对数形式的复合函数

兴义市天赋中学数学必修一教案：

2.8.3 对数形式的复合函数

教学目的：

1．掌握对数形式的复合函数单调性的判断及证明方法；

2．渗透应用意识培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力3.培养学生的数学应用意识.

教学重点：函数单调性证明通法

教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．判断及证明函数单调性的基本步骤：假设—作差—变形—判断

二、新授内容：

例1 ⑴证明函数)1(log )(2

2+=x x f 在),0(+∞上是增函数 ⑵函数)1(log )(2

2+=x x f 在)0,(-∞上是减函数还是增函数？

⑴证明：设),0(,21+∞∈x x ，且21x x <

则)1(log )1(log )()(22221221+-+=-x x x f x f 102

22121+<+∴<

22212+<+x x 即)()(21x f x f < ∴函数)1(log )(22+=x x f 在),0(+∞上是增函数 ⑵解：是减函数，证明如下：

设)0,(,21-∞∈x x ，且21x x <

则)1(log )1(log )()(2

2221221+-+=-x x x f x f 110222121+>+∴<

又x y 2log = 在),0(+∞上是增函数

∴)1(log )1(log 2

22212+>+x x 即)()(21x f x f > ∴函数)1(log )(22+=x x f 在)0,(-∞上是减函数小结：复合函数的单调性

)(),(x g x f 的单调相同，))((x g f y =为增函数，否则为减函数例2 求函数)32(log 2

1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>?>--x x x x 或

单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且则 )32(log 121211--=x x y )32(log 22

2212--=x x y

---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x

∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x

∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数12

10<<

∴012<-y y 即 12y y <

∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数

三、练习：

1.求y=3.0log (2

x -2x)的单调递减区间解：先求定义域：由2x -2x ＞0,得x(x-2)＞0

∴x ＜0或x ＞2

∵函数y=3.0log t 是减函数

故所求单调减区间即t=2x -2x 在定义域内的增区间

又t=2

x -2x 的对称轴为x=1

∴所求单调递减区间为（2，+∞） 2.求函数y=2log (2

x -4x)的单调递增区间解：先求定义域：由2x -4x ＞0得x(x-4)＞0

∴x ＜0或x ＞4

又函数y=2log t 是增函数

故所求单调递增区间为t=2x -4x 在定义域内的单调递增区间 ∵t=2

x -4x 的对称轴为x=2

∴所求单调递增区间为：（4，+∞） 3.已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1

当a ＞1时，函数t=2-x a >0是减函数

由y=a log (2-x a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1

由x ∈［0，1］时，2-x a ≥2-a ＞0,得a ＜2,

∴1＜a ＜2

当0

a >0是增函数由y=a log (2-x

a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0

a ≥2-1＞0, ∴0

综上述，0

四、小结本节课学习了以下内容：对数复合函数单调性的判断

五、课后作业：

（1）证明函数y=21log (2

x +1)在（0，+∞）上是减函数；

（2）判断函数y=21log （2

x +1)在（-∞,0）上是增减性.

∴函数)1(log )(22+=x x f 在),0(+∞上是增函数

证明：（1）设),0(,21+∞∈x x ，且21x x <,则

)1(log )1(log )()(2

221212121+-+=-x x x f x f

1102

22121+<+∴<

1+>+x x 即)()(21x f x f >

∴函数y=2

1log (2x +1)在（0，+∞）上是减函数（2）设)0,(,21-∞∈x x ，且21x x <,则

)1(log )1(log )()(2

221212121+-+=-x x x f x f

1102

22121+>+∴<

2212121+<+x x 即)()(21x f x f <

∴y=2

1log (2x +1)在（-∞，0）上是增函数

六、板书设计（略）

七、课后记：

对数函数中的复合函数问题

对数函数中的复合函数问题教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。教学过程：先复习对数函数以及性质。下面我们来做几道例题。我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。下面就先来看这么一道题例1的单调递增区间是（）。 A. B. C. D. 分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。对于该二次函数进行配方4 9)21(222-+=-+x x x ，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x 小于－1/2时为单调递减，x 大于－1/2时为单调递增。那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说即x<-2 或x>1综上所述，我们应该选择A 。一般化：对于类似与上面这题的复合函数的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。抛物线与x 轴有两个交点抛物线与x 轴只有一个交点抛物线与x 轴没有交点利用几何画板作图探究并验证：（略）

