB ⊥， 又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB平面ABCD AB =，SH ⊂平面SAB ，∴SH ⊥平面ABCD ，而SH =，菱形ABCD的面积为1222sin 602ABCD S =⋅⋅⋅︒=∴11233S ABCD ABCD V S SH -=⋅⋅=⋅=，∴1184F AGC S ABCD V V --==．19．（12分）从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x 表示清洗的次数，y 表示清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量（单位：微克）．（1）在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，y bx a =+与x y me n -=+哪一个适宜作为清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据判断及下面表格中的数据，建立y 关于x 的回归方程； 表中ix i eω-=，5115i i ωω==∑．（3）对所求的回归方程进行残差分析．附：①线性回归方程y bx a =+中系数计算公式分别为121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；②22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑，20.95R >说明模拟效果非常好；③10.37e ≈，210.14e ≈，310.05e ≈，410.02e ≈，510.01e≈． 【答案】（1）见解析；（2）100.8x y e -=⨯+；（3）拟合效果非常好． 【解析】（1）散点图如图，用x y me n -=+作为清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型．（2）由题知51521()()0.9100.09()iii ii y y m ωωωω==--===-∑∑，2100.120.8n y m ω=-=-⨯=， 故所求的回归方程为100.8x y e -=⨯+． （3）列表如下：所以521()0.19i i i y y =-=∑，521()9.1i i y y =-=∑，20.1910.9799.1R =-≈，所以回归模拟的拟合效果非常好．20．（12分）已知抛物线2:4C x y =，P ，Q 是抛物线C 上的两点，O 是坐标原点，且OP OQ ⊥．（1）若OP OQ =，求OPQ △的面积；（2）设M 是线段PQ 上一点，若OPM △与OQM △的面积相等，求M 的轨迹方程．【答案】（1）16OPQ S =△；（2）2142y x =+． 【解析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， （1）因为OP OQ =，又由抛物线的对称性可知P ，Q 关于y 轴对称，所以21x x =-，21y y =， 因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，故12120x x y y +=，则22110x y -+=，又2114x y =，解得14y =或10y =（舍）， 所以14x =±，于是OPQ △的面积为1112162OPQ S x y ==△． （2）直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+， 代入24x y =，得2440x kx m --=，216160Δk m =+>， 且124x x k +=，124x x m =-，因为OP OQ ⊥，所以12120OP OQ x x y y ⋅=+=，故221212016x x x x +=，则240m m -+=，所以4m =或0m =（舍）， 因为OPM △与OQM △的面积相等，所以M 为PQ 的中点，则M 点的横坐标为12022x x x k +==，纵坐标为2000442x y kx =+=+， 故M 点的轨迹方程为2142y x =+． 21．（12分）已知函数()sin 1f x ax x =--，[0,π]x ∈． （1）若12a =，求()f x 的最大值； （2）当2πa ≤时，求证：()cos 0f x x +≤． 【答案】（1）π12-；（2）证明见解析．【解析】（1）当12a =时，1()cos 2f x x '=-， 由()0f x '=，得π3x =，所以π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<；π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，因此()f x 的单调递减区间为π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为π,π3⎛⎤⎥⎝⎦，∴()f x 的最大值为{}ππmax (0),(π)max 1,1122f f ⎧⎫=--=-⎨⎬⎩⎭．（2）证明：先证2sin cos 10πx x x -+-≤， 令2()sin cos 1πg x x x x =-+-，则22π()cos sin )ππ4g x x x x '=--=+，由π)4y x =+，[0,π]x ∈与2πy =的图象易知，存在0[0,π]x ∈，使得0()0g x '=，故0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(,π)x x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 的单调递减区间为0(0,)x ，单调递增区间为0(,π)x ， 所以()g x 的最大值为max{(0),(π)}g g ，而(0)0g =，(π)0g =，又由2πa ≤，0x ≥，所以2sin 1cos sin 1cos 0πax x x x x x --+≤--+≤， 当且仅当2πa =，0x =或π，取“=”成立，即()cos 0f x x +≤．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线:28l x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）点P 在直线l 上，射线OP 交曲线C 于点R ，点Q 在射线OP 上，且满足229OR OP OQ =⋅，求点Q 的轨迹的直角坐标方程． 【答案】（1）2222cos sin 149ρθρθ+=，2cos sin 8ρθρθ+=；（2）22294x y x y +=+．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 149ρθρθ+=，直线l 的极坐标方程为2cos sin 8ρθρθ+=．（2）设点Q 的极坐标为(,)Q ρθ， 易知222369cos 4sin OR θθ=+，82cos sin OP θθ=+， 故代入229OR OP OQ =⋅，得2219cos 4sin 2cos sin ρθθθθ=++， 即2222cos sin 9cos 4sin ρθρθρθθ+=+，所以点Q 的轨迹的直角坐标方程为22294x y x y +=+． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()31f x x x =--+，M 为不等式()2f x <的解集． （1）求M ；（2）证明：当log a b M ∈时，12222a b a b +--<-． 【答案】（1）(0,)M =+∞；（2）证明见解析． 【解析】（1）当3x ≥时，()42f x =-<成立；当13x -<<时，()31222f x x x x =---=-<，∴03x <<； 当1x ≤-时，()42f x =>，不成立．综上，(0,)M =+∞．（2）证明：根据题意，得log 0a b >，∴11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，要证12222a b a b +--<-成立，即证144224422a b a b a b a b ++-++-⋅<+-⋅成立，即证144440a b a b +-+--<成立，111144444(14)4(41)(41)(44)a b a b a b b b a +----+--=-+-=--，当11a b >⎧⎨>⎩时，1(41)0b -->，(44)0a -<； 当0101a b <<⎧⎨<<⎩时，1(41)0b --<，(44)0a ->， 故1(41)(44)0b a ---<，所以144440a b a b +-+--<成立， 即12222a b a b +--<-成立．。
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，4，，3，，，则A. B. 3，C. D.2.若，x，，则复数的虚部为A. 2B. 1C. iD.3.已知函数在点处的切线方程为，则A. B. 1 C. D. 04.函数的图象如图所示，则的值为A.B. 1C.D.5.下列命题错误的是A. “”是“”的充要条件B. 命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题C. 在中，若“”，则“”D. 若等比数列公比为q，则“”是“为递增数列”的充要条件6.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.7.“辗转相除法”是欧几里得原本中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入，时，则输出的m是A. 2B. 6C. 101D. 2028.已知双曲线的离心率为2，其一条渐近线被圆截得的线段长为2，则实数m的值为A. B. C. 2 D. 19.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则使不等式成立的x取值范围是A. B.C. D.10.函数在的图形大致是A. B.C. D.11.已知三棱锥中，，，，，且平面平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.12.已知函数，对于函数有下述四个结论：函数在其定义域上为增函数；对于任意的，都有成立；有且仅有两个零点；若在点处的切线也是的切线，则必是零点．其中所有正确的结论序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则______．14.为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于______盈利额总收入总成本15.在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为：______．16.过点作圆的切线l，已知A，B分别为切点，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB方程为______；椭圆的标准方程是______第一空2分，第二空3分三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求cos C；若，求的面积．18.某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在为一等品，大于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B配方废品有6件．质量指标值分组频数8a36248求a，b的值；试确定A配方和B配方哪一种好？说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表19.如图1，在▱ABCD中，，，，E为边AD的中点，以BE为折痕将折起，使点A到达P的位置，得到图2几何体．证明：；当平面PEB时，求三棱锥的体积．20.已知抛物线C：与直线l：相切于点A，点B与A关于x轴对称．求抛物线C的方程，及点B的坐标；设M、N是x轴上两个不同的动点，且满足，直线BM、BN与抛物线C 的另一个交点分别为P、Q，试判断直线PQ与直线l的位置关系，并说明理由．如果相交，求出的交点的坐标．21.设函数．讨论的单调性；若，当，且时，，求n的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：，为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程，点在直线l上，直线l与曲线C交于A，B两点．求曲线C的普通方程及直线l的参数方程；求的面积．23.已知函数．若，求x的取值范围；若最大值为M，且，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：2，3，4，，3，，，，3，，3，，．故选：B．进行交集、并集和补集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：，，，的虚部是1，故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得x，y，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：因为切点在切线上，，得，又切线斜率为，．．故选：D．将切点横坐标代入切线方程，可求得，切线的斜率即为切点处的导数值，即．本题考查导数的几何意义，以及利用导数求切线方程的基本思路．属于基础题．4.答案：B解析：【分析】根据函数的图象求得A、T、和的值，写出的解析式，再计算的值．本题考查了的图象与性质，是基础题．【解答】解：根据函数的图象可得，，解得，根据，且，得，，又的图象过点，，即，，，，又因，，，计算．故选：B．5.答案：D解析：解：由，A正确；命题“若，则方程有实根”的逆命题为命题“若方程有实根，则”，方程有实根，B正确；在中，若根据正弦定理，C正确；例如数列，，，是的等比数列，但该数列单调递减；又如数列，，，是单调递增数列，但，因此对于公比为q的等比数列，“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，D错误．故选：D．