第10讲 函数图像及其变换(教案)
高中数学高一上册函数图像变换教案
函数图象的变换及图象的应用学习目标：1.使学生经过一些特别函数的图象归纳出图象平移、对称变换的方法和规律。
2.会利用一些基本函数的图象经过平移、对称变换做出一些常有函数的图象。
3.会利用函数的图象解决有关函数的问题。
授课重点：图象的平移和对称关系研究过程：问题 1：如何由 f ( x) x2的图象获取以下各函数的图象并在同一坐标系内画出它们的草图。
(1) f ( x 1) ( x 1)2 (2) f ( x 1) ( x 1)2(3) f ( x) 1 x2 1 (4) f (x) 1 x2 1规律：平移变换y f ( x) y f (x a) 左右平移 a 0,向 ___平移 a个单位。
, 即：“左加，右减”a 0, 向 ___平移 |a| 个单位y f ( x) y f (x) k 上下平移k 0,向 ___平移 a个单位。
“上加，下减”k 0, 向 ___平移 |a| 个单位问题 2：说出以下函数的图象与指数函数y 2x的图象的关系，并画出它们的表示图.规律总结：对称变换：（1）函数y f ( x)与f ( x) 的图象关于____________________ 对称；y（ 2）函数y f (x)与 y f ( x) 的图象关于____________________ 对称（ 3）函数y f (x)与 y f ( x) 的图象关于____________________对称；（ 4）函数y f (x)与 y f 1 ( x) 的图象关于____________________对称；问题 3：分别在同一坐标系中作出以下各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系规律总结：对称变换（ 5）由y f ( x) 的的图象做y f (| x |) ：保留 y f ( x) 图象右测的部分，再加大将右测的部分关于 y 轴对称到图象的左测的部分，去掉原来左测的部分。
口诀：“清左翻右”（ 6）由y f (x) 的的图象做y | f ( x) |：保留 y f (x) 图象上方的部分，再加上下方的部分关于 x 轴对称到上方的部分。
第二章 第十节函数的图象及其变换教案
诚西郊市崇武区沿街学校第二章第十节函数的图象及其变换教案教学目的：掌握作函数图象的两种根本方法：描点法和图象变换法．可以利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数的图象，熟悉图象的平移变换、对称变换、伸缩变换及简单应用，以到达识图、作图和用图的目的．教学重点：几类初等函数的图象特征；函数的图象变换(平移变换、伸缩变换、对称变换)．教学难点：运用图象解题．教学方法：以例题为中必，讲练结合。
考点分析及学法指导：函数的图象是函数关系的一种表示，这是从“形〞的方面刻划函数的变化规律，在高考中，有关函数的图象主要考察：〔1〕几类初等函数的图象特征；〔2〕函数的图形变换〔平移变换、伸缩变换、对称变换〕。
考察的形式主要有：知式选图、知图选式、图象变换，以及自觉运用图象解题。
复习中应特别注意“数形结合〞思想的运用。
教学过程：一、知识点讲解：学好本节必须注意以下三个问题：1．结实掌握一次函数，二次函数，指数函数和对数函数的图象．2．利用根本函数图象的变换作图：平移变换：肥伸缩变换：对称变换：3．培养作图、识图、用图的才能，重视数形结合的思想方法．二、例题分析：〔一〕根底知识扫描1．把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是() A. B. C. D.2．将函数的图象() A ．先向左平行挪动1个单位，再向上平移2个单位B ．先向右平行挪动1个单位，再向下平移2个单位C ．先向上平行挪动1个单位，再向右平移2个单位D ．先向下平行挪动1个单位，再向左平移2个单位会得到122++=x y 的图象。
3．由函数图象得到函数的图象，要经过变换() A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位4．设函数，定义函数，那么函数的图象为()5．曲线F(x ，y)=0(即方程F(x ，y)=0的图形)向平移个单位，再向平移个单位得到曲线F(x －1，y+2)=0。
函数图像的变换及其变换教案
函数图像课题：函数的图象教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质； 3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换． 教学过程： 知识回顾：数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.考点：作图，识图，用图（注意抓住特殊点，零点，与坐标轴的交点） 三种变换1．平移变换： （1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． 2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称； （4）函数1()y fx -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称；（5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称. 3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 一画图1、画出下列函数的图像 (1)（2）|1|||1x x y --=练习（1）112++=x x y （2）2()|45|f x x x =--二识图12. （湖北卷）函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是（ D ）16、(安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为(A)|1|23-=x y (0≤x ≤2) (B) |1|2323--=x y(0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)解析：图中的图象所表示的函数当0≤x ≤1时，它的解析式为32x y =，当1<x ≤2时，解析式为332y x =-+，∴解析式为|1|2323--=x y (0≤x ≤2)，选B 。
函数图像及图像的变换授课学案