例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，可以看出可见值域并非为R，说明上述解答有误。要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。故实数a的取值范围为。我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：例3若，且，求的最值。分析：先整理，可得：而。这道题要注意对数的计算，通过配方求出最值。例4若有两个小于1的正根，且，求实数的取值范围。分析：先化简函数方程。，由于形式有点复杂，可作代换，（）。

对数函数知识点总结(供参考)

对数函数（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ○3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．对数函数·例题解析例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =；（2）)4(log x y a -=；（3）)9(log 2 x y a -=．

专题02 指数型与对数型复合函数的性质(分层训练)学生版

专题02 指数型与对数型复合函数的性质 A 组基础巩固 1．下列结论正确的是（） 1 =- B.lg(25)1+= C.1 3 83 272- ?? = ? ?? D.24log 3log 6= 2.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠图像恒过定点P ,则P 坐标是（） A.)0,3( B.4,0（） C.(3,1) D.(4,1) 3.已知函数3log 2,0, ()1,0,3x x x f x x ->?? =???≤? ??? ?则((2))f f -的值为（） A.4- B.2- C.0 D. 2 4.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( ) A ．) 31 (log ) 3 () 3 (24334 f f f >>- - B ．)3()3()3 1 (log 34 432-->>f f f C ．) 3()3()31(log 43 34 2-->>f f f D ．)3 1 (log ) 3 () 3 (23443f f f >>- - 5.已知14 e a - =，ln0.9b =，1 e 1 log c π =，则（） A.a b c << B.c b a << C.a c b << D.b a c << 6．下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（） A ．()2log 5y x =+ B ．13x y ??= ?? ? C ．y = D ．1y x x = - 7．已知2 3a = ，23 23b ??= ???，2 32323c ?? ??? ??= ??? ，则（） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b << 8．设31log 5a =，131log 5b =，153c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>

指数、对数函数基本知识点

基本初等函数知识点知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1)(2)(3) 知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2.指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数

函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式，，. 3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘： ④⑤ ⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象

对数函数知识点及典型例题讲解

对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1）（2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1.

（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有

基本初等函数I知识点总结

第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上， )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为．底．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log —对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． ◆ 指数式与对数式的互化幂值真数＝ b

复合函数习题及答案

复合函数练习题 1、已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域（）。析：由已知，]1,1[]1,1[],1,0[2--∈∈。所以所求定义域为故x x 2、已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域（）析：]5,1[)(],5,1[23],1,1[的定义域为从而的范围为那么的范围为由已知x f x x -- 3、已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域（）。析：)23,1()1,21(),2,1(12)12(),2,1()()2(?-∈∈--+x x x f x f x f 解得的定义域应满足则求的定义域为的定义域可知由 4、设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（） A. ()()4,00,4Y - B. ()()4,11,4Y -- C. ()()2,11,2Y -- D. ()()4,22,4Y -- 析：?? ???????--∈>-<<<-<<-<<<<->-+>-+B ),4,1()1,4(,1144,222222-.22,0)2)(2(022选综上或解得那么由题意应有得，即由已知，x x x x x x x x x x x 5．函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（） A ．（－∞，1） B ．（2，＋∞） C ．（－∞，23） D ．（2 3，＋∞）析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。 B ),2(,2 32312 10). ,2()1,(,02322为增函数，所以选择上在的定义域内，在函数，其对称轴为区间。内函数为函数的增的减区间，只需要求内求为底，故为减函数。则由于外函数是以得定义域为应先求定义域，即对于对数型复合函数，+∞=+-=<<+∞?-∞>+-t y x x x t y x x 6．找出下列函数的单调区间. （1）)1(232>=++-a a y x x ；解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。

对数函数的图像与性质知识点与习题

对数函数的图像与性质知识点与习题一、知识回顾： 1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，其图象关于直线x y =对称二、例题与习题 1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __； 2. 已知函数=-=+-=)(,2 1 )(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.04 1 log 2 12≤-x ，则________∈x 4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a

5.若函数m y x +=+-1 2 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）（A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m 6．函数x x f a )1(2log )(-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 7．若13 2 log >a ，则a 的取值范围是 8.已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g 9．方程lgx -x ＋1＝0的实数解有______个． 10.)2lg(2 x x y +-=的递增区间为___________ ，值域为 . 11.求)1,0() (log ≠>-=a a a a y x a 的定义域。 12.已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。 13．已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且，（1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性；（2）若不等式2|)(|

高中数学-指数函数对数函数知识点

指数函数、对数函数知识点知识点内容典型题整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近；当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2

