空间两条直线的关系

空间两条直线的关系

摘要：本文通过空间两条直线上的三个重要向量，表现出了空间两条直线的位置关系，从而得出了用三个向量表示空间直线关系的充要条件，可以方便的解决关于空间两直线关系的问题.

关键词：空间直线；异面；相交；平行

空间两直线的关系有异面和共面两种，其中共面直线又可以分为相交，平行，重合三种.在仿射坐标系中，设两直线1l 与2l 过点()1111,,M x y z 与()2222,,M x y z ，方

向向量分别为{}1111,,v x y z = ,{}2222,,v x y z =

，那么它们的标准方程为:

1

111111

:

x x y y z z

l x y z ---== 222

2222

:

x x y y z z l x y z ---==. 1l 与2l 的关系取决于三个向量12M M , 1v , 2v

的相互关系；

（1）当且仅当三向量12M M , 1v , 2v

异面时, 1l 与2l 异面，即不共面； （2）当且仅当三向量12M M , 1v , 2v

共面时, 1l 与2l 共面；

在共面的情况下：

（1）如果1v , 2v

不平行时, 1l 与2l 相交；

（2）如果1v , 2v 平行但不平行于12M M

，那么1l 与2l 平行； （3）如果12M M , 1v , 2v

的相互平行，那么1l 与2l 重合；

因此，我们可以得到下面命题：

命题 1，1l 与2l 异面⇔（12M M , 1v , 2v

）0≠.

2，1l 与2l 相交⇔（12M M , 1v , 2v ）=0且1v , 2v

不共线. 3，1l 与2l 平行⇔1v , 2v 共线.但和12M M

不共线. 4，1l 与2l 重合⇔12M M , 1v , 2v

为共线向量.

用坐标表示，则有下面推论：

推论 1.1l 与2l 异面⇔21

21

21

1112

2

2

0x x y y z z x y z x y z ---∆=≠；

2.1l 与2l 相交⇔0∆=且111222::::x y z x y z ≠；

3.1l 与2l 平行⇔()()()111222212121::::::x y z x y z x x y y z z =≠---；

4.1l 与2l 重合⇔()()()111222212121::::::x y z x y z x x y y z z ==---；

下面我们要定义空间两直线的夹角，即平行于空间两直线的两向量间的夹角.两直线1l 与2l 间的角记做()12,l l ∠，空间两直线1l 与2l 的夹角，如果用它们的方向

向量1v , 2v

之间的角表示，就是()12,l l ∠.

因此，在直角坐标系里，空间两直线的夹角的余弦为

(

)12cos ,l l ∠=通过两直线的夹角我们可知两直线垂直的充要条件是：1212120x x y y z z ++=. 综上所述，我们可判定空间两直线的关系为异面，相交（垂直），平行，重合五种.

通过以上几种关系的充要条件，我们可以已知两直线方程，求两直线的关系.求通过某点且与已知两直线关系的方程.已知两个含参直线关系，求直线的方程中的参数.求通过某点且与一直线关系的直线方程.求与三条直线有关系的方程. 例一 已知两直线

121111:,:,110110x y z x y z l l +---====- 求两直线1l 与2l 的关系.

解：因为直线1l 过点()10,0,1M -，方向向量为{}11,1,0v =-

， 而直线2l 过点()21,1,1M ，方向向量为{}21,1,0v =

， 因为 {}121,1,2M M =

从而有 ()

1212112

,,11040

110

M M v v ∆==-=≠

. 所以1l 与2l 为两异面直线.

例二 求通过点()1,1,1P 且与两直线

1:

,123x y z l == 2123

:214

x y z l ---==

都相交的直线的方程.

解 设所求直线的方向向量为{},,v X Y Z =

，那么所求直线l 的方程可写成

111

,x y z X Y Z

---== 因为l 与1l ，2l 都相交，而且1l 过点()10,0,0M ，方向向量为{}21,2,3,v l =

过点()21,2,3,M 方向向量{}2,1,4v =

.所以有

()

111

11

,,1

230,M P v v X

Y

Z

==

即20,X Y Z -+= (

)

220

12,,2

140,M P v v X

Y

Z

--==

即20,X Y Z +-=

由上两式得 ::0:2:40:1:2X Y Z ==，

显然又有

0:1:21:2:3,≠即v

不平行于1v ， 0:1:22:1:4,≠即v

不平行于2v .

所以所求直线l 的方程为

111

012

x y z ---==

. 例三 确定λ的值使下面两直线相交.

13260:4150

x y z l x y z λ-+-=⎧⎨++-=⎩ 2:l z 轴. 解：因为直线1l 的方向向量

{}1223

318,23,1341

14v λλλ

λ⎧--⎫

==---⎨

⎬⎩⎭

. 又因为

311301

4

-=≠

所以令 0z =，解360

4150x y x y --=⎧⎨+-=⎩

得33x y =⎧⎨=⎩

所以1l 过点()13,3,0M 又2l 过点()20,0,0M 且方向向量{}20,0,1v = .