19种QC统计工具精讲案例-层次分析法

19种质量管理小组活动常用统计方法

层次分析法

（一）范围：专业室、专业部门和班组。

（二）作用：对班组建设指标进行测定、评估，判断指标是否发生异常，并采取必要的措施加以消除异常，保持指标稳定。

（三）推荐：适用于因素分析。

（四）方法：

层次分析法是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。即是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。

1.层次分析法的基本性质

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于

具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值，及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。

2.层次分析法的使用步骤

（1）建立递阶层次结构；

（2）构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）

层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方案的相应重要性程度等级。对某一准则，各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵A，即为正互反矩阵，称作判断矩阵。

其中

为判别矩阵，

，要素与要素重要性比较结果，并且有如下关系：

有9种取值，分别为1/9, 1/7, 1/5, 1/3, 1/1, 3/1, 5/1, 7/1, 9/1,分别表示要素对于要素的重要程度由轻到重。表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。

表19-1比例标度表

（3）针对某一个标准，计算各备选元素的权重；

关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。

①几何平均法（根法）

计算矩阵A各行各个元素的乘积，得到一个n行一列的矩阵B；

计算矩阵每个元素的n次方根得到矩阵C；

对矩阵C进行归一化处理得到矩阵D；

该矩阵D即为所求权重向量。

②规范列平均法（和法）

矩阵A每一列归一化得到矩阵B；

将矩阵B每一行元素的平均值得到一个一列n行的矩阵C；

矩阵C即为所求权重向量。

（4）一致性检验。

当判断矩阵的阶数n时，通常难于构造出满足一致性的矩阵来。但判断矩阵偏离，一致性条件又应有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别，这就是一致性检验的内涵。

一致性矩阵A具有下列简单性质:

①rank（A）=1且存在唯一的非零特征值λmax=n,其对应的特征向量归一化后记为w ，叫做权重向量；

②A的列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量；

③A的任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量；

④对A的全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向量。

因此，对于构造出的判断矩阵，就可以求出最大特征值所对应的特征向量，然后归一化后作为权值。根据上述定理中的性质2和性质4即得到判断矩阵满足一致性的条件下求取权值的方法，分别称为和法和根法。而当判断矩阵不满足一致性时，用和法和根法计算权重向量则很不精确。

定理:设λmax是正互反矩阵A的最大特征值，则必有λmax=n,其中等式当且仅当时，A为一致性矩阵成立。

应用上面的定理，则可以根据λmax=n是否成立来检验矩阵的一致性，如果λmax比n大得越多，则A的非一致性程度就越严重。因此，定义一致性指标。

A.C I越小，说明一致性越大。考虑到一致性的偏离可能是由

于随机原因造成的，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将C I和平均随机一致性指标RI进行比较，得出检验系数C R。

B.如果C R<0.1 ，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。

其中，随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，其对应关系如下表:

平均随机一致性指标RI标准值(不同的标准不同，RI的值也

（五）范例

将公司同业对标各指标体系（含权重）使用层次分析法进行解析如下：

下图以市公司班组对标运维检修模块为例：

图19-1 层次分析法示意图