Hindmarsh_Rose神经元全局指数同步

器ｕ１ 、ｕ２ 、ｕ３ ，使 得 偏 差 系 统 （４）的 零 解 全 局 指 数 稳 定 。 那 么 系 统 （２）和 系 统 （３）也 全 局 指 数 同 步 。
定理 １ 选 择 反 馈 控 制 器 控 制 规 则 ｕ１ ＝ ｋａｅｘ，ｕ２＝ｋｂｅｙ，ｕ３ ＝ｋｃｅｚ，如 果 ｋａ ＞ （Ｎ ＋１）／２＋ Ｍ，ｋｂ＞（Ｎ ＋１）／２－１，ｋｃ＞ －μ，其 中：Ｍ ＝ ｍａｘ ｜－３ａξ２＋２ｂξ｜，Ｎ ＝ｍａｘ（｜２ｄη｜），ｍｉｎ（ｘｄ，ｘｒ）≤ η，ξ≤ｍａｘ（ｘｄ，ｘｒ），则 得 到 系 统 （３）使 得 系 统 （２） 和系统（３）全局指 数 同 步，偏 差 系 统 （４）的 零 解 全 局指数稳定。
而认识其神经生理 机 制 和 产 生 的 根 源。Ｈｏｄｇｋｉｎ
和 Ｈｕｘｌｅｙ首先提出了描述神经元放电的微分方
程，并成功地说明 了 神 经 放 电 的 反 复 发 生 和 动 作
电位的产生机 理［１２］。Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ 和 Ｒｏｓｅ在 ＨＨ
模 型 基 础 上，建 立 了 可 以 描 述 神 经 元 轴 突 电 位
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｇｌｏｂａｌ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｗａｓ ｒｅａｃｈｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｃｏｕｐｌｅｄ ｎｅｕｒｏｎ ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ ｓａｍｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｉｎｉｔｉａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｓｉｍｐｌｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅ ｚｅｒｏ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｔｏ ｂｅ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｔａｂｌｅ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｒｒｏｒ ｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｏｓｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｗａｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｒｅａｃｈｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｄｒｉｖｅ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｒｅｃｅｉｖｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ；Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ ｍｏｄｅｌ；ｇｌｏｂａｌｌｙ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚｅｄ；ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ；Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
Ｐｅｃｏｒａ和 Ｃａｒｒｏｌｌ［７］基 于 在 同 步 流 形 处 线 性 化和非线性系统 零 解 的 渐 近 稳 定 性 分 析，给 出 了
收 稿 日 期 ：２０１１－０５－１６． 基金项目：“８６３”国家高技术研究发展计划 项 目 （２００９ＡＡ０４Ｚ１３２）；国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 （６０７７４０８８）；高 等 学 校 博
（ａ）Ｉ＝３．２
１ Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ模型
神经元的放电 活 动 丰 富 且 复 杂，很 多 现 象 仅
通过实验很难得 到 充 分 的 认 识，需 要 建 立 相 应 的
数学模型，利用非 线 性 动 力 学 理 论 和 方 法 去 分 析
神 经 元 的 放 电 活 动 ，揭 示 其 产 生 的 动 力 学 机 制 ，进
０ 引 言