A，用配方法解一元二次方程即可作出判断；B，先写出原命题的逆命题，再根据判别式，解得m的取值范围，即可作出判断；C，先根据大角对大边，再结合正弦定理即可得解；D，列举特殊数列：例如，，，和，，，，可以说明“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件．本题考查命题的真假，涉及原命题与逆命题的关系、充要条件等知识点，考查学生灵活运用知识的能力和推理论证能力，属于基础题．6.答案：A解析：【分析】阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，10，从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：个，利用列举法求出满足差的绝对值为5的有5个，由此能求出其差的绝对值为5的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．【解答】解：因为阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，10，所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：个，满足差的绝对值为5的有：，，，，共5个，则．故选：A．解析：解：输入，，又．，，，，；，，，；，．，，；，则否，输出．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：C解析：解：依题意：，可得，双曲线渐近线方程为：．不妨取渐近线：，则圆心到的距离．由勾股定理得，解得，，，故选：C．利用双曲线的离心率，求出a，b关系，得到双曲线的渐近线方程，利用垂经定理，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．9.答案：A解析：【分析】根据题意，由函数的解析式可得且在上为减函数，结合函数的奇偶性可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．【解答】解：根据题意，当时，，则有，且在上为减函数，又由为偶函数，则，解可得：或，即x的取值范围为；10.答案：A解析：解：，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除选项D；在y轴右侧第一个零点为．当时，，，，，排除选项B；当时，，，，且，．故选：A．先计算，与进行比较，可判断函数的奇偶性，优先排除选项D，再当时，判断函数每一部分的正负性可排除选项B，最后计算时，可得，从而确定正确的选项．本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：在中，由余弦定理得，又，为直角三角形，，又平面平面ABC且交于AB，平面PAB，设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，，且三棱锥的外接球的球心在过点M的平面PAB的垂线上，如图所示：，因为平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，即，设几何体的外接球半径为R，在中，则，所求外接球的表面积，先求出AB，得到为直角三角形，所以平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，再利用正弦定理求出的外接圆半径为r，利用勾股定理即可求出几何体的外接球半径为R，从而得到外接球的表面积．本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题．12.答案：C解析：解：依题意，的定义域为，且，在区间和上都是增函数，但并不能说明其在整个定义域内是增函数，即错误；当时，有，成立，即正确；在区间上单调递增，且，．，即在区间上有且仅有1个零点．在区间上单调递增，且，，，也可以利用当时，，，即在区间上有且仅有1个零点．因此，有且仅有两个零点，即正确；在点处的切线方程l为．又l也是的切线，设其切点为，则l的斜率，从而直线l的斜率，，即切点为，又点A在l上，，，必是零点，即正确．综上，正确的有，故选：C．对函数求导得，只能说明在区间和上都是增函数，但并不能说明其在整个定义域内是增函数；直接计算的值，分离常数后，在的条件下，与比较大小即可作出判断；由可知，在区间和上都是增函数，分别在两个区间上使用零点存在定理进行判断，其中找区间端点值是关键步骤；先写出在点处的切线方程l，再设直线l与相切于点，利用导数求出斜率以及把点A坐标代入切线l的方程，化简整理后可得，故而即可作出判断．本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，有一定的综合性，考查学生的推理论证能力和运算能力，属于中档题．13.答案：3解析：解：向量，，若，则，，故答案为：3．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得k的值．本题主要考查两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：4解析：解：设每年的营运成本为数列，依题意该数列为等差数列，且，．所以n年后总营运成本，因此，年平均盈利额为：，当且仅当时等号成立．故答案为：4．设每年的营运成本为数列，依题意该数列为等差数列，且，所以n年后总营运成本，因此，年平均盈利额为：，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：如图，在正方体中，平面平面，平面与平面的交线必过C且平行于，故平面经过的中点F，连接，得截面，易知截面是边长为的菱形，其对角线，，截面面积．故答案为：．作出截面截面，F为的中点，则可得截面是边长为的菱形，求出其面积即可本题考查平面截正方体所得截面的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：解析：解：当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为：，切点的坐标；当直线l斜率存在时，设l方程为，根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径1，可以得到切线斜率，即l：直线l方程与圆方程的联立可以得切点的坐标；根据A、B两点坐标可以得到直线AB方程为，或利用过圆外一点作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为依题意，AB与x轴的交点即为椭圆右焦点，得，与y轴的交点即为椭圆下顶点坐标，所以，根据公式得，因此，椭圆方程为：．故答案为：；．当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为：，切点的坐标；当直线l斜率存在时，设l方程为，利用直线与圆相切，求出，得到l：然后求解；得到直线AB方程为，然后利用椭圆的性质，转化求解a，b，得到椭圆方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.答案：解：依题意，由正弦定理得：，，，，，，．由题意得：，，，，，，，．解析：依题意由正弦定理得：，利用二倍角公式结合，，即可求解．由题意得：，，利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用二倍角公式可求sin B，cos B的值，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解：依题意，A、B配方样本容量相同，设为n，又B配方废品有6件．由B配方的频频率分布直方图，得废品的频率为，解得，，由，解得，b的值分别为24，．由及A配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数为：，质量指标值的样本方差为，由B配方的频频率分布直方图得，B配方质量指标值的样本平均数为，质量指标值的样本方差为：，综上，，，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，所以选择B配方比较好．解析：、B配方样本容量相同，设为n，B配方废品有6件．由B配方的频频率分布直方图，能求出，从而求出a和b．由A配方的频数分布表能求出A配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差；由B 配方的频频率分布直方图能求出B配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差，由两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，得到选择B配方比较好．本题考查频数和频率的求法，考查平均数、方差的求法及应用，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：证明：依题意，在中，，，，由余弦定理得：，，即在▱ABCD中，，以BE为折痕将折起，由翻折不变性得，在几何体中，，又，平面PED，又平面PEB，．解：平面PEB，平面PEB，，由得，同理可得平面BCE，即平面BCD，PE就是三棱锥的高，又，，，，，．因此，三棱锥的体积为．解析：由余弦定理得，从而，进而，以BE为折痕将折起，由翻折不变性得，，又，从而平面PED，由此能证明．推导出，，从而平面BCE，PE就是三棱锥的高，由，能求出三棱锥的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：联立，消去x得，直线与抛物线相切，，又，解得，抛物线C的方程为，由，得，切点为，点B与A关于x轴对称，点B的坐标．直线，理由如下：依题意直线BM的斜率不为0，设，直线BM的方程为，由，，直线BM的方程为，代入解得舍或，，，、N关于AB对称，得，同理得BN的方程为，代入得，，直线l的斜率为，因此．解析：联立，消去x得，通过直线与抛物线相切，解得，得到抛物线C的方程，然后求解即可．直线，证明直线BM的斜率不为0，设，直线BM的方程为，求出直线BM的方程，代入求出，，然后求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．21.答案：解：依题得，定义域为R，，，分令，，若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，，所以在R上单调递增分若，即，令，得或，当时，，分当时，，分综合上述：当时，在R上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增分依题意可知：分令，可得，分，，设，则，分当时，，单调递减，分故，分要使在时恒成立，需要在上单调递减，所以需要，分即，此时，故，综上所述，n的取值范围是分解析：对求导后，再令，，接下来分及两种情况讨论得出结论；利用导数求出函数的最大值，只需其最大值小于等于0即可，进而求得n的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，逻辑推理能力，属于中档题．22.答案：解：将曲线C：，为参数，消去参数得，曲线C的普通方程为：．点在直线上，．，展开得，又，，直线l的直角坐标方程为，显然l过点，倾斜角为．直线l的参数方程为为参数．由，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得：，设A，B对应的参数为，，则由韦达定理得，由参数t的几何意义得，又原点O到直线l的距离为．因此，的面积为．解析：直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和点到直线的距离公式的应用及三角形面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由已知分当时，，不符合；分当时，，由，即，解得，分当时，，恒成立分综上，x的取值范围是分证明：由知，当且仅当时，，分即，分，，，分，分因此分解析：分类讨论解不等式，再把每种情况的解集取并集即可；由知，，再利用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查分类讨论思想，运算求解能力以及推理论证能力，属于基础题．。
2020届四省名校高三第二次大联考数学(理)试题(PDF版,含答案解析)
2020届四省名校高三第二次大联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{})2ln(+==x y x A ，{}13<=x x B ，则=B A A.{}02<<-x x B.{}02<≤-x x C.{}12<<-x x D.{}12<≤-x x 2.对于平面内两个非零向量a 和b ，0:>⋅b a p ，a q :和b 的夹角为锐角，则p 是q 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为2,4，则输出v 的值为A.24B.25C.49D.504.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1032=+a a ，305=S ，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.45.42)2(xx -展开式中含5x 的项的系数为A.8B.8-C.4D.4-6.正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）111C B A ABC -中，AB AA =1，M 为棱1CC 的中点，则异面直线C A 1与BM 所成的角为A.6π B.4πC.3π D.2π7.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去CB A ,,三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为A.121 B.81C.61D.418.已知函数)sin(31)cos(33)(θθ+-+=x x x f )2|(|πθ<是偶函数，则θ的值为A.3π B.3π-C.6π D.6π-9.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点M 在AD 边上，AM AD 3=，若AC AB CM μλ+=，则=+μλA.32- B.32C.67 D.67-10.抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点F 是双曲线12222=-x y 的一个焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线l 交C 于B A ,，则=||AB A.2334+ B.234+C.316D.1611.下列选项中，函数1sin 2)(2+-=x x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.12.设点)0,1(A ，)0,4(B ，动点P 满足||||2PB PA =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：4)3(3(22=-++y x ，1C 与2C 交于点N M ,，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则=⋅MQ MN A.4 B.32C.2 D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数|43|1i ii z +-+=，则=z _______.14.在正项等比数列{}n a 中，1011010=a ，则=++++2019321lg lg lg lg a a a a _______.15.如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，BC SB ⊥，2==BC AB ，3==PC PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为_______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--=1,21ln 1,272)(2x x x x x x f 若关于x 的方程kx x f =)(恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。