授课学案学生姓名： 授课教师： 班主任： 科目： 上课时间： 年 月 日 时— 时函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用，因此同学们要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. 一、基础知识1．作函数图象的一个基本方法------基本函数法 2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法． 一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象， 这就是函数的图象变换．在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(1)平移变换函数y=f(x+a)(a ≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a|个单位而得到；函数y=f(x)+b(b ≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b ＞0)或向下(b ＜0)平移|b|个单位而得到． (2)伸缩变换函数y=Af(x)(A ＞0，A ≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)成原来的A 倍，横坐标不变而得到．函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）成原来的1倍，纵坐标不变而得到． (3)对称变换一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x)即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a－x) = 2b ，必要性得证。
函数像与变换教案
函数像与变换教案一、引言函数像与变换是高中数学课程中的重要内容。
通过学习函数像与变换，学生将能够更好地理解函数图像的变化规律以及函数之间的关系。
本教案将介绍函数像的概念，以及常见的函数变换形式。
二、函数像的概念1. 函数像的定义函数像是指函数中每个元素在定义域映射到值域中的对应元素。
函数的像可以用符号 f(x) 或 y 表示，其中 y 是函数的值域中的元素。
2. 函数像的性质- 函数像是定义域中元素的一个映射，每个定义域中的元素都有一个唯一的像。
- 函数像可以是实数、复数、或者其他类型的元素，具体取决于函数的性质和定义域。
- 函数像的集合称为函数的值域，可以用符号f(D) 或者Im(f) 表示。
三、常见的函数变换形式1. 平移变换平移变换是将函数图像在平面上向上、向下、向左或向右移动的变换形式。
- 上移：f(x) + a。
将函数图像沿 y 轴上移 a 个单位。
- 下移：f(x) - a。
将函数图像沿 y 轴下移 a 个单位。
- 左移：f(x + a)。
将函数图像沿 x 轴左移 a 个单位。
- 右移：f(x - a)。
将函数图像沿 x 轴右移 a 个单位。
2. 垂直伸缩变换垂直伸缩变换是将函数图像在 y 轴上纵向拉伸或压缩的变换形式。
- 上伸缩：af(x)。
将函数图像在 y 轴上方向上伸缩为原来的 a 倍。
- 下伸缩：f(ax)。
将函数图像在 y 轴上方向上压缩为原来的 a 倍。
3. 水平伸缩变换水平伸缩变换是将函数图像在 x 轴上横向拉伸或压缩的变换形式。
- 左伸缩：f(bx)。
将函数图像在x 轴上左方向上压缩为原来的b 倍。
- 右伸缩：f(x/b)。
将函数图像在 x 轴上右方向上伸缩为原来的 b 倍。
四、案例分析1. 函数像与平移变换考虑函数 f(x) = x^2，对该函数进行上移 2 个单位，可以表示为 f(x) + 2。
通过计算，得到新函数的像为 f(x) + 2 = (x^2) + 2。
函数的图象及变换 复习教案
函数的图象及变换一．教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质；3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．二．教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换．三．教学过程：（一）主要知识：1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．（二）主要方法：1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；（3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；（4）)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+⇔图象关于直线________为对称。
3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 5．函数周期性 （1） ()()f x a f x +=-， 则()x f 是以T=________为周期的周期函数；（2） ()()f x a f x a +=-，则()x f 是以T=________为周期的周期函数；例题分析例1．说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数321x y --=+的图像．例2 简略画出下面函数图像（1）322--=x x y （2）322--=x x y（3）)2(2log +=x y （4）x y 21sin = 例3 先画出函数x x y -+-=212的图像，再求函数的值域例4 画出如下函数所表示的图像（高三） （1）y = （2）y = （3）y =例5：（1）方程x x a =+)2(log （a >0且a ≠1）实数解的个数是________（2）已知偶函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，当)3,0(∈x 时，2)(x x f =，当)12,9(∈x 时，)(x f ＝＿＿＿＿＿例6、函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）练习1 函数x xa y x=(01)a <<的图象的大致形状是 （ ）2 函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为 （）3 函数3log 3x y =的图象大致是例7、 设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A .试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）若方程k x x =--542有四个实数解，求实数k 的取值范围 （3） 当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.例8x m =+有两个不同的实数根，求实数m 的范围---数形结合思想变式：若方程m x x +=+-142有两个不同的实数根，求实数m 的范围---数形结合思想。
