导数的应用3---函数最值
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作业：已知函数 f ( x ) ax 6ax b.若 f (x) 在[-1，2]上的最大值为 29，最小值为 3， 求：a、b 的值
3 2
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 9 定义域为 D 的函数 y f ( x) ，若对任意的 x1 , x2 D 都有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | 1 ，则称函数 y f ( x) 为“玲珑函数”，否则
（ 2） 、函数的最值不是在极值点取得就是在 端点取得。
例题1:书P30例题5
1 3 求函数y x 4 x 4 在区间[0, 3]上 3 的最大值与最小值．
3、利用导数求闭区间 a, b 函数的最值 书P31
⑴ 求 y＝f(x)在(a，b)内的极值点；
⑵ 将 y＝f(x)的极值点的函数值与 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值．
课后拓展： 三角函数题导数法
3 当 3x 1 0 时，即 x ， 3
2
列表如下:
x
1
3 1, 3
3 3
3 3 3 , 3
3 3
3 3 ,1
1
f x f x
0
2 3 极大值 a 9
0
2 3 极小值 a 9
a
a
所以函数 f ( x) x3 x a( x [1,1], a R) 的最大值是 a 最小值是 a
2 3 9
2 3 4 3 ，故 | f ( x1 ) f ( x2 ) | f x f x 1， max min 9 9
例题７.（０８重庆卷4)已知函数y= 1 x x 3 的最大值为M,最小值为m,则
m M
的值为
特殊点定导数符号
例题讲解
三、已知函数最值求参数
3 2 2 3 例 8. 设 a 1 ，函数 f ( x ) x ax b 2 3 6 最小值为 ， ( 1 x 1)的最大值为 1， 2 求：a、b 的值
-2 (-2,-1)
4 2
y’
y
13
— ↘
-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 0 0 + + 0 — 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗
2
13
最大值 f (2) f (2) 13 最小值 f (1) f (1) 4
作业:书 P32 6
练习：书 P.31 练习
例 4．函数 y = x· e 在 x∈[0, 4]的最小值为 1 4 2（ ） A . 0 B. C. 4 D. 2 e e e
引入
问题 1： 观察函数 f(x)在区间[a，b]上的图象， 找出函数在此区间上的极大值、极小值和 最大值、最小值．
y
x1 O
y=f(x)
x2 b x
a
Байду номын сангаас
（最值定义见《智力报》P6右文）
引入
问题 2： 观察函数 f(x)在区间[a，b]上的图象， 找出函数在此区间上的极大值、极小值和 最大值、最小值．
x y’ y
1 1,0
+
0
不存在
2 0, 5
2 5
—
↘
0
3 3 20 25
2
↗
0
例题讲解
例 3．求函数 y＝x －2x ＋5 在区间[－2, 2] 上的最大值与最小值．
解：Y｀＝4x3－4x＝４x（ x ＋１）（ x －１） 令Y｀＝０，得： x＝１或 x＝－１ 当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x
新课讲解
一、函数的最大值与最小值
一般地，设 y＝f(x)是定义在[a，b]上的 函数，在[a，b]上 y＝f(x)的图象是一条连续 不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。 y y=f(x)
a
x1
O
x2 b x
y y=f(x) o y y=f(x)
y
y=f(x)
a
b x
o a
y y=f(x)
b x
BC 取得最大值,并求出这个最大值. 2 A 令 h A cos A 2sin 0 A ,则 2
1 A A A f A sin A 2 cos cos 1 2sin .由 2 2 2 2
f A 0 ,得 A
当0 A
3
.
3
时, f A 0 ;当
3
A 时, f A 0 .
所 以 f A 在 0, 上 是 增 函 数 , 在 , 上 是 减 函 数 , 故 3 3
f A max 3 f . 3 2
称“非玲珑函数”.函数 f ( x) x3 x a( x [1,1] , a R ）是 否为“玲珑函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明 理由.
解:因为 | f ( x1 ) f ( x2 ) | f x max f x min , 由 f ( x) x3 x a( x [1,1], a R] ，得 f ( x) 3x2 1 .
所以函数 f ( x) x3 x a( x [1,1], a R) 是“玲珑函数”.
课堂小结
1．已知函数解析式，确定可导函数在区间 [a, b]上最值的方法； 2．已知函数最值，求参数的值
(06 全 国 Ⅰ17) ABC 的 三 个 内 角 为 A、B、C , 求 当 A 为 何 值 时, cos A 2cos
说明:单峰函数的极值同时也是最值 例5：（２００５年北京）
–x
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a
１）求f(x)的单调递减区间； ２）若f(x)在区间［-２，２］上的最大值 为２０，求它在该区间上的最小值．
例题讲解
例 6. 求函数 f ( x ) sin 2 x x , x [ , ] 2 2 的最大值和最小值.
o
a
b x
o a
b x
在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值.