广东省茂名市2024届高三下学期4月二模考试 数学含答案
2024年茂名市高三年级第二次综合测试数学试卷（答案在最后）满分150分，考试用时120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知复数cossin 66z i ππ=+（i 为虚数单位），则z =（）A.12B.2 C.1D.12+2.与向量()3,4a =-方向相同的单位向量是（）A.34,55⎛⎫⎪⎝⎭B.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫--⎪⎝⎭3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5425a a =+，则11S 的值是（）A.11B.50C.55D.604.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（）A.若lm ⎪⎪，m α⊂，则l ⎪⎪α B.若l ⎪⎪α，,m⎪⎪βα⎪⎪β，则l m ⎪⎪C.若,,l m αβαβ⊥⊂⊂，则l m ⊥ D.若,,m l l m β⎪⎪α⎪⎪⊥，则αβ⊥5.已知变量x 和y 的统计数据如表：x 12345y66788根据上表可得回归直线方程 0.6y x a=+，据此可以预测当8x =时，y =（）A.8.5B.9C.9.5D.106.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F C 的准线与x 轴的交点为M ，点P 是C 上一点，且点P 在第一象限，设,PMF PFM αβ∠=∠=，则（）A.tan sin αβ= B.tan cos αβ=- C.tan sin βα=- D.tan cos βα=-7.若()f x 为R 上的偶函数，且()()4f x f x =-，当[]0,2x ∈时，()21xf x =-，则函数()()()3sin g x x f x π=-在区间[]1,5-上的所有零点的和是（）A.20B.18C.16D.148.已知22,,0m n R m n ∈+≠，记直线0nx my n +-=与直线0mx ny n --=的交点为P ，点Q 是圆()()22:224C x y ++-=上的一点，若PQ 与C 相切，则PQ 的取值范围是（）A.⎡⎣B.⎡⎣C.⎡⎣D.2,⎡⎣二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()220f a f a +->，则实数a 的取值可以是（）A.-1B.0C.1D.210.已知双曲线22:41C x y -=，直线():10l y kx k =+>，则下列说法正确的是（）A.若2k =，则l 与C 仅有一个公共点B.若k =l 与C 仅有一个公共点C.若l 与C 有两个公共点，则2k <<D.若l 与C 没有公共点，则k >11.已知6ln ,6nm m a n e a =+=+，其中n m e ≠，则n m e +的取值可以是（）A.eB.2eC.23eD.24e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()52x -的展开式中3x 的系数是___________.13.在ABC ∆中，060,6,3BAC AB AC ∠===，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，则AD =______________.14.如图，在梯形ABCD 中，0190,22ABC BAD AB BC AD ∠=∠====，将BAC ∆沿直线AC 翻折至1B AC ∆的位置，13AM MB =，当三棱锥1B ACD -的体积最大时，过点M 的平面截三棱锥1B ACD -的外接球所得的截面面积的最小值是_______________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，几何体是圆柱的一半，四边形ABCD 是圆柱的轴截面，O 为CD 的中点，E 为半圆弧CD上异于,C D 的一点.（1）证明：AE CE ⊥；（2）若24AB AD ==，3EDC π∠=，求平面EOB 与平面DOB 夹角的余弦值.16.（15分）已知函数()sin xf x e x ax =-.（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为0x y +=，求实数a 的值；（2）若32a =，求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.17.（15分）已知椭圆22:12x C y +=，右焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于,A B 两点.（1）若直线l 的倾斜角为4π，求AB ；（2）记线段AB 的垂直平分线交直线1x =-于点M ，当AMB ∠最大时，求直线l 的方程.18.（17分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为()01p p <<，且不同对阵的结果相互独立.（1）若0.6p =，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19.（17分）有无穷多个首项均为1的等差数列，记第()*n n N ∈个等差数列的第(),2m m N m ∈≥项为()m a n ，公差为()0n n d d >.（1）若()()22212a a -=，求21d d -的值；（2）若m 为给定的值，且对任意n 有()()12m m a n a n +=，证明：存在实数,λμ，满足1λμ+=，10012d d d λμ=+；（3）若{}n d 为等比数列，证明：()()()()()1122m m m m m a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .参考答案一、单选题题号12345678答案CBCDDAAC二、多选题题号91011答案CDABDCD1.【答案】C 【解析】1z ==，故选C 2.【答案】B 【解析】34,55a a-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选B 3.【答案】C【解析】由等差数列{}n a 的性质可得65425a a a =-=，则()1111161111552a a S a +===，故选C4.【答案】D【解析】关于A ，缺少条件l α⊄，故A 错误；关于B ，桌面平放一支笔，平行地面；地面平放一支笔，平行桌面，观察这两支笔的关系，就知道这两支笔不一定平行，故B 错误；关于C ，黑板跟地面垂直，黑板上随意画一条线，地面随意放一支笔，不一定垂真；关于D ，∵,m l m β⎪⎪⊥，∴l β⊥，又l ⎪⎪α，记l γ⊂，且l γα'= ，则l l ⎪⎪'，∴l β'⊥，∴αβ⊥.故D 正确，故选D.5.【答案】D 【解析】1234535x ++++==，6678875y ++++==，则 70.63a =⨯+，∴ 5.2a =，∴ 0.6 5.2y x =+，∴8x =时，预测0.68 5.210y =⨯+=，故选D 6.【答案】A【解析】过点P 作PP '垂直准线，垂足为P '，在PMF ∆中，由正弦定理得，sin sin PF PM PMFPFM=∠∠，即sin sin PF PM αβ=，所以sin sin PF PM αβ=，在直角PP M '∆中，cos P P PF P PM PMPM''∠==，因为P PM PMF α'∠=∠=，所以cos PF PMα=，所以sin cos sin ααβ=，即sin sin tan cos αβαα==，故选A7.【答案】A【解析】()y f x =与()3sin y x π=在区间[]1,5-上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线2x =对称，所以()g x 在区间的[]1,5-的有零点的和是20.故选A8.【答案】C【解析】∵22,,0m n R m n ∈+≠，直线0nx my n +-=与直线0mx ny n --=分别过定点()()1,0,0,1M N -，且两直线垂直，∴交点P 的轨迹是以MN 为直径的圆，即点P 的轨迹方程为221111:222C x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心111,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点Q 是C 上的一点，直线PQ 是C 的切线，所以问题可转化为圆1C 上任一点P 作直线与圆()()22:224C x y ++-=相切，求切线长PQ 的取值范围.设圆C的半径为R ，则2R =，因为圆C 的圆心为()2,2C -，其半径为定值，当PC 取得最小值和最大值时，切线长PQ 取得最小值和最大值，又因为112222CC PC CC -≤≤+，即2222PC -≤≤+，即PC ≤≤PQ ≤≤，即∴2PQ ≤≤.故选C9.【答案】CD【解析】∵函数()f x 是奇函数，在R 上单调递增，则不等式()()220f a f a +->，可变形为()()()222f a f a f a >--=-，∴22a a >-，解得23a >.故选CD 10.【答案】ABD【解析】因为双曲线的方程为2241x y -=，其渐近线方程为by x a=±，即2y x =±，又因为直线:1l y kx =+过定点()0,1，当2k =时，直线l 与双曲线C 有且只有一个交点，故A 正确；联立22411x y y kx ⎧-=⎨=+⎩消去y 得，()224220k x kx ---=，当直线l 与双曲线C 相切时，方程只有一个实数根，()()222840k k ∆=+-=，解得k =±220kx --=，当直线l 与双曲线C 相切时，方程只有一个实数根，()()222840k k∆=+-=，解得k =±，所以当k =l 与双曲线C 有且只有一个交点，故B 正确；由图象可知，若l 与C 有两个公共点，则2k <<或02k <<，故选C 错误；若l 与C 没有公共点，k >D 正确，故选ABD.11.【答案】CD【解析】令()6ln f x x x =-，则()661xf x x x-'=-=，故当()0,6x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()6,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，∵6ln m m a =+，66ln n n n e e a ==+，∴()()n f m f e =，又nm e ≠，不妨设06nm e <<<，解法一：记12,nx m x e ==，设()()()12g x f x f x =--，()0,6x ∈，所以()()()()()226661201212x x x g x f x f x x x x x ---'''=---=-=<--在()0,6上恒成立，所以()g x 在()0,6上单调递减，所以()()()()1260g x f x f x g =-->=，()0,6x ∈，则()()()11212f x f x f x ->=，又因为()1212,6,x x -∈+∞，且()f x 在()6,+∞上单调递减，所以1212x x -<，则1212x x +>，所以12n m e +>，故选CD解法二：令()1n e t t m =>；两式相减，可得6ln n n e e m m =-，则()6ln 6ln 6ln 1,,11n t t tt m t m e mt t t =-===--，∴()61ln 1nt t m e t ++=-；令()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->，则()11ln 2ln 1t g t t t t t+'=+-=+-，因为()221110t g t t t t-''=-=>在()1,+∞上恒成立，所以()g t '在()1,+∞上单调递增，因为()()10g t g ''>=在()1,+∞上恒成立，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即()1ln 21t t t +>-，所以()61ln 121n t t m e t ++=>-，故CD解法三：令()()1ln ,11t t g t t t +=>-，则()()()()()2211ln 11ln 2ln 11t t t t t t t t t g t t t +⎛⎫+--+-+- ⎪⎝⎭'==--，记()12ln h t t t t =-+-，则()()222221212110t t t h t t ttt---+'=++==>，在()1,+∞上恒成立，∴()h t 在()1,+∞上单调递增，∴()()10h t h >=，所以()0g t '>在()1,+∞上恒成立，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，又由洛必达法则可知()()1111ln 1lim lim lim ln 21t t t t t t g t t t t →→→++⎛⎫==+=⎪-⎝⎭，∴()()2,g t ∈+∞，∴()61ln 121nt t m e t ++=>-，故选CD解法四：∵6ln ,66ln nnm m a n e e a =+==+，两式相减得6ln ln n ne me m -=-，由对数均值不等式212121ln ln 2x x x x x x -+<<-，可得12n m e +>，下列对数均值不等式右半部分：212121ln ln 2x x x xx x -+<-（左半部分可自行证明），证明：不妨设210x x >>，则上述不等式可化为()212212112ln ln lnx x x x x x x x -<-=+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，记21x t x =，则不等式可化为1t >时，()21ln 1t t t -<+，令()()21ln 1t f t t t -=-+，则()()()()()()222212111011t t t f t t t t t +----'=-=<++，所以()f t 在()1,+∞上单调递减，则()()10f t f <=，所以1t >时，()21ln 1t t t -<+，所以212121ln ln 2x x x xx x -+<-，故选CD .12.