初中数学教案 函数的图像与变换
初中数学教案函数的图像与变换初中数学教案函数的图像与变换【引言】在初中数学中，我们学习了很多重要的数学概念和知识，其中函数是一个非常重要的部分。
函数是现实生活中的很多问题的数学描述，它可以帮助我们理解和解决实际问题。
本教案将重点介绍函数的图像和函数图像的变换，帮助同学们更好地理解函数的概念和性质。
【1. 函数的图像】1.1 函数图像的定义函数的图像是指函数在坐标系中通过其各个点所形成的曲线或曲线段。
函数图像展示了函数的各种特性和性质，帮助我们更好地理解和研究函数。
1.2 函数图像的绘制方法绘制函数图像的方法可以分为以下几个步骤：（1）确定函数的定义域和值域；（2）寻找函数的关键点，例如零点、极值点、拐点等；（3）根据给定函数的性质和特点，画出函数的曲线或曲线段。
【2. 函数图像的变换】2.1 平移变换平移是函数图像的常见变换之一，它可以使函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上移动。
平移变换的规律如下：（1）沿横轴方向平移：对于函数y = f(x)，平移后的函数为y = f(x - a)，其中a为平移的量；（2）沿纵轴方向平移：对于函数y = f(x)，平移后的函数为y = f(x) + b，其中b为平移的量。
2.2 伸缩变换伸缩变换是指函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上的拉伸或压缩。
伸缩变换的规律如下：（1）沿横轴方向伸缩：对于函数y = f(x)，伸缩后的函数为y = f(kx)，其中k为伸缩的比例因子，若k > 1，则为拉伸；若0 < k < 1，则为压缩；（2）沿纵轴方向伸缩：对于函数y = f(x)，伸缩后的函数为y = kf(x)，其中k为伸缩的比例因子，若k > 1，则为拉伸；若0 < k < 1，则为压缩。
2.3 翻折变换翻折变换是指函数图像在坐标系中关于某条直线对称翻转。
常见的翻折变换包括关于x轴、y轴和原点的翻折变换。
翻折变换后的函数表示如下：（1）关于x轴翻折：对于函数y = f(x)，翻折后的函数为y = -f(x)；（2）关于y轴翻折：对于函数y = f(x)，翻折后的函数为y =f(-x)；（3）关于原点翻折：对于函数y = f(x)，翻折后的函数为y = -f(-x)。
高中数学《函数图象的变换》教案
高中数学《函数图象的变换》精品教案第一章：函数图象的变换概述1.1 教学目标了解函数图象变换的概念和基本方法。
理解函数图象变换的实质和作用。
1.2 教学内容函数图象的平移变换：水平方向的平移和垂直方向的平移。
函数图象的缩放变换：横向缩放和纵向缩放。
函数图象的旋转变换。
1.3 教学方法采用多媒体演示和实际操作相结合的方式，让学生直观地理解函数图象的变换。
通过例题和练习题，让学生巩固所学内容。
1.4 教学评估通过课堂讲解和练习题，评估学生对函数图象变换概念的理解程度。
通过实际操作和练习题，评估学生对函数图象变换方法的掌握程度。
第二章：函数图象的平移变换2.1 教学目标掌握函数图象的水平方向和垂直方向的平移变换方法。
能够运用平移变换方法改变函数图象的位置。
2.2 教学内容水平方向的平移变换：左加右减的原则。
垂直方向的平移变换：上加下减的原则。
实际操作示例：通过几何画板或函数图象软件，演示函数图象的平移变换过程。
2.3 教学方法通过多媒体演示和实际操作，让学生直观地理解函数图象的平移变换方法。
通过例题和练习题，让学生巩固所学内容。
2.4 教学评估通过课堂讲解和练习题，评估学生对函数图象平移变换方法的理解程度。
通过实际操作和练习题，评估学生对函数图象平移变换的掌握程度。
第三章：函数图象的缩放变换3.1 教学目标掌握函数图象的横向缩放和纵向缩放变换方法。
能够运用缩放变换方法改变函数图象的大小。
3.2 教学内容横向缩放变换：横坐标的乘以一个非零常数。
纵向缩放变换：纵坐标的乘以一个非零常数。
实际操作示例：通过几何画板或函数图象软件，演示函数图象的缩放变换过程。
3.3 教学方法通过多媒体演示和实际操作，让学生直观地理解函数图象的缩放变换方法。
通过例题和练习题，让学生巩固所学内容。
3.4 教学评估通过课堂讲解和练习题，评估学生对函数图象缩放变换方法的理解程度。
通过实际操作和练习题，评估学生对函数图象缩放变换的掌握程度。
高中数学《函数图象的变换》教案
一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数图象的平移变换和伸缩变换规律；（2）能够运用变换规律对给定的函数图象进行变换；（3）掌握函数图象的变换在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳函数图象的变换规律，培养学生的抽象思维能力；（2）利用数形结合的方法，让学生体会数学与实际生活的联系。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数图象的平移变换和伸缩变换规律；（2）运用变换规律对函数图象进行变换。
2. 教学难点：（1）理解函数图象的平移变换和伸缩变换规律的推导过程；（2）灵活运用变换规律解决实际问题。
三、教学过程：1. 导入新课：（1）复习旧知识：回顾上一节课所学的函数图象的基本概念；（2）提出问题：如何对已知的函数图象进行变换？2. 知识讲解：（1）讲解函数图象的平移变换规律；（2）讲解函数图象的伸缩变换规律；（3）举例说明变换规律的应用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成课本上的练习题；（2）挑选几名学生上黑板演示变换过程。
四、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 选取一个实际问题，运用所学函数图象的变换规律进行解决。
五、教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握函数图象的平移变换和伸缩变换规律，并能够运用这些规律对给定的函数图象进行变换。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。
