简易逻辑教学案(老师篇)

简易逻辑

〖课标要求〗了解命题的概念和命题的构成；掌握简单逻辑连接词“或”“且”“非”的含义；、能判断简单

命题与复合命题的真假（由真值表判断复合命题的真假）、掌握四种命题的关系、掌握充要条

件的判断、理解反证法的理论依据并且会用反证法证明数学命题一定需要注意

〖知识梳理〗

命题与逻辑连接词；

1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题．

其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题

2．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；

3．不含逻辑联结词的命题称为简单命题_；有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，

该写成“若p ，则q ”的形式；

4．含有逻辑联结词的命题称为__复合命题，复合命题有三种形式p 且q 、p 或q 、非p

对一个命题p 的全盘否定, 就得到一个新的命题, 记作__⌝p _，读作非p __

通常复合命题的否定

“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、 “p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、

“全为”的否定是“不全为”、 “都是”的否定为“不都是”等等

5．三种复合命题的真值表：

（1）“p 且q ”： 一假即假（2）“p 或q ”： 一真即真（3）“非p ”： 真假相反

6．短语“_对所有的”、“对任意一个” 逻辑中称为全称量词，并用符号“___∀__” 表示。

7．短语“存在一个”、“_至少有一个” 逻辑中称为存在量词，并用符号“∃” 表示。

8．含有全称量词的命题称为全称命题__；含有存在量词的命题称为__特称命题__.

9．全称命题形式：,()x M p x ∀∈；特称命题形式：,()x M p x ∃∈。 其中M 为给定的集合，

特别提醒：

全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：,()x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为特称命题

特称命题p ：,()x M p x ∃∈的否定⌝p ：,()x M p x ∀∈⌝；特称命题的否定为全称命题

其中p(x)是一个关于x 的命题。

10、四种命题及关系；

（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_

和条件_，那么这两个命题叫互逆命题.

（2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定

和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题.

（3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_

和_条件的否定_____，那么这两个命题叫互否命题.

特别提醒：可以发现：

（1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：

（2）互为逆否命题的真假性是一致

的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系.

一般地，把条件p 的否定和结论q 的否定，分别记为“┐p ”和“┐q ”，则命题的四种形式可写为： 原命题： “若p 若q ” 逆命题： “若q 若p ”

否命题： “若 ┐p 是 ┐q ” 逆否命题： “若 ┐q 是 ┐p ”

特别提醒： 命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则 ⌝q ”

11．充要条件；

判断方法：（1）定义法：

① p 是q 的充分不必要条件⇔p q p q ⇒⎧⎨⇐/⎩ ② p 是q 的必要不充分条件⇔p q p q ⇒⎧/⎨⇐⎩

③ p 是q 的充要条件⇔p q q p ⇒⎧⎨⇒⎩ ④ p 是q 的既不充分也不必要条件⇔p q p q ⇒⎧/⎨⇐

/⎩ 如果“若p 则q ”为真, 记为,p q ⇒, 如果“若p 则q ”为假, 记为p q ⇒/.

若,p q ⇒则p 是q 的充分, q 是p 的必要___

（2）集合法： 设P={p }, Q={q },

① 若__ P Q, 则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.

② 若__ P=Q __，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.

③ 若______ P

Q 且Q P _______， 则p 是q 的既不充分也不必要条件.

（3） 逆否命题法：

①⌝q 是⌝p 的充分条件不必要条件⇔p 是q 的___充分条件不必要条件_

②⌝q 是⌝p 的必要条件不充分条件⇔p 是q 的___充分条件不必要条件

③⌝q 是⌝p 的充分要条件⇔p 是q 的____充要条件_____ 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p

否命题 若非p 则非q 逆否命题 若非q 则非p 互逆 互 互

互 为 为 互

否 逆 逆 否

否 否 互逆

④⌝q 是⌝p 的既不充分条件与不必要条件⇔p 是q 的__既不充分条件与不必要条件_

特别提醒：

1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更方便快捷, 设P={p}, Q={q},

① 若p 是q 的充分不必要条件，则P Q ② 若q 是p 的必要不充分条件，则P Q

③ 若P=Q ，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.

④ 若P Q 且Q P ， 则p 是q 的既不充分也不必要条件.

2、 证明p 是q 的充要条件，既要证“p q ⇒”，又要证“q p ⇒”，前者证明的是充分性；，后者证明的必要性.

12. 用反证法证明的一般步骤是：

(1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2) 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3) 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

特别提醒：

1、适宜用反证法证明的数学命题：

(1) 结论本身以否定形式出现的命题.

(2)关于唯一性、存在性的的命题.

(3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题.

(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.

2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式:

(1)与定义、公理、定理矛盾.

(2)与已知条件矛盾.

(3)与假设矛盾.

(4)自相矛盾.

（三）例题分析：

考点一。逻辑联结词与四种命题

题型1。判断简单命题及真假

[例1]下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？

① 等腰直角三角形难道不是直角三角形吗？”；

②“平行于同一平面的两条直线必平行吗？”；

③“一个数不是正数就是负数”；

④“今天的天气多好啊！”；

⑤“x y +为有理数，则x 、y 也都是有理数”；

⑥ “作ABC ∆∽111A B C ∆”.