【答案】40【解析】由()22335240C x x -=可得答案；13.【答案】【解析】由余弦定理，2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠ ，即22263263cos 6027BC =+-⨯⨯=，∴222AB AC BC =+，即ABC ∆为直角三角形，090C ∠=，BC =，∵2BD DC =，∴DC AD ==14.【答案】34π【解析】显然，当三棱锥1B ACD -的体积最大时，平面1B AC ⊥平面ACD ，且平面1B AC 平面ACD AC =；取AC 的中点E ，则1B E AC ⊥，故1B E ⊥平面ACD ，取AD的中点O ，则OE =又1B E =12B EO π∠=，则22OB =，又∵2OA OD OC ===，故O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，且该外接球的半径2R =；显然，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，记其半径为r ，则2R ==1B AD ∆中，112,4,2B A AD AB D π==∠=，故13B AD π∠=；又13AM MB = ，故12AM =，又2OA =，故由余弦定理有21113422cos 4234OM π=+-⨯⨯⨯=，∴22234r R OM =-=，故所求面积为34π.15.（1）证明：∵CD 是圆的直径，∴CE DE⊥又∵AD ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，∴CE AD ⊥，∵DE AD D = ，,DE AD ⊂平面ADE ，∴CE ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，∴AE CE ⊥；（2）解：记点1E 为点E 在底面上的投影，以1E 为坐标原点，111,,E A E B E E 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵4,3AB EDC π=∠=，∴2,DE EC ==故()()()()0,0,2,1,2,0,,2,0,2E O B D ，∴()()()(),0,2,1,2,1,EO EB OB OD ==-=--=-记平面EOB ，平面DOB 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==，则00n EO n EB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，00m OB n OD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111020x z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，22222200x z x ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，故可取121y y ==，则(),n m ==，∴cos ,7n m n m n m==-∴平面EOB 与平面DOB夹角的余弦值为7.16.解：（1）因为()sin xf x e x ax =-，所以()()sin cos xf x ex x a '=+-，所以()01f a '=-，因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为0x y +=，所以()01f '=-所以11a -=-所以2a =；（2）当32a =时，令()()()3sin cos 2x h x f x e x x '==+-，()()sin cos cos sin 2cos x x h x e x x x x e x '=++-=，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '≥，()h x 单调递增，又()3101022h =-=-<，2330222h e e ππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，所以∃唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =当[)00,x x ∈时，()()0,h x f x <单调递减；当0,2x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()0,h x f x >单调递增，又()231000, 2.50244f f e e e πππ⎛⎫==->-=-> ⎪⎝⎭所以()2max324f x f e πππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.17.解：（1）由题意可得()1,0F ，因为直线l 的倾斜角为4π，所以tan 14k π==，因此，l 的方程为1y x =-，联立方程22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2340x x -=解得1240,3x x ==所以()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，3AB ==（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得，直线l 的斜率不为0，故设l 为1x my =+，联立方程22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得，()222210m y my ++-=因此12122221,22m y y y y m m -+==-++，所以()()()22222212122214422211422m m m m AB m y y y y m m ++++=++-==++，设线段AB 的中点为G ，则12222,1222G G G y y m y x my m m +==-=+=++，所以()222221421122m m MG m m m ++=+--=++，所以221212tan 24AB AMB m MG m ∠+==+设21t m =+，则22221226tan 32436AMB m tm t t t ∠+===≤+++，当且仅当3t =，即2m =±时等号成立，当2AMB ∠最大时，AMB ∠也最大，此时直线l 的方程为21x y =±+，即210x y +-=或210x y --=18.解：（1）①记“甲获得第四名”为事件A ，则()()210.60.16P A =-=；②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X ，则X 的所有可能取值为2，3，4，连败两局：()()2210.60.16P X ==-=，3X =可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；()()()()()230.610.60.610.60.610.610.60.552P X ==+-⨯⨯-+⨯-⨯-=，()()()410.60.60.60.610.60.60.288P X ==-⨯⨯+⨯-⨯=；故X 的分布列如下：X234P 0.160.5520.288故数学期望()20.1630.55240.288 3.128E X =⨯+⨯+⨯=；（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率()()()32331132P p p p p p p p p =+-+-=-，在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为2p ，由()()()()3222232321211p p p p p p p p p --=--=--，且01p <<所以1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3232p p p ->，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；10,2p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3232p p p -<，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；12p =时，两种赛制甲夺冠的概率一样.19.解：（1）由题意得()()()2221212111a a d d d d -=+-+=-，又()()22212a a -=，所以212d d -=；（2）证明：因为()()12m m a n a n +=，所以()()111211n n m d m d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，即1121n n d d m +=+-，所以111211n n d d m m +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，因此99100111211d d m m ⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，所以99100111211d d m m ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭，又21121d d m =+-，即21121d d m =--，因此()()()()99999910012121122222221d d d d d d d d =+---=-+-，所以存在实数999922,21λμ=-=-，满足100121,d d d λμλμ+==+；（3）证明：因为{}n d 为等比数列，所以11n n d d q -=，其中q 为{}n d 的公比，于是()()1111n m a n m d q -=+-，当1i n ≤≤时，()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+-+⎡⎤⎣⎦()()111111n i n m d q q q ---=-+--()()()11111n i i m d q q --=----，因为0,0,10q n i i >-≥-≥，因此()()1110m i i q q ----≥，又()110m d --<，所以()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，因此()()()()111m m m mm a n i a i n a n a =+-+≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑，即()()()()()2121m m m m m a a a n n a n a +++≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，所以()()()()()1122m m m m n a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .。
