第六章习题选解

得
x1 0 , y1 0
x2 2 , y2 1
x3 1 ， y3 2
所以方程组 1）有奇点为 (0,0), (1,2) 和 (2,1) 。 再研究驻定解的稳定性态。
a) 零解的稳定性态。
奇点 (0,0) 的一次近似方程组为
dx 9x 6 y dt dy 6 x 6 y dt

x0 A ，故得原方程满足初始 ，得 C A Bx0 B
x(t )
A A At B x B e 0
t 0
（1）
由式（1）和方程右端的表达式，得出 当 x0 0 时， 又
dx 0 ， x(t ) 递增， dt
A At A B B , B x e B 时， x(t ) ， x0 0
其特征根 1 6, 2 3 ，有正实部的特征根，由定理 6.3 和定理 6.5 可知原系统的零解不 稳定。
b) 驻定解 x 1, y 2 的稳定性态。
令
X x 1 Y y 2
将 1）中方程组化为
dX 7 X 2Y 4 XY 5 X 2 dt 。 dY 4 X 5Y 5 XY 4Y 2 dt
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料 中只考虑零解稳定性的缘故。方程
dx Ax Bx 2 是著名的罗杰斯蒂克（Logistic）微分方 dt
程型，常用来研究生态、经济等领域中的问题。 6-2 试讨论线性方程组
dx ax by dt dy cy dt
即t t
A 1 ln( 1) 时， x(t ) 。 A x0 B
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料
A x B 0, 0 当 x0 0时 A B 0, x0 x(t ) A t B
x
x0
A dx , 0 B dt
在区域 0 x 1 ， x
dx 0 dt x3 (t ) 3 dx 0 dt
3
1
x 2 (t ) 1 dx 0 dt t 0, x 0 0
图 6-6 t
o
从图 6-6 看出：当 x0 0 时， x(t ) 0 ；当 0 x0 3 时， x(t ) 1 ，当 t 时， 驻定解 x 2 1 稳定； x3 3 不稳定。 令 y x 1 ，代入原方程，得
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料
dx 0 ，任意解 x xt 递增，在 t 时 ，以 x 1 为渐近线。 dt dx 在区域 1 x 3 ， 0 ，任意解 x xt 递减，在 t 时 ，以 x 1 为渐近线。 dt dx 在区域 x 3 ， 0 ，任意解 x xt 递增，在 t 时 ， xt 远离 x3 t 3 ， dt dx 又 t ，故 xt 有铅直渐近线。积分曲线的分布如图 6-6 所示。 dt
一次近似方程组为
dX dt 7 X 2Y ， dY 4 X 5Y dt
有正实部的特征根 1 9, 2 3 ，由定理 6.3 和定理 6.5 可知驻定解 x 1, y 2 不稳
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料 定。
c) 驻定解 x 2, y 1 的稳定性态
令
X x 2 Y y 1
将 1）中方程组化为
dX 7 X 2Y 4 XY 5 X 2 dt dY X 8Y 5 XY 4Y 2 dt
一次近似方程组为
dX 7 X 2Y dt dY X 8Y dt
的零解 y 0 。 2）由 x x 1 x 3 0 ，求得常数解为
x1 0, x 2 1, x3 3 。
因为 f t , x x x 1 x 3 在全平面上连续可微，故对任意初始点 t 0 , x0 ，解唯一存 在，当 t 0, x 0 时有
dy y y 1 y 2 dt
令 y x 3 ，代入原方程，得
dy y y 2 y 3 dt
所以原方程的驻定解 x 2 1 和 x3 3 对应于新方程的零解 y 0 。 评注：驻定解是使方程的左端为零的解，也就是常数解。如果方程的通解能够解出，直 接可研究驻定解的稳定性；如果方程的解不易得到，就从方程本身的特点研究其稳定性，这 时可利用解的导数的符号得到解的单调区间从而推断驻定解的稳定性。 从题目中我们还可以 知道， 非零驻定解可以通过变量替换化为新方程的零解， 这也是为什么在稳定性理论的研究
dx 0 1 x dt ， dy 1 2 μx μ Pi y dt
所以系统 2）零解的一次近似方程组为
dx y dt ， dy x y dt
评注：讨论含参数系统的稳定性时，要注意各个参数的变化对奇点类型的影响。 6-3 试求出下列方程组的所有奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态。
dx 9 x 6 y 4 xy 5 x 2 dt 1） dy 6 x 6 y 5 xy 4 y 2 dt
1） 由于方程为分离变量方程（或迫努利方程） ，当 x 0, x
A 时，分离变量得 B
1 1 dx Adt x x A B
方程的通解为
x Ce At A Bx
利用初始条件 x0 x0 x0 0, x0 条件的解为
得
1 a, 2 c 。
所以由定理 6.1 知，方程组的奇点 0,0 可以分为以下类型：
a c, c 0, 奇点为稳定结点 ac 0, 奇点为结点 a c, c 0, 奇点为不稳定结点 a c ac 0, 奇点为鞍点(不稳定) a, c为实数 a c b 0, 奇点为退化结点a ()0, c ()0, 奇点为(不)稳定结点 b 0, 奇点为奇结点
5 1 29, a3 1 1 6
所以由霍维兹定理得，特征根均具有负实部，因而（2）的零解即（1）的零解渐近稳定。
x
1