要注重培养学生的抽象思维能力和实际应用能力，提高学生解决实际问题的能力。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及练习题的完成情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查学生课后作业的完成质量，评估学生对课堂所学知识的理解和运用能力。
3. 成果展示评价：挑选几名学生展示他们解决问题的成果，评估学生的创新能力和团队合作精神。
函数图像变换教案
课题函数图像的变换课型新授课学习目标知识与技能掌握函数图象变换的基本方法，能够熟练的画出由基本函数经过变换后的函数图像。
过程与方法通过对解析式的分析以及对画图像的操作，在实践中感知图像变化过程，探索出图像变换的规律。
情感态度价值观通过对本节课的学习，树立运动变化的观点，发展独立获取数学知识的能力，激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
教材分析教学重点函数图像变换的规律。
教学难点函数图像变换规律的发现与总结。
教学方法借助现代多媒体展示，采取探索发现式教学法。
教学用具三角板、多媒体。
教学流程设计一、复习与导入：自定二、宣布本节课的学习目标：三、新课学习一、平移变换1、y=f(x)−−→−轴沿xy=f(x+a)当a>0时，向左平移a个单位当a<0时，向右平移|a|个单位2、y=f(x)−−→−轴沿yy =f(x) +a当a>0时，向上平移a个单位当a<0时，向下平移|a|个单位二、对称变换)()(1xfyxfy y-=−−−−→−=轴对称关于、)()(2xfyxf、y x-=−−−−→−=轴对称关于)()(3xfyxf、y--=−−−−→−=关于原点对称三、翻折变换1、y=f(x) →y=f(|x|)，将y=f(x)图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧，并保留y轴右侧部分。
2、y=f(x)→y=|f(x)|，将y=f(x)图象在x轴下侧部分沿x轴翻折到x轴上侧，并保留x轴上侧部分。
四、巩固练习：见学案五、课堂小结：总结变换规律六、作业布置：板书设计：教学反思达标情况分析：教学心得体会：。
高中数学新人教版A版精品教案《函数图象与图象变换》
函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质●难点磁场★★★★★已知函数f =a 3b 2cd 的图象如图，求b 的范围●案例探究［例1］对函数=f 定义域中任一个的值均有fa =fa －,1求证=f 的图象关于直线=a 对称；2若函数f 对一切实数都有f 2=f 2－,且方程f =0恰好有四个不同实根，求这些实根之和命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题属★★★★★级题目知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化技巧与方法：数形结合、等价转化1证明：设0,0是函数=f 图象上任一点，则0=f 0,又fa =fa －,∴f 2a －0=f ［aa －0］=f ［a －a －0］=f 0=0,∴2a －0,0也在函数的图象上，而2)2(00x x a +-=a ,∴点0,0与2a －0,0关于直线=a 对称，故=f 的图象关于直线=a 对称2解：由f 2=f 2－得=f 的图象关于直线=2对称，若0是f =0的根，则4－0也是f =0的根，由对称性，f =0的四根之和为8［例2］如图，点A 、B 、C 都在函数=x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a 1、a 、B 、C 在轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为fa ,△A ′BC ′的面积为ga1求函数fa 和ga 的表达式；2比较fa 与ga 的大小，并证明你的结论命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等属★★★★★级题目知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口错解分析：图形面积不会拆拼技巧与方法：数形结合、等价转化解：1连结AA ′、BB ′、CC ′,则fa =S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B =21A ′AC ′C =212++a a , ga =S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B =B ′B =1+a 0)11121(21)]1()12[(21)122(21)()()2(<++-+++=-+-+-+=+-++=-a a a a a a a a a a a a g a f ∴fa11若△ABC 面积为S ，求S =fm ;2判断S =fm 的增减性5★★★★如图，函数=23||在∈［－1,1］的图象上有两点A 、B ，AB ∥O 轴，点M 1，mm ∈R 且m >23是△ABC 的BC 边的中点 1写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S =ft ;2求函数S =ft 的最大值，并求出相应的C 点坐标6★★★★★已知函数f 是=1102+x －1∈R 的反函数，函数g 的图象与函数=－21-x 的图象关于轴对称，设F =fg1求函数F 的解析式及定义域；2试问在函数F 的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由7★★★★★已知函数f 1=21x -,f 2=2,1设=f =⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出=f 的图象并求=f 的曲线绕轴旋转一周所得几何体的表面积； 2若方程f 1a =f 2有两个不等的实根，求实数a 的范围3若f 1>f 2－b 的解集为［－1，21］，求b 的值 8★★★★★设函数f =x1的图象为C 1，C 1关于点A 2，1对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g 1求g 的解析表达式；2若直线=b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标；3解不等式og a g <og a29 0<a <1。
函数的图象的变换(教案)