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设U ={1,2,3,4,5}，，则B⋂(C U A)=( )A. ⌀B. {2}C. {3,4}D. {1,3,4,5}2. 若(x +2i)i =y −1i (x,y ∈R)，则x +y =( )A. −1B. 1C. 3D. −33. 函数y =f(x)的图象在点x =5处的切线方程是y =−x +8，则f(5)+f′(5)等于( )A. 1B. 2C. 0D. 124. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,π2<φ<π)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的周期为πB. 函数y =f(x −π)为偶函数C. 函数f(x)在[−π,−π4]上单调递增 D. 函数f(x)的图象关于点(5π6,0)对称5. 下列结论中是错误命题的是( )A. 命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式为￢p ：“∀x ∈R ，x 2−2<0”B. 若￢p 是q 的必要条件，则p 是￢q 的充分条件C. “M >N ”是“(23)M >(23)N ”的充分不必要条件6.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A. 12B. 23C. 14D. 137.算法的程序框图如图所示，当输入n=6时，输出的结果是()．A. 35B. 84C. 49D. 258.已知直线l1，l2为双曲线M：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线，若l1、l2与圆N：(x−2)2+y2=1相切，则双曲线M离心率的值为()A. √33B. 2√33C. √3D. 4√339.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，若f(−2)=0，则满足xf(x)>0的x的取值范围是()A. B.C. D. (−2,0)∪(0,2)10.函数f(x)=e x−e−x2cosx在[−2π,2π]上的大致图象是()A. B.C. D.11.在三棱锥S−ABC中，SC⊥平面ABC，SC=√3，AB=1，BC=√3，AC=√2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π(x∈R)，有下述四个结论：12.关于函数f(x)=x1+|x|①任意x∈R，等式f(−x)+f(x)=0恒成立；②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；③存在m∈(0,1)，使得方程|f(x)|=m有两个不等实数根；④存在k∈(1,+∞)，使得函数g(x)=f(x)−kx在R上有三个零点．其中包含了所有正确结论编号的选项为()A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①②二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(1,3)，c⃗=(k,2)，若(a⃗−c⃗ )⊥b⃗ 则k=______ ．14.已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，n∈N∗.若a3=16，S20=20，则S10的值为_____．15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点．若AB=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S等于______．16.过椭圆x24+y22=1的右顶点A作斜率为−1的直线交椭圆于另一点B，则点B的坐标为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．18.某高科技公司投入1000万元研发某种产品，大规模投产后，在产品出库进入市场前，需做严格的质量检验．为此，从库房的产品中随机抽取200件，检测一项关键的质量指标值(记为X)，由检测结果得到如下样本频率分布直方图：(1)求这200件产品质量指标值的样本平均数X−、样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)该公司规定：当X>170时，产品为正品；当X≤170时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利80元；若是次品，则亏损20元．①估计这200件产品中正品、次品各有多少件；②求公司生产一件这种产品的平均利润．19.如图1，菱形ABCD中，AB=2，∠A=60∘，以对角线BD为折痕把△ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，使EC=√3．(1)求证：BD⊥EC；(2)求三棱锥E−BCD的体积．20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)，直线l：y=−2，且抛物线的焦点到直线l的距离为3．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)动点P在直线l上，过P点作抛物线的切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，证明：PQ⊥x轴．21.已知f(x)=e x−mx．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤13．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的交集、补集运算，属于基础题．解：∵U={1,2,3,4,5}，，∴C U A={3,4}，∴B⋂(C U A)={3,4}．故选C．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得x，y的值，则x+y可求．，得解：由(x+2i)i=y−1i−2+xi=y−−i=y+i，−i2∴x=1，y=−2.则x+y=−1．故选A．3.答案：B解析：解：因f(5)=−5+8=3，f′(5)=−1，故f(5)+f′(5)=2．故选项为B据切点处的导数值为切线的斜率，故f′(5)为切线斜率，又由切线方程是y=−x+8，即斜率为−1，故f′(5)=−1；又f(5)为切点纵坐标，据切点坐标与斜率可求得答案．考查曲线在切点处的导数值为切线斜率．4.答案：C解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题． 根据图象求解析式，即可判断各选项，可得到结论． 解：根据图象，可知A =2，图象过(0,√3)，∴√32=sinφ，∵π2<φ<π，∴φ=2π3．周期12T =5π4−(−π4)=3π2，∴T =3π.可知A 错误； ∴ω=2πT=23． 函数f(x)=2sin(23x +2π3)，f(x −π)=2sin 23x 为奇函数， 可知B 错误； 令2kπ−π2≤23x +2π3≤2kπ+π2，k ∈Z ．得：3kπ−7π4≤x ≤3kπ−π4k ∈Z ，∴函数f(x)在[−π,−π4]上单调递增；C 正确; 令可得D 错误．故选：C ．5.答案：C解析：解：对于A ：命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式为￢p ：“∀x ∈R ，x 2−2<0”，故A 正确；对于B ：若￢p 是q 的必要条件，则￢q 是p 的必要条件，即p 是￢q 的充分条件，故B 正确 对于C ：若M >N ，则(23)M <(23)N ”，不能得到“(23)M >(23)N ”，即充分性不成立；反之，若“(23)M >(23)N ”，则M <N ，即必要性也不成立，∴“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的既不充分又不必要条件，故C 错误． 故错误的是：C ． 故选：C ．A ，写出命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式，再判断正误即可；B ，利用原命题与其逆否命题的等价性可知：￢q 是p 的必要条件，即p 是￢q 的充分条件；C ，利用充分必要条件的概念及指数函数的单调性质可判断“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的既不充分又不必要条件．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定及等价命题的应用，考查充分必要条件的概念及应用，属于中档题．6.答案：D解析：本题考查古典概型公式，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4，6和2，8，由此能求出能使这两数与居中阳数之和等于15的概率． 解：四个阴数分别为2，4，6，8，阳数为5，从四个阴数中随机抽取2个数，有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共计6种取法． 其中满足题意的取法有两种：(4,6)和(2,8)，∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率p =26=13． 故选D ．7.答案：A解析：本题考查了利用程序框图求和的问题，解题时应模拟程序框图的运行情况，得出正确的结论，是基础题．根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出程序输出的结果．解：根据算法的程序框图，是计算S =1×1+3×3+5×5+⋯的值；当i =5+2=7>6时，输出S =1×1+3×3+5×5=35．故选A ．8.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线和圆相切的条件：d =r ，考查运算能力，属于中档题．求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为(2,0)，半径为1，运用直线和圆相切的条件：d =r ，化简整理可得a 2=3b 2，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算可得所求值．解：双曲线M:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线为 y =±b a x ，即为bx ±ay =0，由渐近线与圆(x −2)2+y 2=1相切，可得√b 2+a 2=1， 化为a 2=3b 2，由c 2=a 2+b 2=43a 2，可得e =ca =2√33故选B ．9.答案：A解析：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数的符号．根据题意，由函数的奇偶性的性质可得f(2)的值，结合函数的单调性可得函数f(x)的符号，进而由xf(x)>0，可得{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0；分析可得x 的范围，即可得答案． 解：根据题意，函数f(x)为偶函数，若f(−2)=0，则有f(2)=0，若函数f(x)在[0,+∞)单调递减，则在[0,2)上，f(x)>0，在(2,+∞)上，f(x)<0，函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，则在(−∞,−2)上，f(x)<0，在(−2,0)上，f(x)>0，又由xf(x)>0，则有{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0； 解可得x <−2或0<x <2；即x 的取值范围为(−∞,−2)∪(0,2)；故选：A ．10.答案：A解析：解：函数f(−x)=e −x −e x 2cos(−x)=−e x −e −x 2cosx =−f(x)，即f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2π)=e 2π−e −2π2cos2π=e 2π−e −2π2>0，排除B ，故选：A ．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值的对应性进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系以及利用特殊值进行排除是解决本题的关键．11.答案：C解析：根据ABC 的边长可得外接圆的半径r ，设球心到圆心距离为x ，构造直角三角形，即可求出三棱锥S −ABC 的外接球的半径，从而求解表面积．解：SC ⊥平面ABC ，SC =√3，AB =1，BC =√3，AC =√2，由余弦定理可得，，可得ABC 的边长可得外接圆的半径：r =√32，设球心到圆心距离为x ，球的半径为R ，根据球心与圆心构成直角三角形：可得 x 2+r 2=(√3−x)2+r 2=R 2，解得：x =√32，R =√62， 外接球表面积为．故选C ．12.答案：B解析：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，奇偶性，零点，全称量词命题与特称量词命题等知识点，难度中档．由函数的奇偶性定义判断①；先求出x ≥0时的单调性，再由奇偶性判断②；令m =12，可解得x =1或x =−1判断③；判断g(x)的奇偶性和在x >0时的函数值的正负即可判断④．解：对于①，∵函数f(x)=x 1+|x|(x ∈R)是奇函数，∴任意x ∈R ，等式f(−x)+f(x)=0恒成立，故①正确；对于②，当x ≥0时，f(x)=x 1+x =1−1x+1，故原函数在[0,+∞)单调递增，f(x)是奇函数，故函数在R 上单调递增，故②正确．对于③，令m =12，|f(x)|={x 1+x ,x ≥0x x−1,x <0, 则由|f(x)|=12，可解得x =1或x =−1，故③正确；对于④，易知g(x)是定义域为R 的奇函数，当x >0时，g(x)=f(x)−kx =x 1+x −kx =(1−k )x−kx 21+x <0，没有零点，所以g(x)在x <0时也无零点，又g(0)=0，所以g(x)只有一个零点，故④错误，故正确的为①②③，故选：B ． 13.答案：0解析：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．求出a ⃗ −c ⃗ ，利用(a ⃗ −c ⃗ )⊥b ⃗ 可得(a ⃗ −c ⃗ )⋅b ⃗ =0，求出k 的值．解：a⃗ −c ⃗ =(3−k,−1)， 因为(a ⃗ −c ⃗ )⊥b ⃗ ，所以(a ⃗ −c ⃗ )⋅b ⃗ =0，(3−k,−1)⋅(1,3)=3−k −3=0，所以k =0故答案为0．14.答案：110解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为D.a 3= a 1+2 d =16，S 20=20 a 1+20×192 d =20，∴{a 1+2d =162a 1+19d =2，解得d =−2，a 1=20．∴ S 10=10 a 1+10×92 d =200−90=110．15.答案：18解析：本题考查截面面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 推导出EF//平面BCC 1，过EF 且过B 的平面与面BCC 1的交线l 平行于EF ，则l 即为BC 1，由此能求出过点B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面面积S ．