二、如何求函数的最值 （定义见《智力报》P6 右文）
1、求函数最值常用解法
● ● 利用函数性质 利用不等式
2、函数最值与极值关系
练习:<智力报>P6 及时练1.3.3 EX1
（ 1） 、函数的极值是从局部考察的，函数的 最大值与最小值是从整体考察的。
注意：极值点 不能改为“０导数点”，因为有些极值 在不可导点取到，如下例
例题２：
2 2 5( x ) 2 1 5 3 y 解： x ( x 1) 3 3 x 3 3 x
2 求函数 y ( x 1) x 在区间 1， 的最值. 5
3 2
x
2 令 y 0 ,解得 x 5 1,1 当x变化时, y ,y的变化情况如下表:
3 2
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 9 定义域为 D 的函数 y f ( x) ，若对任意的 x1 , x2 D 都有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | 1 ，则称函数 y f ( x) 为“玲珑函数”，否则
（ 2） 、函数的最值不是在极值点取得就是在 端点取得。
例题1:书P30例题5
1 3 求函数y x 4 x 4 在区间[0, 3]上 3 的最大值与最小值．
3、利用导数求闭区间 a, b 函数的最值 书P31
⑴ 求 y＝f(x)在(a，b)内的极值点；
⑵ 将 y＝f(x)的极值点的函数值与 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值．
课后拓展： 三角函数题导数法
3 当 3x 1 0 时，即 x ， 3
2
列表如下:
x
1
3 1, 3
3 3
3 3 3 , 3
3 3
3 3 ,1
1
f x f x
0
2 3 极大值 a 9
0
2 3 极小值 a 9
a
a
所以函数 f ( x) x3 x a( x [1,1], a R) 的最大值是 a 最小值是 a
2 3 9
2 3 4 3 ，故 | f ( x1 ) f ( x2 ) | f x f x 1， max min 9 9
例题７.（０８重庆卷4)已知函数y= 1 x x 3 的最大值为M,最小值为m,则
m M
的值为
特殊点定导数符号
例题讲解
三、已知函数最值求参数
3 2 2 3 例 8. 设 a 1 ，函数 f ( x ) x ax b 2 3 6 最小值为 ， ( 1 x 1)的最大值为 1， 2 求：a、b 的值
-2 (-2,-1)
4 2
y’
y
13
— ↘
-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 0 0 + + 0 — 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗
2
13
最大值 f (2) f (2) 13 最小值 f (1) f (1) 4
作业:书 P32 6
练习：书 P.31 练习
例 4．函数 y = x· e 在 x∈[0, 4]的最小值为 1 4 2（ ） A . 0 B. C. 4 D. 2 e e e
引入
问题 1： 观察函数 f(x)在区间[a，b]上的图象， 找出函数在此区间上的极大值、极小值和 最大值、最小值．
y
x1 O
y=f(x)
x2 b x
a
Байду номын сангаас
（最值定义见《智力报》P6右文）
引入
问题 2： 观察函数 f(x)在区间[a，b]上的图象， 找出函数在此区间上的极大值、极小值和 最大值、最小值．
x y’ y
1 1,0
+
0
不存在
2 0, 5
2 5
—
↘
0
3 3 20 25
2
↗
0
例题讲解
例 3．求函数 y＝x －2x ＋5 在区间[－2, 2] 上的最大值与最小值．
解：Y｀＝4x3－4x＝４x（ x ＋１）（ x －１） 令Y｀＝０，得： x＝１或 x＝－１ 当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x
新课讲解
一、函数的最大值与最小值
一般地，设 y＝f(x)是定义在[a，b]上的 函数，在[a，b]上 y＝f(x)的图象是一条连续 不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。 y y=f(x)
a
x1
O
x2 b x
y y=f(x) o y y=f(x)
y
y=f(x)
a
b x
o a
y y=f(x)
b x
BC 取得最大值,并求出这个最大值. 2 A 令 h A cos A 2sin 0 A ,则 2
1 A A A f A sin A 2 cos cos 1 2sin .由 2 2 2 2
f A 0 ,得 A
当0 A
3
.
3
时, f A 0 ;当
3
A 时, f A 0 .
所 以 f A 在 0, 上 是 增 函 数 , 在 , 上 是 减 函 数 , 故 3 3
f A max 3 f . 3 2
称“非玲珑函数”.函数 f ( x) x3 x a( x [1,1] , a R ）是 否为“玲珑函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明 理由.
解:因为 | f ( x1 ) f ( x2 ) | f x max f x min , 由 f ( x) x3 x a( x [1,1], a R] ，得 f ( x) 3x2 1 .
所以函数 f ( x) x3 x a( x [1,1], a R) 是“玲珑函数”.
课堂小结
1．已知函数解析式，确定可导函数在区间 [a, b]上最值的方法； 2．已知函数最值，求参数的值
(06 全 国 Ⅰ17) ABC 的 三 个 内 角 为 A、B、C , 求 当 A 为 何 值 时, cos A 2cos
说明:单峰函数的极值同时也是最值 例5：（２００５年北京）
–x
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a
１）求f(x)的单调递减区间； ２）若f(x)在区间［-２，２］上的最大值 为２０，求它在该区间上的最小值．
例题讲解
例 6. 求函数 f ( x ) sin 2 x x , x [ , ] 2 2 的最大值和最小值.
o
a
b x
o a
b x
在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值.
二、如何求函数的最值 （定义见《智力报》P6 右文）
1、求函数最值常用解法
● ● 利用函数性质 利用不等式
2、函数最值与极值关系
练习:<智力报>P6 及时练1.3.3 EX1
（ 1） 、函数的极值是从局部考察的，函数的 最大值与最小值是从整体考察的。
注意：极值点 不能改为“０导数点”，因为有些极值 在不可导点取到，如下例
例题２：
2 2 5( x ) 2 1 5 3 y 解： x ( x 1) 3 3 x 3 3 x
2 求函数 y ( x 1) x 在区间 1， 的最值. 5
3 2
x
2 令 y 0 ,解得 x 5 1,1 当x变化时, y ,y的变化情况如下表: