对数型复合函数的单调区间解答题(3)

1．已知2

0.5()log ()f x x mx m =--．

(1)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；

(2)若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围． 答案：

(1)0m ≥或4m ≤-；

解答：

(1)∵()f x 值域为R ，令2()g x x mx m =--，

则()g x 取遍所有的正数，2

40,0m m m ∴∆=+≥∴≥或4m ≤-；

(2)

2．已知函数9()log (91)()x

f x kx k R =++∈是偶函数.

(1)求k 的值；

(2)的图象与()f x 的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围.

答案： (2){3}(1,)-+∞.

解答：

令3x t =，则(0,)t ∈+∞，

有且只有一个正实根t ，

当10a -≠时，若0∆=，则3a =-或 时，根20t =-<，舍去.3a =-时，根为 若0∆>，则120t t <，解得1a >， 从而所求a 的范围是{3}

(1,)-+∞.

考点：函数的奇偶性，换元法，一元二次方程根的分布．

3. (1)求m 的值，并求f (x)的定义域； (2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明；

(3)是否存在实数λ,使得不等式

若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,

请说明理由. 答案： (1))1,1(-；

(2))(x f 在定义域内单调递增；

(3)

解答：

(1)为奇函数，)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立，

111-==-=∴m m m （舍去），即或，

故函数的定义域是)1,1(-； ，任取1121<<<-x x ，

∵1121<<<

-x x ，0)()(21<-x u x u ，∴)(lg )(lg 21x u x u >，

),()(21x f x f <∴即)(x f 在定义域内单调递增；

由(1)，(2)知

当θ=0时成立； sinθ=t,

4

(1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)当时，求函数的最小值；

(3)是否存在非负实数m 、n,

的定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，

若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．

答案：

(3)2,0==n m ．

2(2)g mx x m ++R m []1,1x ∈-[]2

()2()3y f x af x =-+)(a h m n

解答：

令 ,当,的定义域为，不成立； 当，R ，

∴，解得，综上所述，

，

对称轴为，当 时，a t =时，()2min 3a y a h -==； 当2>a 时，2=t 时，()a y a h 47min -==．

由题意，知⎩

⎨⎧==n n m m 2222解得⎩⎨⎧==20

n m ，

∴存在2,0==n m ，使得函数的定义域为，值域为．

m x mx u ++=22时0=m x u 2=）

，（∞+0时0≠m ⎩⎨⎧<-=∆>0

440

2

m m 1>m 1>m ]1,1[-∈x a t =]2,0[]4,0[

5(0>a ，1≠a )． (1)当1>a 时，讨论()f x 的奇偶性，并证明函数()f x 在()1,+∞上为单调递减； (2)当(),2∈-x n a 时，是否存在实数a 和n ，使得函数()f x 的值域为()1,+∞，若存在，求出实数a 与n 的值，若不存在，说明理由． 答案：

(1)奇函数，证明见解答：；

解答：

(1)()f x 的定义域为{}|11x x x ><-或关于原点对称， ，∴()f x 为奇函数， 法1：当1a >时，设121x x <<，则

()(()(11

11x x +-

又1a >，，()()12f x f x ∴>，

∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 法2：当1a >时，设121x x <<，令

，所以12log log a a t t >，

∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 (2)

，(),2∈-x n a

①当1a >时，要使()f x 的值域为(1,)+∞，则须(,)t a ∈+∞，

②当01a <<时，(0,)t a ∈，则

，当(),2∈-x n a 时，函数()f x 的值域为()1,+∞．

6．已知函数()2log 1f x x =-的定义域为[]1,16，函数()()()

2

2

2g x f x af x =++⎡⎤⎣⎦

． (1)求函数()y g x =的定义域； (2)求函数()y g x =的最小值；

(3)若函数()y g x =的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围． 答案： (1)[]1,4；

(2)()2min

3-,1

2,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪

=-++-<<⎨⎪+≤-⎩

； (3)()1,3a ∈-． 解答：

(1)2

116116

x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，14x ∴≤≤，即函数()y g x =的定义域为[]1,4． (2)()()()

()2

22

222log 22log 3g x f x af x x a x a =++=+--+⎡⎤⎣⎦．

令[]2log ,0,2t x t =∈，则()()2

2222212y t a t a t a a a =+--+=---++⎡⎤⎣⎦．

当1a ≥时，y 在[]0,2上是增函数，所有min 0,3t y a ==-； 当-11a <<时，y 在[]0,1a -上是减函数，[]1,2a -上是增函数，

所有2

min 1,2t a y a a =-=-++；

当1a ≤-时，y 在[]0,2上是减函数，所有min 2,33t y a ==+．