近年来神经元网络的混沌同步成为神经科学 中的一个紧迫问题 。 ［１］ 如果耦合的神经元能 够 达 到 同 步 ，一 方 面 可 以 增 强 有 效 数 据 的 传 输 ；另 一 方 面 会 产 生 规 则 、节 律 的 动 作 ，这 在 某 些 程 度 上 与 帕 金森疾病有一定的联系 。 ［２－３］ 因此，研究混 沌 同 步 对于信息安 全 和 临 床 医 学 都 具 有 重 要 的 意 义 。 ［４］
ｅｘ２（ｔ）＋ｅｙ２（ｔ）＋ｅｚ２（ｔ）≤ｋ（‖ｅ（ｔ０）‖）ｅ－α（ｔ－ｔ０） （５） 式中：α＞０；ｋ（‖ｅ（ｔ０）‖）为 一 个 依 赖 于 ‖ｅ（ｔ０）‖ 的常数，那么式（４）的 零 解 是 全 局 指 数 稳 定，这 里 称 系 统 （２）和 系 统 （３）全 局 指 数 同 步 。
本文的目标是找到一个简单的合适反馈控制
贾秋菊，陈增强
（南开大学 信息技术科学学院，天津 ３０００７１）
摘 要 ：通 过 使 用 简 单 的 反 馈 控 制 器 使 两 个 初 始 条 件 不 同 、参 数 相 同 的 耦 合 神 经 元 达 到 全 局 指 数同步。并通过构造一个正定的 Ｌｙｐａｎｏｕｖ函 数 （其 导 数 为 负），证 明 了 偏 差 系 统 的 零 解 具 有 全局指数稳定性。从而不需要计算其 Ｌｙｐａｎｏｕｖ指数就可使原来的驱动和响应系统达到完全 同步。 关 键 词 ：控 制 理 论 ；Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ模 型 ；全 局 指 数 同 步 ；反 馈 控 制 ；Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函 数 中 图 分 类 号 ：ＴＰ１３ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７１－５４９７（２０１１）Ｓｕｐ．１－０２３５－０５
证明 为 系 统 （４）构 造 一 个 正 定 Ｌａｙｐｕｎｏｖ 函数：
μ＝０．００３，Ｉ＝３．２ 时，系 统 ９ 周 期 放 电；Ｉ＝３．２９ 时 ，系 统 是 混 沌 的 ，其 时 间 序 列 和 平 面 相 空 间 图 分 别如图１所示。
２ Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ 模 型 指 数 同 步 控制
研究２个 ＨＲ 神 经 元 的 全 局 指 数 同 步 时，将
本文使用 Ｘｕ［１１］提出的 对 偏 差 系 统 构 造 合 适 的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，得 到 偏 差 系 统 在 零 平 衡 点 处 全 局 指 数 稳 定 ，同 时 使 得 原 驱 动 －响 应 系 统 全 局 指 数同步。首先描 述 了 Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ神 经 元 模 型的基本动力学 特 征，然 后 给 出 两 种 可 以 控 制 偏 差 系 统 零 解 全 局 指 数 稳 定 和 驱 动－响 应 系 统 全 局 指数同步的 方 法。 仿 真 结 果 表 明：通 过 该 方 法 就 可 以 使 驱 动 －响 应 系 统 全 局 指 数 同 步 。
士 学 科 点 专 项 科 研 基 金 项 目 （２００９００３１１１００２９）． 作 者 简 介 ：贾 秋 菊 （１９８６－），女 ，硕 士 研 究 生 ．研 究 方 向 ：非 线 性 动 力 学 分 析 ．Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｉａｑｉｕｊｕ２００９＠ｍａｉｌ．ｎａｎｋａｉ．ｅｄｕ．ｃｎ 通 信 作 者 ：陈 增 强 （１９６４－），男 ，教 授 ，博 士 生 导 师 ．研 究 方 向 ：智 能 预 测 控 制 ，混 沌 系 统 与 复 杂 动 态 网 络 ．
电流）有关的变量；ｚ 为慢电流；Ｉ 为模拟生物神经
元的输入电 流；ｂ 可 以 控 制 神 经 元 是 簇 放 电 还 是
峰放电剂放电频率；μ 为控制变量的速 度；其 他 变 量均为常数。
ＨＲ 模型是研究重复峰放电和不规则 放 电 的
理想 的 模 型。 当 没 有 控 制 规 律 作 用 于 系 统（１）上
式 （２）减 去 式 （３）可 以 得 到 偏 差 系 统 为
ｅ·ｘ ＝ｆ′（ξ）ｅｘ ＋ｅｙ －ｅｚ －ｕ１（ｅｘ ，ｅｙ ，ｅｚ）
ｅ·ｙ ＝ｇ′（η）ｅｘ －ｅｙ －ｕ２（ｅｘ ，ｅｙ ，ｅｚ）
（４）
ｅ·ｚ ＝μｓｅｘ －μｅｚ －ｕ３（ｅｘ ，ｅｙ ，ｅｚ）
式中：ｆ′（ξ）ｅｘ ＝ｆ（ｘｄ）－ｆ（ｘｒ），ｇ′（η）ｅｘ ＝ｇ（ｘｄ）
Ｇｌｏｂａｌ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ ｎｅｕｒｏｎ ｍｏｄｅｌ