函数的图象的变换【教学目标】1．让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象；2．让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论； 3．培养学生主动运用数形结合方法解题的意识．【教学重点】 函数图象的几何变换【教学难点】1．各种图象变换之间的区别及灵活应用；2．运用数形结合方法解题．【教学过程】 一、复习回顾 ⑴正比例函数 kx y =，)0,(≠∈k R k ⑵反比例函数xk y =， )0,(≠∈k R kxx0k >0k <其图象是以原点为中心，以直线y x =和y x =-为对称轴的双曲线．⑶ 一次函数 b kx y +=，)0,(≠∈k R k⑷ 一元二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y⑸ 指数函数 ,0xy a a =>且1≠a （特征线：1=x ）⑹ 对数函数0,log >=a x y a且1≠a （特征线：1=y ）二、归纳整理 1.对称变换(1)点的对称变换①点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y - ②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y - ③点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y -- ④点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ⑤点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x -- ⑥点(,)x y 关于直线x a =的对称点为(2,)a x y - ⑦点(,)x y 关于直线y b =的对称点为(,2)x b y - ⑧点(,)x y 关于点(,)a b 的对称点为(2,2)a x b y -- (2)图象的对称变换①()()f x f x -=-⇔奇函数()f x 的图象关于原点对称 ②()()f x f x -=⇔偶函数()f x 的图象关于y 轴对称.③()()()(2)f a x f a x f x f a x +=-⇔=-⇔()f x 的图象关于直线x a =对称 ④()y f x =的图象与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称. 2.平移变换①()()y f x y f x a =⇒=+将函数()y f x =的图象向左(0)a >或向右(0)a <平行移动||a 个单位②()()y f x y f x b =⇒=+将函数()y f x =的图象向上(0)b >或向下(0)b <平行移动||b 个单位 3.翻折变换①()(||)y f x y f x =⇒=先作函数()y f x =(0)x >的图象,再根据(||)y f x =为偶函数作出0x <的图象 ②()|()|y f x y f x =⇒=先作函数()y f x =的图象,再把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方去 三、例题讲析例1.解方程210x x +-=.分析：作函数2x y =图象和函数1y x =-的图象从图中可知，1x =例2.设)(x f 在R 上为增函数,若关于x 的方程m x f x =+)(的解为px m x fx =+-)(1的解是____________分析：作函数()y f x =、1()y f x -=、y m x =-、y x =的函数的图象，再根据原函数与反函数的图象关于直线 y x =对称性可求解例3.当m 为何值时,|21|x m -=无解? 有一解? 有两解?（1） （2） （3）解：①当0m <时，|21|xm -=无解；②当0m =或1m ≥时，|21|xm -=有一解； ③当01m <<时，|21|xm -=有两解。
函数的图像变换教案
课题
函数图形的变换
教材
普通高中课程标准试验教材人教（A版）必修1
教法
参与式教学
一、教材内容分析
函数图像变换，是画复杂函数的基础，为研究数量关系提供了“形”的直观性。以形辅数，即借助形的几何直观性、形象性来揭示书之间的某种关系，用形作为探求解题途径，获得问题结果的重要工具；以数解形，即借助输的精确性、深刻性阐明形某些属性。而数形结合思想方法是高考考查的重点，因此通过本节课的教学，培养学生在作图、画图、用图上的熟练程度和准确性，感受函数图像变换的运动美，体验数学的博大与精深。
2、画图规范性需要强调。
三、教法分析
本节课采取探究教学法，借助多媒体教学辅助手段，探究图像的平移与翻折，并通过讲练结合巩固所学知识。
四、学法分析
1、动手操作，探究新知；
2、归纳总结，完备知识体系；
3、注重作图规范。
五、教学目标
1、知识目标：熟练掌握基本函数的图像的平移与翻折；能正确地从函数图像特征去讨论函数的主要性质；能够正确运用数形结合的思想方法解题。
问题探究二
画出函数 和 的图像，并指出它们与 的图像之间有什么联系？
师：大家还是按照刚才的分组，小组作图，找出规律。
生： 是把 的图像以y轴为对称轴进行翻折得到的，而 是保留 在x轴上方的图像，然后把x轴下方的图像以x轴为对称轴进行翻折。
翻折变换相对于平移变换复杂，而且是学生平时训练和高考易错的点，由学生合作得到的结论记忆更加深刻，并且通过作图，学生可以不必死记硬背、理解记忆。
总结、收获、反思
1、图像变换法：对称变换法、翻折变换法；
2、用图像变换法画函数图像时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其通过怎样变换得到所求函数图像，有时要先对解析式进行适当变形；
函数图像的形成及变换教案
函数图像的形成及变换一、学生学情分析：学生在经历了整个高中阶段的新课学习之后，对函数的定义，基本初等函数及其性质，函数图像及其变换有了一定的了解和把握。
但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握差距很大。
因此进行本堂课的教学，让学生通过数学实验观察参数变化对函数图像有着怎样的影响，让学生对函数图像的变换产生感性的认识。
有意识地让学生自己发现规律，并提炼结论，提高学生的观察能力，和总结能力。
并给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。
二、设计思想：1．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。
现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。
在本节课的设计中，设计了两个数学实验，学生通过观察、思考,自主总结规律，体现学生的自主性和活动性。
