数字信号处理第三版 教材第六章习题解答

6.2 教材第六章习题解答

1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。 解：

（1）求阶数N 。

lg lg sp sp

k N λ=-

0.10.30.1 2.51011010.0562101101

p s a

sp a k --==≈--

33

2121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯

将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得

lg 0.0562

4.15lg 2

N =-

=

所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。） （2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为

54321

() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611

a H p p p p p p =

+++++

或 22

1

()(0.6181)( 1.6181)(1)

a H p p p p p p =

+++++ 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:

121()22,0,1,2,3,4k j N

k p e

k π++==

按（6.11）式写出()a H p 表达式

4

1

()()

a k k H p p p ==

-

代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数

()a H s 。

由于本题中3p a dB =，即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此

()()

a a c

H s H p s p ==

Ω

554

2

33

2

4

5

3.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c c

c c

s s s

s s Ω=

+Ω+

Ω+Ω+

Ω+Ω

对分母因式形式，则有

()()

a a c

H s H p s p ==

Ω

522

22

(0.6180)( 1.6180)()

c c c c c

c s s s s s Ω=

+Ω-Ω+

Ω-Ω+Ω

如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率3p f kHz =，通带最在衰减速

0.2p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减50s a dB =。求出归一化传输函数()a H p 和实际的()a H s 。

解：

（1）确定滤波器技术指标：

0.2p a dB =，32610/p p f rad s ππΩ==⨯

350,22410/s s s a dB f rad s ππ=Ω==⨯

1,4s

p s p

λλΩ==

=Ω

（2）求阶数N 和ε：

1()

()

s Arch k N Arch λ-=

0.11

0.11011456.65101

s p

a a k --=≈- (1456.65)

3.8659(4)

Arch N Arch =

=

为了满足指标要求，取N=4。

0.110

10.2171p

a ε=-=

（2）求归一化系统函数()a H p

4

1

1

1

1

1

()2()

1.7386

()

a N

N k k k k H p p p p p ε-===

=

∙--

其中，极点k p 由(6.2.38)式求出如下：

(21)(21)()sin(

)()cos(),1,2,3,422k k k p ch jch k N N ππ

ξξ--=-+= 1111()()0.558040.2171

Arsh Arsh N ξε==≈

1(0.5580)sin()(0.5580)cos()0.4438 1.071588p ch jch j ππ

=-+=-+

233(0.5580)sin()(0.5580)cos() 1.07150.443888p ch jch j ππ

=-+=-+

355(0.5580)sin()(0.5580)cos() 1.07150.443888p ch jch j ππ

=-+=--

477(0.5580)sin()(0.5580)cos()0.4438 1.071588

p ch jch j ππ

=-+=--

（3）将()a H p 去归一化，求得实际滤波器系统函数()a H s

()()

a a c

H s H p s p ==

Ω

4

4

4

4

111.7368()

1.7368()

p p p k k k k s p s s ==ΩΩ=

=

-Ω-∏∏

其中3

610,1,2,3,4k p k k s p p k π=Ω=⨯=，因为4132,p p p p =*=*，所以