10基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结一、指数函数的概念（1）、指数函数的定义一般地，函数x y a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。（2）、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数0a >且1a ≠的前提下，x R ∈。（3）、指数函数x y a =（0a >且1a ≠）解析式的结构特征 1、底数：大于0且不等于1的常数。 2、指数：自变量x 。 3、系数：1。二、指数函数的图象与性质一般地，指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象与性质如下表：三、幂的大小比较方法比较幂的大小常用方法有：（1）、比差（商）法；（2）、函数单调性法；（3）、中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。四、底数对指数函数图象的影响（1）、对函数值变化快慢的影响 1、当底数1a >时，指数函数x y a =是R 上的增函数，且当0x >时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快。 2、当底数01a <<时，指数函数x y a =是R 上的减函数，且当0x <时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，说明其函数值减小得越快。（2）、对函数图象变化的影响

指数函数x y a =与x y b =的图象的特点： 1、1a b >>时，当0x <时，总有01x x a b <<<；当0x =时，总有1x x a b ==；当 0x >时，总有1x x a b >>。 2、01a b <<<时，当0x <时，总有1x x a b >>；当0x =时，总有1x x a b ==；当 0x >时，总有01x x a b <<<。五、对数的概念（1）、对数：一般地，如果x a N =（0a >，且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。（2）、常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数10log N 简记为lg N 。（3）、自然对数：我们通常把以无理数e （ 2.71828e =）为底的对数称为自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N 简记为ln N 。六、对数的基本性质根据对数的定义，对数log a N （0a >，1a ≠）具有如下性质： 1、0和负数没有对数，即0N >； 2、1的对数是0，即log 10a =； 3、底数的对数等于1，即log 1a a =； 4、对数恒等式：如果把b a N =中的b 写成log a N ，则log a N a N =。七、对数运算性质如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，那么（1）、()log log log a a a MN M N =+；（2）、log log log a a a M M N N =-；（3）、log log n a a M n M =（n R ∈）。八、换底公式

高一数学必修一对数及对数函数知识点总结

高一数学必修一对数及对数函数知识点总结数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及对数函数知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。对数定义如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。注： 1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。对数公式 0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。/p p其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，

同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。定点：函数图像恒过定点(1，0)。单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数周期性：不是周期函数对称性：无最值：无零点：x=1 注意：负数和0没有对数。两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼

高中数学】含指、对数式的复合函数问题(解析版)

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突破4 含指、对数式的复合函数问题【举一反三系列】【考查角度1奇偶性问题】方法导入一般利用奇偶性的定义进行判断. 步骤第1步：求定义域，并判断定义域是否关于原点对称；第2步：验证f(-x)与f(x)的关系；第3步：得出结论. 反思若定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数.【例1】（2018秋?和平区期中）设f（x ）＝判断函数f（x）的奇偶性. 【分析】利用奇偶性定义判断；【答案】解：（1）根据题意，f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝＝f（x），

则函数f（x）为偶函数；【点睛】本题考查函数的奇偶性的判定，关键是在掌握函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【练1.1】已知函数f（x）＝log2（），（b≠0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，构造不等式，对b值分类讨论，可得不同情况下函数的定义域；（2）根据奇函数的定义，可判断出函数f（x）为奇函数，【答案】解：（1）当b＜0时，由＞0得：x∈（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），当b＞0时，由＞0得：x∈（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，又由f（﹣x）＝log2（）＝log2（）＝﹣log2（）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．【练1.2】（2019春?福田区校级月考）已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m m n a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --?? =?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，即：若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若0>a 则0>n a ，若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作： n a - ；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164 ±=± ） ③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根； ④()*∈>=N n n n ,100 0=； ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =．． 4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =；若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）()33 8- （2）() 2 10- （3）()44 3π- （4）例2．已知,0<N n n ,1，化简：()()n n n n b a b a ++ -．（二）分数指数幂

对数型复合函数的单调区间选择题(3)

1．已知函数()3 1x x f x e x e ??=- ?? ? ，若实数a 满足，()()()20.5log log 21f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1, 2,2??-∞+∞ ??? B ．[)1,2,2??-∞+∞ ??? C ．1,22????? ? D ．1,22?? ??? 答案： C 解答： ()()f x f x -=故函数为偶函数，()()()()20.52log log 2log 21f a f a f a f +=≤，即()()2log 1f a f ≤，故21log 1a -≤≤，解得1,22a ??∈???? . 2．如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有1122()() x f x x f x +1221()()x f x x f x >+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；② 32(sin cos )y x x x =--；③1x y e =+；④()ln ||0 0x x f x x ≠?=?=?，其中“H 函数”的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案： C 解答： ∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式1122()()x f x x f x +1221()()x f x x f x >+恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x -->????恒成立，即函数f(x)是定义在R 上的增函数． ①31y x x =-++；'2 31y x =-+，则函数在定义域上不单调； ②32(sin cos )y x x x =--；y'=3-2(cosx+sinx)=3-sin(x+ 4 π )＞0，函数单调递增，满足