解：如图，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AD 、DD 1的中点，∴EF//AD 1//BC 1，∵EF ⊄平面BCC 1，BC 1⊂平面BCC 1，∴EF//平面BCC 1，由线面平行性质定理，过EF 且过B 的平面与面BCC 1的交线l 平行于EF ，则l 即为BC 1． 由正方体的棱长为4，可得BE =C 1F =2√5，BC 1=2EF =4√2，截面是等腰梯形，其高为ℎ=√(2√5)2−(√2)2=3√2，其面积为S =(EF+BC 1)2ℎ=2√2+4√22⋅3√2=18．故答案为18．16.答案：(23,43)解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，设出直线方程，和椭圆联立，利用韦达定理即可求出答案，属中档题．解：椭圆x 24+y 22=1的右顶点A (2,0)，则过A 且斜率为−1的直线方程y =−x +2，联立{y =−x +2x 24+y 22=1得：3x 2−8x +4=0， 则2+x B =83，x B =23，所以y B =−23+2=43．故B (23,43)．故答案为(23,43)．17.答案：解：(Ⅰ)∵b a+c =a+b−c a+b ，整理可得：b 2+c 2−a 2=bc ，∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(Ⅱ)∵A=π3，a=15，b=10，a>b，∴B为锐角，∴sinB=b⋅sinAa =10×√3215=√33，可得：cosB=√1−sin2B=√63．解析：本题主要考查了余弦定理，大边对大角，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．(Ⅰ)由已知整理可得：b2+c2−a2=bc，利用余弦定理可求cosA=12，结合范围A∈(0,π)，可求A 的值；(Ⅱ)利用大边对大角可求B为锐角，利用正弦定理可求sinB=b⋅sinAa，进而利用同角三角函数基本关系式可得cos B的值．18.答案：解：(1)取每个区间中点值为区间代表计算平均数为：x−=140×0.02+160×0.08+180×0.24+200×0.33+220×0.22+240×0.09+260×0.02= 200，方差为：s2=(−60)2×0.02+(−40)2×0.08+(−20)2×0.24+0×0.33+202×0.22+402×0.09+602×0.02=600；(2)①由题意知，产品是正品的频率为1−(0.001+0.004)×20=0.9，则200件产品中是正品的件数为200×0.9=180(件)，是次品的件数为20件；②由题意知，生产一件产品的平均利润为0.9×80−0.1×20=70(元)．解析：(1)根据题意计算平均数和方差即可；(2)①计算产品是正品的频率以及200件产品中是正品的件数，和次品的件数；②由题意计算生产一件产品的平均利润值．本题考查了频率分布直方图与平均数和方差的计算问题，是基础题．19.答案：(1)证明：在图1中，连接AC，设AC交BD于点O，∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，则BD⊥OA，BD⊥OC，由图2可知，BD⊥OE，BD⊥OC，又OE∩OC=O，OE，OC⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC，又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC．(2)解：由四边形ABCD为菱形，AB=2，∠A=60°，可得OA=OC=√3，∴OE=OC=√3，又EC=√3，∴三角形EOC为等边三角形，∴S△EOC=12×3×√32=3√34．∴V E−BCD=2V B−EOC=2×13S△EOC⋅BO=2×13×3√34×1=√32．解析：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．(1)在图1中，连接AC，设AC交BD于点O，即可得到图2中BD⊥OE，BD⊥OC，由线面垂直的判定可得BD⊥平面EOC，进一步得到BD⊥EC；(2)由四边形ABCD为菱形，AB=2，∠A=60°，可得三角形EOC为等边三角形，求出三角形EOC 的面积，由V E−BCD=2V B−EOC，求解三棱锥E−BCD的体积．20.答案：解：(Ⅰ)由抛物线C：x2=2py焦点F(0,p2)，准线方程：y=−p2，抛物线的焦点到直线l的距离为3，即p2−(−2)=3，解得：p=2，∴抛物线的方程x2=4y；(Ⅱ)证明：设A(x1,x124)，B(x2,x224)，线段AB的中点Q(x0,y0)，x1+x22=x0，y0=y1+y22=x12+x228，∵y=14x2，则y′=12x，∴抛物线x2=4y在A(x1,x124)点处的切线斜率为12x1，在B(x2,x224)点处的切线斜率为12x2，∴切线PA：y=12x1(x−x1)+x124；切线PB：y=12x2(x−x2)+x224，联立可得P(x1+x22,x1x24)，由P的横坐标与Q的横坐标相等，∴PQ⊥x轴．解析：(Ⅰ)求得抛物线的焦点及准线方程，由p2−(−2)=3，即可求得p的值，求得抛物线的方程；(Ⅱ)设A，B点坐标，利用中点坐标公式，求得中点Q点坐标，利用导数求得切线的斜率，求得PA 及PB的方程，联立即可求得P点坐标，由由P的横坐标与Q的横坐标相等，PQ⊥x轴．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线相切位置关系的判断，导数与曲线的切线斜率之间的关系，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=e x−mx，∴f′(x)=e x−m，①当m≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，②当m>0时，令f′(x)>0，则x>lnm，即函数f(x)的递增区间是(lnm,+∞)，同理，由f′(x)<0得函数f(x)的递减区间是(−∞,lnm)；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当m≤0时，函数f(x)单调递增，与条件不符，当m>0时，函数f(x)在(lnm,+∞)上单调递增，在(−∞,lnm)上单调递减，∴f(x)min=f(lnm)=m(1−lnm)，由条件可得m(1−lnm)<0，解得m>e，∵f(0)=1>0，∴f(x)在(0,lnm)上存在唯一零点，f(2lnm)=m2−2mlnm=m(m−2lnm)，令g(m)=m−2lnm，则g′(m)=1−2m，∴当m>e时，g(m)单调递增，则g(m)>g(e)>0，∴f(2lnm)=m2−2mlnm=m(m−2lnm)>0，即f(x)在(lnm,+∞)上存在唯一零点，综上可得m>e．解析：(Ⅰ)先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，求出函数的最小值，再构造函数令g(m)=m−2lnm，根据导数求出函数的单调性求出g(m)的最小值，从而求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，函数的零点，考查导数的应用，属于中档题．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρsin(θ−π4)=√22，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2， 解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1，当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号，可得函数f(x)的最小值为1，则a +b +c =1，且a ，b ，c ∈R +，由(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥ab +bc +ca +2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca)，可得3(ab +bc +ca)≤1，当且仅当a =b =c =13取得等号，即ab +bc +ac ≤13．解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m ，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
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广东省茂名市2020届高三第二次综合测试（文）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5．考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={2, 3, 5}，B ={2, 5}，则( ) A. A ⊂B B. ∁U B ={1, 3, 4} C. A ∪B ={2, 5} D. A ∩B ={3} 2．若，则复数的虚部为( ) A.2 B.1 C. D.−13．已知函数f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为x +2y −2=0，则f (1)+f ′(1) =( ) A ． B ．1 C ． D ．04．函数的图象如图所示，则的值为( )()i 2i,,R x i y x y -=+∈i x y +i 3212()=sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ+>><()3fπA． B ．1 C ． D ．5．下列命题错误的是( )A ．“x ＝2”是“x 2−4x +4＝0”的充要条件B ．命题“若，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”D ．若等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的充要条件6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国 古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉 为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。
河图的排列结构如图 所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为：( ) A.B.C. D.7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入m =2020，n =303时，则输出的m 是( )A. 2B. 6C. 101D. 2028．已知双曲线(a ＞0, b ＞0)的离心率为2， 其一条渐近线被圆(x −m )2+y 2=4(m ＞0)截得的线段长122314m ≥-1562572582522221y x a b -=第6题图为2，则实数m 的值为( )AB C ．2 D ．1 9．已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，．则使不等式成立的x 取值范围是( )A. B. C. D.10．函数在[−5, 5]的图形大致是()11．已知三棱锥中，且 平面P AB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ． B ． C ． D ．12．已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有成立；③有且仅有两个零点；④若y =e x 在点处的切线也是y =ln x 的切线，则x 0必是零点． 其中所有正确的结论序号是A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置)13．已知向量，，若，则 .14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n （n ∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于 . （盈利额=总收入−总成本）()f x 0x ≥()1()22xf x =+9(1)4f x -<(,1)(3,)-∞-+∞∪(1,3)-(0,2)(,0)(2,)-∞+∞∪()1+e ()cos 1e xxf x x =⋅-P ABC -2,5,4,3APB PA PB AC BC π∠=====16π28π24π32π+1()=e 1x x f x x --()f x ()f x 0a <()1f a >-()f x 00(,e )x x 0(1)x ≠()f x (4,2)a =-r (1,1)b =-r ()b a kb ⊥+r r rk =15．在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，则平面A 1EC 截该正方体所得截面面积为： .16．过点作圆的切线，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 .（第一空2分，第二空3分）三、解答题：(共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分 17．(分)在中，角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求；(2)若，求的面积．()11,2P -221x y +=l 12ABC △A B C a b c 2B C =34b c =cos C 3c =ABC △18．(分)某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品. 现把测量数据整理如下, 其中B 配方废品有6件.A 配方的频数分布表12(1)求a, b的值；(2)试确定A配方和B配方哪一种好？(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表) 19．(分)如图1，在□ABCD中，AD=4，AB，∠DAB=45°，E为边AD的中点，以BE 为折痕将△ABE折起，使点A到达P的位置, 得到图2几何体P−EBCD.