ＪＩＡ Ｑｉｕ－ｊｕ，ＣＨＥＮ Ｚｅｎｇ－ｑｉａｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｎａｎｋａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３０００７１，Ｃｈｉｎａ）
第 ４１ 卷 增 刊 １ ２０１１ 年 ７ 月
吉 林 大 学 学 报 （工 学 版 ）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ．４１ Ｓｕｐ．１ Ｊｕｌｙ ２０１１
Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ神经元全局指数同步
时，选择ａ＝１，ｂ＝３，ｃ＝１，ｄ＝５，ｓ＝４，ｘｒｅｓｔ＝－１．６，
（ｂ）Ｉ＝３．２９ 图 １ Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ模 型 时 间 序 列 和 相 空 间 图 Ｆｉｇ．１ Ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｐｈａｓｅ
ｐｌｏｔ ｏｆ ２－ｘｐｌａｎｅ
系 统 （１）作 为 驱 动 系 统 可 以 写 成 如 下 形 式 ：
ｘ·ｄ＝ｙｄ＋ｆ（ｘｄ）－ｚｄ＋Ｉ ｙ·ｄ＝ｇ（ｘｄ）－ｙｄ
Biblioteka Baidu（２）
ｚ·ｄ＝μ［ｓ（ｘｄ－ｘｒｅｓｔ）－ｚｄ］ 响应系统可以写成如下形式：
ｘ·ｒ＝ｙｒ＋ｆ（ｘｒ）－ｚｒ＋Ｉ＋μ１（ｘｄ－
ｘｒ，ｙｄ－ｙｒ，ｚｄ－ｚｒ）
ｙ·ｒ＝ｇ（ｘｒ）－ｙｒ＋ｕ２（ｘｄ－ ｘｒ，ｙｄ－ｙｒ，ｚｄ－ｚｒ）
Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｈｅｎｚｑ＠ｎａｎｋａｉ．ｅｄｕ．ｃｎ
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吉 林 大 学 学 报 （工 学 版 ）
第 ４１ 卷
一个耦合网络完 全 同 步 的 稳 定 性 标 准，即 主 稳 定 函数法。通过该方法实现存在时间延迟的耦合网 络 的 同 步 必 须 计 算 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 指 数［８］。Ｌü 等［９］ 利用渐近稳定 性 理 论 研 究 了 耦 合 的 Ｌｏｚｒｅｎ 系 统 的同步不 稳 定 性，基 于 Ｒｏｕｔｈ－Ｈｕｒｗｉｚ准 则 提 出 了一个同不稳定性的充分条件非必要条件。于洪 洁等 基 ［１０］ 于稳定性准则的 混 沌 同 步 的 方 法，给 出 计算同步稳定性 的 误 差 发 展 方 程，但 是 只 有 在 耦 合强度取其给定 的 参 考 值 时，才 不 需 要 计 算 最 大 条件 Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数。
Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ（ＨＲ）模 型，经 研 究 者 在 此 基 础
上讨论，ＨＲ 模型可以写为［１３］
ｘ· ＝ｙ＋ｆ（ｘ）－ｚ＋Ｉ ｙ· ＝ｇ（ｘ）－ｙ
（１）
ｚ· ＝μ［ｓ（ｘ－ｘｒｅｓｔ）－ｚ］
式中：ｆ（ｘ）＝－ａｘ３＋ｂｘ２；ｇ（ｘ）＝ｃ－ｄｘ２；ｘ 为 神
经元的膜电位；ｙ 为 与 恢 复 变 量（Ｎａ＋ 或 Ｋ＋ 通 道
从一 般 的 角 度 看，同 步 是 状 态 变 量、频 率、多 个 系 统（神经元）之间 动 态 过 程 的 关 系，随 着 动 力 学 的 发展，同步还 包 含 混 沌 振 荡 器 部 分 。 ［５］ 同 步 可 分 为完全同步、相位同步和广义同步３类 。 ［６］ 目 前， 有 很 多 控 制 方 法 、控 制 策 略 可 以 使 参 数 完 全 相 同 、 初始值不同的神经元网络达到完全同步。
（３）
ｚ·ｒ＝μ［ｓ（ｘｒ－ｘｒｅｓｔ）－ｚｒ］＋ｕ３（ｘｄ－
ｘｒ，ｙｄ－ｙｒ，ｚｄ－ｚｒ）
式中：ｕｉ 为线 性 或 非 线 性 连 续 函 数，ｕｉ（０，０，０）＝
０，ｉ＝１，２，３。
增刊１
贾 秋 菊 ，等 ：Ｈｉｎｄｍａｒｓｈ－Ｒｏｓｅ神 经 元 全 局 指 数 同 步
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令ｅｘ＝ｘｄ－ｘｒ，ｅｙ ＝ｙｄ－ｙｒ，ｅｚ＝ｚｄ－ｚｒ，那 么
－ｇ（ｘｒ），ｆ′（ξ）＝ －３ａξ２ ＋２ｂξ，ｇ′（η）＝ －２ｄη，
ξ和η 在ｘｄ 和 ｘｒ 之 间。 由 于 膜 电 位 的 实 际 可 测
性，可知ξ、η 是有界的，且ｙ、ｚ 可以通过合适的估 计器 估 ［１４］ 计出来，因此该控制方法是可行的。
定 义 １ 任 意 给 定 系 统 （２）初 始 值 （ｘｄ（ｔ０ ），ｙｄ （ｔ０），ｚｄ（ｔ０）），系 统 （３）的 初 始 值 （ｘｒ（ｔ０），ｙｒ（ｔ０ ），ｚｒ （ｔ０）），如 果 式 （４）的 零 解 满 足 如 下 不 等 式 ：