对数型复合函数的单调性

对数型复合函数的单调性高考数学左老师2017-08-27 07:31

有一类所谓的复合函数问题，尤其令人挠头.示例如下：

你听过复合材料，复合型人才，什么叫“复合函数”呢？以本题为例，函数f(x)是对数函数吗？

不是，只是有点像.

是二次函数吗？

也不是.

我们无法把它归为学过的基本函数之一.但是，它和我们学过的对数函数、二次函数有部分相似的地方.

通俗地讲，u是一座桥梁，或者说是一个中间人，通过它，y和x建立了对应关系.

把一个复杂的函数看成由两个简单函数复合而成（本题对数函数和二次函数都是我们熟悉的，方便研究它们的性质），体现了数学的转化与化归思想----即把一个陌生的问题转化为熟悉的问题来处理.

下面给出复合函数的高大上的定义.

比如，上面这个例子

童鞋们比较困惑的可能是内层函数、外层函数、复合函数的自变量、函数值是一样的吗？

细心的读者一定会发现：u充当了外层函数的自变量，也充当了内层函数的函数

值.

为了解决本题，需要说说复合函数的单调性规律，这就是大家熟知的“同增异减”

规律.

也就是说，如果外层函数和内层函数单调性相同，则原函数单调递增；

如果外层函数和内层函数单调性相反，则原函数单调递减.(为表述简洁，单调性的描述没有说“在某某区间上”，童鞋们自己要体会到)

我把这个规律概括为“家和万事兴”--------内层、外层都是家庭的成员，不在乎它们自个儿是升迁还是降职，只要意见一致，保持团结，这个家庭就是蒸蒸日上的.

回到本题.

外层函数是对数函数，单调性由a确定，a与1的大小关系未知，需要分类讨论.

内层函数是二次函数，单调性由开口方向、对称轴和定义域共同决定，也需要分类讨论.

画出内层函数的草图，研究其为增函数的条件.

仅仅这样还是不够的.这里的易错点在于，容易忽略外层函数定义域的要求，即必须保证u>0.

再次强调，不要忽略真数部分恒为正数的前提条件.

下面讨论0

答案选B.

小结：对数型复合函数单调性处理办法

把复合函数拆为常见函数，熟悉常见函数的单调性规律；单调性规律：同增异减，也称为“家和万事兴”；

必须确保真数部分始终为正数.