实验中渗透了数学实验的思想和方法，使学生学会通过数学实验来发现规律。
2．凡事预则立，不预则废。
预设是数学课堂教学的基本要求，但课堂教学不能过分拘泥于预设的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及始料不及的体验。
一堂好数学课应该是一节不完全预设的课，在课堂中有教师和学生真实的情感、智慧的交流，这个过程既有资源的生成，又有过程状态的生成，内容丰富，多方互动，给人以启发。
三、教学目标：1、知识与技能：（1）理解函数图像的形成过程；（2）掌握参变量k h a ,,对二次函数()()02≠++=a k h x a y 图像的影响以及参变量ωϕωϕA,,对正弦型函数y=Asin(x+)图像的影响。
（3）应用函数图像的变换来解题。
2、过程与方法：（1）通过几何画板的演绎，让学生生动地理解函数图像的形成过程；（2）让学生掌握控制变量法来进行数学实验。
3、情感态度价值观：通过数学实验培养学生细心观察、认真分析的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
高中数学教案：函数图像的变换及性质
高中数学教案：函数图像的变换及性质一、引言在高中数学教学中，函数图像的变换及性质是学习函数的重要内容之一。
理解函数图像的变换规律和性质，有助于学生更好地理解函数的概念、掌握函数的运算和图像的变化规律，进一步提高数学思维和解题能力。
本教案将介绍函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，并探究函数的奇偶性、周期性和单调性等性质。
二、函数图像的平移1. 平移的概念与特点平移是指保持图形形状不变，仅仅改变位置的变换方式。
在函数图像中，平移可以通过改变函数的自变量（x）和因变量（y）的关系来实现。
平移有平行于x轴的水平平移和平行于y轴的垂直平移两种形式。
2. 平移的公式与例题水平平移的公式为f(x ± a)，其中a表示平移的距离和方向。
垂直平移的公式为f(x) ± a，其中a表示平移的距离和方向。
例如，对于函数y = x²-1，向右平移2个单位的函数表达式为y = (x-2)²-1。
三、函数图像的伸缩1. 伸缩的概念与特点伸缩是指通过改变图形的尺寸，保持图形形状与轴线关系不变的变换方式。
在函数图像中，伸缩可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的比例系数来实现。
伸缩有水平方向的横向伸缩和垂直方向的纵向伸缩两种形式。
2. 伸缩的公式与例题横向伸缩的公式为f(kx)，其中k表示伸缩的比例系数。
纵向伸缩的公式为kf(x)，其中k表示伸缩的比例系数。
例如，对于函数y = x²-1，横向伸缩2倍的函数表达式为y = (1/2)x²-1，纵向伸缩2倍的函数表达式为y = 2(x²-1)。
四、函数图像的翻转1. 翻转的概念与特点翻转是指通过改变图形的方向，保持图形形状不变的变换方式。
在函数图像中，翻转可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的正负号来实现。
翻转有水平方向的左右翻转和垂直方向的上下翻转两种形式。
2. 翻转的公式与例题左右翻转的公式为f(-x)，即将函数关于y轴翻转。
函数图像变化方法教案
函数图像变化方法教案教案标题：函数图像变化方法教案教案目标：1. 理解函数图像的基本概念和性质。
2. 掌握函数图像的平移、伸缩、翻转等变化方法。
3. 能够应用函数图像变化方法解决实际问题。
教学资源：1. 教材：包含函数图像变化方法的相关知识点。
2. 白板、黑板或投影仪。
3. 教学PPT或其他多媒体教学工具。
4. 函数图像变化练习题。
教学步骤：一、导入新知识（5分钟）1. 利用教学PPT或黑板，引导学生回顾函数的基本概念和性质。
2. 引导学生思考，函数图像在平移、伸缩、翻转等变化中的作用。
二、讲解函数图像的平移变化（15分钟）1. 介绍平移变化的概念和方法。
2. 通过具体的例子，演示平移变化对函数图像的影响。
3. 引导学生总结平移变化的规律和特点。
三、讲解函数图像的伸缩变化（15分钟）1. 介绍伸缩变化的概念和方法。
2. 通过具体的例子，演示伸缩变化对函数图像的影响。
3. 引导学生总结伸缩变化的规律和特点。
四、讲解函数图像的翻转变化（15分钟）1. 介绍翻转变化的概念和方法。
2. 通过具体的例子，演示翻转变化对函数图像的影响。
3. 引导学生总结翻转变化的规律和特点。
五、练习与巩固（15分钟）1. 分发函数图像变化的练习题。
2. 引导学生独立完成练习题，加深对函数图像变化方法的理解。
3. 点评练习题，解答学生的疑惑。
六、拓展应用（10分钟）1. 引导学生思考函数图像变化方法在实际问题中的应用。
2. 提供一些实际问题，让学生运用函数图像变化方法解决。
七、总结与反思（5分钟）1. 总结函数图像变化方法的要点和关键。
2. 鼓励学生提出问题和反思，加深对知识的理解。
教学评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和表现。
2. 练习题的完成情况和答案的正确率。
3. 学生对函数图像变化方法的理解程度和能力。
教学扩展：1. 引导学生进一步探究函数图像变化方法在不同函数类型中的应用。
2. 引导学生自主学习其他函数图像变化方法，如旋转变化等。
高中数学必修一《函数的图象与简单变换》教学设计
《函数的图象与简单变换》教学设计一、教学目标：1．掌握基本初等函数的图象特征，学会运用函数的图象理解和研究函数的性质；2．掌握画函数图象的两种基本方法：描点法和图象变换法．3.掌握图像的四种变换：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换二、教学重难点：1、会画一些简单的函数图像2、掌握函数图像的平移，对称变换的规律。
三、教学过程：（一）平移变换：①y=f(x) →y ＝f(x ±a)(a>0)图象 横向 平移a 个单位，（左+右—）.②y=f(x) →y ＝f(x)±b(b>0)图象 纵向 平移b 个单位，(上+下—)问题思考：1、如何由函数的图像得到函数 的图像 2、如何由函数 的图像作出函数 的图像？ （二）对称变换问题探究I在同一坐标系下作出函数 与2和2x x y y 的图像，观察函数图像的特征，你能得出什么结论？（演示幻灯片）①y=f(x) →y=f(－x)图象关于 y 轴 对称; 若f(－x)=f(x),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y=f(x) →y=－f(x)图象关于x 轴 对称.③y=f(x) →y=－f(－x)图象关于原点 对称; 若f(－x)=－f(x),则函数自身的图象关于原点对称. 13()3xy 3x y 243y x x 243y x x 2x y④y=f(x) →y=f －1(x)图象关于直线y=x 对称.适应练习221.与y x y x 图像关于_____对称。