(1)证明：；(2)当BC⊥平面PEB时，求三棱锥C−PBD的体积.12PD BE1220．(分)已知抛物线C:y2=2px (p＞0)与直线l: x+y+1=0相切于点A，点B与A关于x轴对称.(1)求抛物线C的方程，及点B的坐标；(2)设M、N是x轴上两个不同的动点，且满足∠BMN=∠BNM，直线BM、BN与抛物线C的另一个交点分别为P、Q，试判断直线PQ与直线l的位置关系，并说明理由.如果相交，求出的交点的坐标.21．(分)设函数. (1)讨论的单调性；(2)若，当m =1，且时，，求的取值范围.(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C : (θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程，点M)在直线l 上，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求△OAB 的面积.122()(+)e x f x x m =()f x ()2e 1()x g x nx f x =---0x ≥()0g x ≤n ,,x y θθ=⎧⎨=⎩cos()4a πρθ-=4π23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +1|−|x −2|. (1)若f (x )≤1，求x 的取值范围；(2)若f (x )最大值为M ，且a +b +c =M ，求证：a 2+b 2+c 2≥3.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示：1. B 【解析】∵U ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={2, 5}，∴∁U B ={1, 3, 4}. 故选B.2. B 【解析】，所以的虚部，故选B .3. D 【解析】切点(1, f (1))在切线x +2y −2=0上，∴1+2f (1)−2=0，得f (1)=，又切线斜率故选D.4. B 【解析】根据图象可得，，即，根据，得, ∴, 又的图象过点，∴,即，∴，，又因，∴ ，∴，，故选B.(i)i 1i 2i,2,1x x y x y -=+=+==∵∴i x y +1y =121(1),2k f '==-(1)(1)0.f f '+=2A =22362T πππ=-=T π=2||T πω=0,ω>22πωπ==2sin(2)y x ϕ=+()f x (,2)6π22sin(2)6πϕ=⨯+22,Z 62k k ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ=+Z k ∈||2πϕ<6πϕ=()2sin(2)6f x x π=+5()2sin(2)2sin 13366f ππππ=⨯+==5.D.【解析】由 x 2−4x +4＝0⇔(x −2)2=0⇔ x −2=0⇔ x ＝2，∴A 正确；命题“若, 则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为命题“若方程x 2+x −m ＝0有实根，则”，∵方程x 2+x −m ＝0有实根⇒△=1+4m ≥0⇒，∴B 正确；在△ABC 中，若A ＞B ⇒a ＞b ⇒sin A ＞sin B (根据正弦定理) ∴C 正确；故选D.(事实上等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件) 6. A.【解析】∵阳数为：1, 3, 5, 7, 9；阴数为：2, 4, 6, 8, 10，∴从阳数和阴数中各取一数 的所有组合共有：个，满足差的绝对值为5的有：(1, 6), (3, 8), (5, 10), (7, 2)， (9, 4)共5个, 则, 故选A. 7. C 【解析】输入m =2020，n =303，又r =1. ①r =1＞0，2020÷303=6··············202， r =202，m =303，n =202；②r =202＞0，303÷202=1············101 r =101，m =202，n =101；③r =101＞0，202÷101=2··············0. r =0，m =101，n =0；④r =0，则r ＞0否，输出m =101，故选C.8.C.【解析】依题意: ∴双曲线渐近线方程为不妨取渐近线l 1，则圆心(m ,0) (m ＞0)到l 1的距离. 由勾股定理得，解得，∵m ＞0，∴m =2，故选C ．9. A.【解析】∵，由得，.又∵为偶函数，, 易知在上为单调递减，∴或，即或，故选A.10. A 【解析】易知f (−x )= −f (x )，即函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除D ， f (x )在y 轴右侧第一个零点为.当时，，∴f (x )＜0排除B ，当x (＞0)→0时，则, 且∴y →−∞.故选A.14m ≥-14m ≥-14m ≥-5525⨯=51525p ==2c b a a =⇒=.y =0y -=d =2222()22+=2m =±9(2)=4f 9(1)4f x -<(1)(2)f x f -<()f x (|1|)(2)f x f -<∴()f x (0,)+∞|1|2x ->∴12x ->12x -<-3x >1x <-2x π=02x π<<1+e 0,1e 0,cos 0x x x >-<>1+e 2,1e 0,cos 1x x x →-→→1e 0x -<(当时，. ,排除C) 11. B 【解析】在中，由余弦定理得 ，又，∴为直角三角形， ，又平面P AB ⊥平面ABC 且交于AB ，∴CB ⊥平面P AB ，∴几何体的外接球的球心到平面P AB 的距离为， 设的外接圆半径为,则∴ 设几何体的外接球半径为R ，则，所求外接球的表面积 故选B.12.解析：依题意定义域为(−∞, 1)∪(1, +∞)，且， ∴在区间(−∞, 1)和(1, +∞)上是增函数，①错；∵当时，则，因此成立，②对； ∵在区间(−∞, 1)上单调递增，且 ∴，即在区间(−∞, 1)上有且仅有1个零点.∵在区间(1, +∞)上单调递增，且， ∴，(也可以利用当时，，) 得在区间(1, +∞)上有且仅有1个零点. 因此,有且仅有两个零点；③对∵y =e x 在点处的切线方程l 为. 又l 也是y =ln x 的切线，设其切点为，则l 的斜率， 从而直线l 的斜率，∴，即切点为，又点在l 上. ∴，即x 0必是零点．④对. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．3 14. 4 15. 16. 2x −y −2=0(2分);(3分). 提示：13.【答案】3【解析】∵ ，∴，即，由已知得，∴02x π<<()1+e2cos ()cos =cos 1e 1ex x x x f x x x =⋅---222(e cos e sin sin )2(e sin sin )()=+sin +sin 0(1e )(1e )x x x x x x x x x x f x x x +--'>>--PAB △3AB =222AC AB BC =+ABC △CB AB ⊥1=22BC PAB ∆r 322sin 3r π==r22227R =+=2428,S R ππ==()f x 22()=e (1)x f x x '+-()f x 0a <2e 01a a ->-+12()=e =1e 111a a a f a a a --+->---()f x 22111(2)=e =0,(0)=2>0.e 33f f ----<(2)(0)0f f -⋅<()f x ()f x 552445()=e 93304f -<-<2(2)=e 3>0f -5()(2)04f f ⋅<1x +→()f x →-∞2(2)=e 3>0f -()f x ()f x 00(,e )x x 0(1)x ≠000e =e ()x x y x x --11(,ln )A x x 11k x =011==e x k x 01=e x x -00(e ,)x A x --A 00000e =e (e )x x x x x ----000+1e 01x x x ⇒-=-0(1)x ≠()fx 22154y x +=()b a kb ⊥+r r r ()0b a kb ⋅+=r r r 2||0b a k b ⋅+=r r r 426,b a ⋅=--=-rr ||b =r 620 3.k k -+=⇒=14.【答案】4【解析】设每年的营运成本为数列，依题意该数列为等差数列，且所以n 年后总营运成本，因此，年平均盈利额为：当且仅当时等号成立.15.【答案】【解析】在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，∵平面A 1D 1DA ∥平面B 1C 1CB ，∴平面A 1EC 与平面B 1C 1CB 的交线必过C 且平行于A 1E ，故平面A 1EC 经过B 1B 的中点F ，连接A 1F ，得截面A 1ECF ，易知截面A 1ECFEF =BD，A 1C =，截面面积S =A 1C ⨯EF =⨯⨯=16.【答案】2x −y −2=0，. 【解析】①当过点的直线斜率不存在时, 直线方程为：x =1, 切点的坐标; ②当直线斜率存在时, 设方程为, 根据直线与圆相切, 圆心(0,0)到切线的距离等于半径1, 可以得到切线斜率, 即：.直线方程与圆方程的联立可以得切点的坐标；根据A 、B 两点坐标可以得到直线AB 方程为2x −y −2=0,（或利用过圆外一点作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为）依题意，AB 与x 轴的交点即为椭圆右焦点，得，与y 轴的交点即为椭圆下顶点坐标，所以，根据公式得，因此，椭圆方程为：. 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分17. 解：(1)依题意，由正弦定理得：．·····································1分 ∵，∴， ·······················································2分 ∴， ······························································3分 ∴，，··················4分 ∴． ···············5分 (2)解法一：由题意得：. ··················································6分 ∵，∴， ··········································7分 {}n a 1=3,=2.a d 2S2n n n =+220(2)1616181810,n n n n n n -+-=--+≤-=4n =121222154y x +=1(1,)2-l 10(,)A l l 1=(1)2y k x --34k =l 35=44y x -l 3455(,)B -222+=x y r 00(,)x y 200x x y y r +=10(,)1c =02(,)-2b =2225a b c =+=22154y x +=3sin 4sin B C =2B C =3sin24sin C C =3sin cos 2sin C C C =(0,)C π∈sin 0C ≠2cos 3C =3,4c b ==(0,)C π∈sin C ==∴， ···············································8分 ， ···············································9分 ∴. ···········10分················································11分 ∴·····································12分 解法二：由题意及(1)得：. ··································6分 ∵，∴， ···········································7分 由余弦定理得：， ························8分 即， 解得.···············································9分 若，又 则A =C ，又B =2C ，得△ABC 为直角三角形，而三边为的三角形不构成直角三角形，矛盾. ∴. ·················11分 ∴. ·······································12分 18.解：(1)依题意，A 、B 配方样本容量相同，设为n ，又B 配方废品有6件. 由B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为， ·················1分 解得n =100. ···················2分 ∴a =100−(8+36+24+8)=24. ···············3分 由(0.006+b +0.038+0.022+0.008)⨯10=1······························4分 解得b =0.026.因此a , b 的值分别为24, 0.026； ································5分(2)由(1)及A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为····7分 质量指标值的样本方差为[(−20)2⨯8+(−10)2⨯24+0⨯36+102⨯24+202⨯8]=112.