, y 0 不稳定。
评注：系统的常数解即为驻定解，对应到相平面上就是奇点。本题 1）的解法是先将驻 定解平移至零解，然后利用它的一次近似系统的零解稳定性来研究非线性系统零解的稳定。 本题 2）给出得到一次近似系统的另一种方法，是将系统在奇点处按泰勒公式展开取线性主
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料 部即可。 6-4 研究下列方程（组）零解的稳定性。 1）
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料
第六章 习题选解
6-1 对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过 0, x0 的积分曲线的走向，从而判断 各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。
dx Ax Bx 2 , A 0, B 0, x0 dt dx 2） x x 1 x 3, x0 0 dt dx A 解 1）方程可化为 Bx( x) ，则其常数特解为 dt B A x1 0, x 2 ，即为驻定解。 B
有正实部的特征根 1, 2
2 4
2
，由定理 6.3 和定理 6.5 可知零解 x y 0 不稳定。
系统 2）在 (
1

Leabharlann Baidu
,0) 的一次近似方程组为
dx y dt dy x μy dt
特征根为 λ1, 2
μ μ2 4 ，显然有正实部的特征根，由定理 6.3 和定理 6.5 可知驻定解 2
d 3x d 2x dx 5 6 x 0 3 2 dt dt dt dx dy dz μx y, μy z, μz x ， 为常数。 dt dt dt
（1）
2）
dx d 2x 解 1） 令 y1 x, y 2 , y3 2 ， dt dt
则方程（1）可化为为
其特征根 1 6, 2 9 ，由定理 6.3 和定理 6.5 可知驻定解 x 2, y 1 渐近稳定。 2） 先求出奇点。 解方程组
y 0 2 x ( y x ) 0
得
x1 0 , y1 0
故系统 2）有奇点为 (0,0) 和 (
1 x2 μ， y 0 2
1

,0) 。
再研究驻定解的稳定性态。
dx f ( x, y ) dt 一般地，对于系统 ，它在驻定解 Pi ( xi , y i ) 的一次近似方程组为 dy g ( x, y ) dt
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料
的奇点类型，其中 a，b，c 为实数且 ac 0 。 解 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件
a b ac 0 ，故线性方程组有唯一的奇点，即原点 0,0 。 0 c
又由 det A E
a 0
b 2 a c ac 0 ， c
dx f ( x, y ) dt x dy g ( x, y ) x dt
f ( x, y ) y x ， g ( x, y ) y y P
i
其中方程组的系数矩阵称为函数 f ( x, y ), g ( x, y ) 关于 x, y 的雅可比矩阵。 在此题中，驻定解 Pi ( xi , y i ) 的一次近似方程组为
dy1 dt y2 dy2 y3 dt dy3 dt y1 6 y2 5 y3
则
（2）
1 det(E A) 0
1
因为
0 1 3 52 6 1 0 ，
6
5
a 0 1, a1 5, 2
A dx x0 , 0 B dt
，有
所以解（1）的图像如图 6-5 所示。
dx 0 dt
x1 (t ) 0
o
dx t 0 dt A x 2 (t ) B
图 6-5 从解的图像可以看出： 解 x1 0 不稳定；解 x 2 利用变换 y x
A 稳定。 B
A ，可将原方程化为 B dy A A A( y ) B( y ) 2 Ay By 2 dt B B A 所以原方程的驻定解 x 2 对应于方程 B dy Ay By 2 dt
解 1） 先求出奇点。 解方程组
dx y dt 2） dy x ( y x 2 ), 0 dt
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料
2 9 x 6 y 4 xy 5 x 0 2 6 x 6 y 5 xy 4 y 0