2.11()2与()2x x f x g x 的图像关于____对称。
问题探究Ⅱ 画出函数222log 与log 和log y x y x y x 的图像。
（3）翻折变换主要有①y=f(x) →y ＝f(|x|)的图象在y 轴右侧(x>0)的部分与y ＝f(x)的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.②y=f(x) →y ＝|f(x)|的图象在x 轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为y ＝f(x)图象下方部分关于x 轴的对称图形.适应练习Ⅱ分别作出下列函数的图像：1.四、实例讲解例1、作出下列函数的图像，并指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性 例2：求关于x 的方程 的不同实根的个数五、抽像概括1、图像变换法：（1）对称变换法 （2）翻折变换法2、用图像变换法画函数图像时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其通过怎样变换得到所求函数图像，有时要先对解析式进行适当变形。
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函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）.教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。
教学过程：一.知识要点：1.常见函数图像及其性质： （1）平移变换：①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象 横向 平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象 纵向 平移b 个单位，(上+下—)③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换：①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴 对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴 对称.③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点 对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称.④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称.⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称.若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称.若函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=（3）翻折变换主要有①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习：1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)， 则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A )A.y ＝f (x －1)－1B.y ＝f (x ＋1)－1C.y ＝f (x －1)＋1D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x )图2—3解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称.3.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是y =24－x解 ∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,则f (4－x )=24－x4.设函数y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴 直线x =0 解： 设x －1=t ,则f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称.5.函数y =12--x x 的图象关于点(1，－1)_对称.解： y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 三.例题精讲：例1.(1)函数y=||x xax(0＜a ＜1)的图象的大致形状是 （ D ）(2).（2009·郑州模拟）定义运算,)()(⎩⎨⎧>≤=⊗b a bb a a b a 则函数f(x)=x21⊗的图象是 ( A )(3).已知函数y=f(x)的图象如图①所示，y=g(x)的图象如图②所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图中的（ C ）例2. 作出下列函数的图象.（1）.f (x )＝x 2－2|x |＋1 （2）f (x )＝x 2－2|x |＋1（3）f (x )＝|x 2－1|（4）f (x )＝ x 2＋2x ＋1 （5）y=112--x x ; （6）y=)21(|x|. （7）（2）y=|log 21（1-x ）|； (8)y=21(lgx+|lgx|);例3.（1）定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为__{0}. 【解析】 函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (x )的图象关于原点对称.即若y =f (x )上任一点(x ,y ),则也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定义，对于任一x ∈R,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}.