···8分 由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为=80⨯0.06+90⨯0.26+100⨯0.38+110⨯0.22+120⨯0.08=100. ··············9分 质量指标值的样本方差为=(−20)2⨯0.06+(−10)2⨯0.26+0⨯0.38+102⨯0.22+202⨯0.08=104. ········10分 综上，＞， ···································11分sin sin 22sin cos B C C C ==221cos cos2cos sin 9B C C C ==-=-sin sin()sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=--=+=+2139=-11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯=V 3,4c b ==2cos 3C =(0,)C π∈sin C ==222=+2cos c a b ab C -229=+1683a a -⨯231621=0a a -+7=3=3a a 或=3a 3,c ==3,4,3abc ==7=3a 711sin 4223ABC S ab C ==⨯⨯=V 60.00610n =⨯808902410036110241208=100A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20082002410036==100.100⨯+⨯+⨯21=100A sB x 5221()Bi i i s x x p ==-∑A B x x =2A s 2B s即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好. ···········································································12分(2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.19. 证明：（1）依题意，在△ABE 中，AE =2，ABEAB =45°，由余弦定理得EB 2=AB 2+AE 2−2AB ·AE cos45°=8+4−2⨯⨯2=4，·······························································2分∴AB 2= AE 2+EB 2， ···········································································3分 即在□ABCD 中，EB ⊥AD . ····································································4分 以BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体P −EBCD 中，EB ⊥PE ，EB ⊥ED . 又ED ∩PE =E ，∴BE ⊥平面PED ， ···························5分 又BE ⊂平面PEB ，∴； ·······················································6分(2)∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴ BC ⊥PE . ····································7分 由(1)得 EB ⊥PE ，同理可得PE ⊥平面BCE ，·············································8分 即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P −CBD 的高. ········································9分 又∠DCB =∠DAB =45°，BC =AD =4，CD =AB ，PE =AE =2，∴S △CBD =⨯BC ⨯CD ⨯sin45°=⨯4⨯=4. ·································10分 V C −PBD =V P −CBD =S △BCD ⨯PE =⨯4⨯2=. 因此，三棱锥C −PBD 的体积为.··························································12分 （写出V C −PBD =V P −CBD 得1分，结果正确并作答得1分）20.解： (1)联立·········································1分 消去x 得y 2+2py +2p =0，···········································2分∵直线与抛物线相切，∴△=4p 2−8p =0，又p ＞0，解得p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．·········3分由y 2+4y +4=0，得y =−2，∴切点为A (1, −2)，∵点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标B (1, 2). ···········4分PD BE ⊥121213138383{22,10,y px x y =++=(2)直线PQ ∥l . ····························5分 理由如下：依题意直线BM 的斜率不为0, 设M (t , 0)(t ≠1), 直线BM 的方程为x =my +t , ·····6分 由(1)B (1, 2)，1=2m +t ，∴直线BM 的方程为x =y +t ， ·························7分 代入y 2=4x ．解得y =2(舍)或y =−2t ，∴P (t 2,−2t ). ·······························8分 ∵∠BMN =∠BNM ，∴ M 、N 关于AB 对称，得N (2−t , 0) . ·····················9分 同理得BN 的方程为x =y +2−t ，代入y 2=4x ．得Q ((t −2)2, 2t −4). ···········10分 ， ·······················································11分 直线l 的斜率为−1，因此PQ ∥l . ·······················································12分21. 解： (1)依题得，定义域为R ，，，··········1分 令，.①若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，.所以在R 上单调递增. ································································2分②若，即，令，得或当时，； ····································3分 当时，.·····················4分 综合上述：当时，在R 上单调递增；当时，在区间上单调递减， 在区间上单调递增. ···················5分 (2)依题意可知： ···················6分 令，可得, ···························································7分 .设，则.·····························8分 当时, ，单调递减, ······································9分 故. ······················································10分 要使在时恒成立,需要在上单调递减，所以需要. ······················································11分 即,此时,故.综上所述, 的取值范围是. ······································12分12t -12t -224444144(2)PQ t t k tt t --===----()f x 2()(+2+)e x f x x x m '=e 0x >2()2h x x x m =++=44m -△0≤△1m ≥()0h x ≥()0f x '≥1m =1x =-()0f x '=()f x 0△＞1m ＜()0h x =1x =-1x =-(11x ∈--()0'<f x (,1(1)x ∈-∞--++∞U ()0f x '>1m ≥()f x 1m ＜()f x (11--+()f x (,1(1)-∞--+∞2()21()1x x x g x e nx f x e x e nx =---=---0x =(0)0g =2()(12)(R)x g x x x e n x '=---∈2()(12)x h x x x e n =---2()(41)x h x x x e '=-++0x ≥()0h x '<()g x '()(0)1g x g n ''≤=-()0g x ≤0x ≥()g x [0,)+∞()10g x n '≤-≤1n ≥()(0)0g x g ≤=1n ≥n [1,)+∞(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. 解:(1)将曲线C :消去参数θ得, 曲线C 的普通方程为:.·····1分 ∵点M)在直线上，∴.············2分 ∴, 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0, ························································4分 显然l 过点(1, 1), 倾斜角为. ∴直线l 的参数方程为 (t 为参数). ······································5分 (2)解法一：由(1)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得：， ····························································6分· 整理得，显然△＞0.设A , B 对应的参数为t 1, t 2, 则由韦达定理得.········7分 由参数t 的几何意义得|AB |=| t 1−t 2， ························8分 又原点O (0,0)到直线l 的距离为····································9分 因此，△OAB 的面积为.···················10分 (2)解法二:由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 设，则由韦达定理得，.············· ·········7分 由弦长公式得|AB ， ··········· ·········8分 又原点O (0,0)到直线l 的距离为 ··································9分 ,,x y θθ=⎧⎨⎩22143y x +=4πcos()=4a πρθ-cos()=44a ππ-cos(4πρθ-cos sin ρθρθ+34π1,1,x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩2211(1)(1)143++=27100t +-=12t t +=12107t t =-=d =1112||722S AB d ==221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x ==d =因此，△OAB 的面积为. ··················10分 (2)解法三：由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 设，则由韦达定理得，. ·····················7分 ∵直线l 过椭圆右顶点(2,0)，∴，∴ ······················8分 把代入直线l 的方程得，······················9分因此，△OAB 的面积为. ··························10分23．解：(1)由已知·················································1分当x ≥2时，f (x )=3，不符合； ···························································2分 当−1≤x ＜2时, f (x )=2x −1, 由f (x )≤1, 即2x −1≤1, 解得x ≤1, ∴−1≤x ≤1. ······3分当x ＜−1时，f (x )= −3，f (x )≤1恒成立. · ··················································4分 综上，x 的取值范围是x ≤1. ·····························································5分(2)由(1)知f (x )≤3，当且仅当x ≥2时，f (x )=3， ········································6分 ∴M = f (x )Max =3.即a +b +c =3， ·······················································7分· ∵a 2+b 2≥2ab ，a 2+c 2≥2ac ，c 2+b 2≥2cb ， ·············································8分 ∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +ac +cb )∴3(a 2+b 2+c 2)≥a 2+b 2+c 2+2ab +2ac+2cb =(a +b +c )2=9， ·································9分 因此(a 2+b 2+c 2)≥3. ··············································································10分1112||722S AB d ==221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =21627x +=227x =227x =2127y =2111212||27722S OA y =⋅=⨯⨯=3,2,21,12,(, 1.)3x x f x x x ≥⎧⎪--≤⎨--⎪⎩=＜＜。