对数型复合函数的单调区间解答题(2)

1．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =． (1)求a 的值及()f x 的定义域； (2)求()f x 在区间答案：解答： (1)∵(1)2f =，∴log 42(0,1)a a a =>≠，∴2a =．由10,30, x x +>??->?得(1,3)x ∈-，∴函数()f x 的定义域为(1,3)-． (2)2 2222()log (1)log (3)log (1)(3)log [(1)4]f x x x x x x =++-=+-=--+， ∴当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数．函数()f x 在上的最大值是2(1)log 42f ==，函数()f x 在 ∴()f x 在区间 2 (1)当5a =时，求函数()f x 的定义域； (2)当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．答案： 11,2??? +∞? ???? (2)(),4-∞. 解答： (1)当5a =时，要使函数()f x 有意义，

当1x ≤时，不等式①等价于210x -+>，即当15x <≤时，不等式①等价于10->，∴无解；当5x >时，不等式①等价于2110x ->，即综上，函数()f x 的定义域为11,2??? +∞? ???? (2)∵函数()f x 的定义域为R ，∴不等式1x -+ 当且仅当()()150x x --≥时取等号) a 的取值范围是(),4-∞. 考点：1.含绝对值不等式的解法；2.不等式的恒成立的问题. 3，且当(],1x ∈-∞时()f x 有意义，求实数a 的取值范围．答案：解答：欲使(),1x ∈-∞时，()f x 有意义，需1240x x a ++>恒成立， (1x ≤)恒成立．在(),1-∞上是增函数， ∴当1x =时，时，满足题意，即a 的取值范围为 4(0a >且1a ≠)在()1,+∞上的单调性，并予以证明．答案：当1a >时，()f x 在()1,+∞上为减函数；当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上为增函数．解答：

对数型复合函数的单调区间解答题(3)

1．已知2 0.5()log ()f x x mx m =--． (1)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围； (2)若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围．答案： (1)0m ≥或4m ≤-；解答： (1)∵()f x 值域为R ，令2()g x x mx m =--，则()g x 取遍所有的正数，2 40,0m m m ∴?=+≥∴≥或4m ≤-； (2) 2．已知函数9()log (91)()x f x kx k R =++∈是偶函数. (1)求k 的值； (2)的图象与()f x 的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围. 答案： (2){3}(1,)-+∞. 解答：令3x t =，则(0,)t ∈+∞，有且只有一个正实根t ，

当10a -≠时，若0?=，则3a =-或时，根20t =-<，舍去.3a =-时，根为若0?>，则120t t <，解得1a >，从而所求a 的范围是{3} (1,)-+∞. 考点：函数的奇偶性，换元法，一元二次方程根的分布． 3. (1)求m 的值，并求f (x)的定义域； (2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明； (3)是否存在实数λ,使得不等式若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在, 请说明理由. 答案： (1))1,1(-； (2))(x f 在定义域内单调递增； (3) 解答： (1)为奇函数，)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立， 111-==-=∴m m m （舍去），即或，故函数的定义域是)1,1(-；，任取1121<<<-x x ，

对数函数知识点总结

对数函数知识点一：对数函数的概念 1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是（0， +∞），值域为),(+∞-∞.它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数．注意： ○ 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 两个常用对数： (1)常用对数简记为: lgN （以10为底） (2)自然对数简记为: lnN （以e 为底）例1、求下列函数的定义域、值域： (1)4 121 2 - = --x y ( 2))52(log 2 2++=x x y (3))54(log 2 3 1++-=x x y (4))(log 2x x y a --= 知识点二：对数函数的图象方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。同样：也分1>a 与10<

（3） x y 3log =（4） x y 3 1log = 思考：函数x y 2log =与y =3log x 与y 对函数的相同性质和不同性质. 相同性质：不同性质：例2、作出下列对数函数的图象：知识点三：对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．思考：底数a 是如何影响函数 x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．例3、比较下列各组数中两个值的大小：