（2）已知函数f (x )定义域为R ，则下列命题中①y =f (x )为偶函数，则y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ＋2)为偶函数，则y =f (x )关于直线x =2对称.③若f (x －2)=f (2－x ),则y =f (x )关于直线x =2对称.④y =f (x —2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.其中正确命题序号有_②④_(填上所有正确命题序号).【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称. ③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位， 分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 例4.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f(x)=x 3. (1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式. 【解】 (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),则y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)∴(x 1,y 1)也在y =f (x )的图象上，命题成立.(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x 例5.设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).（1）证明：f(x)是偶函数； （2）画出函数的图象； （3）指出函数f(x)的单调区间； （4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x 2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.（2）解 当x ≥0时，f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,当x ＜0时，f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2, 即f(x)=,)03(2)1()30(2)1(22⎩⎨⎧<≤--+≤≤--x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示. （3）解 函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］. f （x ）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数. （4）解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2, 最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.例6.作函数y ＝x ＋ 1x 的图象. 扩展：y ＝a x ＋ bx（a ＞0，b ＞0）的图像.例7.（1）已知函数y=f(x)的定义域为R ，且当x ∈R 时f(m+x)=f(m-x)恒成立. 求证：y=f(x)的图象关于直线x=m 对称；（2）若函数y=log 2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a 的值. （1）证明 设P （x 0,y 0）是y=f(x)图象上任意一点，则y 0=f(x 0).又设P 点关于x=m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为（2m-x 0,y 0）.由已知f(m+x)=f(m-x), 得f(2m-x 0)=f ［m+(m-x 0)］=f ［m-(m-x 0)］ =f(x 0)=y 0.即),-(200y xm P '在y=f(x)图象上，∴y=f （x ）的图象关于直线x=m 对称.（2）解 ∵对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.∴|a （2-x ）-1|=|a （2+x ）-1|恒成立， 即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立. 又a ≠0,∴2a-1=0,得a=21.自我检测1.（2008·全国Ⅱ理，3）函数f(x)=x1-x 的图象关于 坐标原点对称2.作出下列函数的图象. （1）y=2-2x；（2）y=112+-x x . （3）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤112（5－x ） 1＜x ≤34－x x ＞33.已知f(x)=[][],1,0,10,1,12⎩⎨⎧∈+-∈+x x x x 则f(x-1)的图象是4.若函数f(x)=3+log 2x 的图象与g(x)的图象关于 y=x 对称，则函数g(x)= 2x-35. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ A ）6.设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( B )7.使log 2(-x)＜x+1成立的x 的取值范围是 . 答案 （-1，0）8.设f(x)是定义在R 上奇函数，在（0，21）上单调递减，且f(x)=f(-x-1).给出下列四个结论：①函数f(x)的图象关于直线x=21对称；②f(x)在(21,1)上单调递增；③对任意的x ∈Z ，都有f(x)=0；④函数y=f )2(x -π的图象是中心对称图形，且对称中心为()0,2π.其中正确命题的序号是 . 答案 ①②③④9.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则a 的取值范围为 . 答案 (1,2］ 10.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_y __轴对称的图像，再向__右__平移3个单位而得到11.函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有__2__个12.如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_12x =-__。