数学建模-面试最优化问题
数学建模优化类问题例子
数学建模优化类问题例子数学建模是一种解决实际问题的方法，通过数学模型对问题进行描述，运用数学方法进行分析和求解。
在优化类问题中，数学建模的目标是通过最小化或最大化某个指标来找到问题的最优解。
在以下的例子中，我将介绍几个典型的优化问题。
1.生产计划优化假设一个公司生产两种不同的产品，每个产品的成本、销售价格和市场需求都不同。
公司希望通过合理调整两种产品的生产量，以最大化利润。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每种产品的成本、销售价格和市场需求，以及公司能够生产的总产量限制。
然后，可以使用线性规划等数学方法，求解出最优的生产计划，使得公司利润最大化。
2.路线规划优化考虑一个物流公司要在不同的城市之间进行货物运输，每个城市之间的距离不同，同时还考虑到交通拥堵情况。
公司希望通过合理规划运输路线，以最小化整体运输成本和时间。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个城市之间的距离、交通拥堵情况以及运输成本。
然后，可以使用图论等数学工具，求解出最优的路线规划，使得运输成本和时间最小化。
3.资源分配优化考虑一个学校要为不同的课程安排教师以及教学资源，每个课程的需求和教学资源的供应不同。
学校希望通过合理分配教师和教学资源，以最大化学生的学习效果。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个课程的需求和教学资源的供应，以及教师的专业能力。
然后，可以使用线性规划等数学方法，求解出最优的资源分配方案，使得学生的学习效果最大化。
4.物资库存优化考虑一个零售商要管理不同种类的商品库存，每个商品的销售量和订货周期不同，同时还考虑到库存成本和仓储空间的限制。
零售商希望通过合理管理库存，以最小化库存成本和避免缺货。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个商品的销售量、订货周期以及库存成本和仓储空间的限制。
然后，可以使用动态规划等数学方法，求解出最优的库存管理方案，使得库存成本最小化同时避免缺货。
数学建模《最优化问题》
2c1 rc2
c2 c2 c3
2c1r Q rT c2
c2 c3 记 c3
不 允 许 缺 货
T T ,
Q
Q
1
T ' T , Q' Q
c3
c3 1
T T , Q Q
允许 缺货 模型
2c1 c2 c3 T rc2 c3
利润 Q=R-C=pw -C 求 t 使Q(t)最大 Q(10)=660 > 640
Q(t ) (8 gt)(80 rt ) 4t
4r 40g 2 t =10 rg
10天后出售，可多得利润20元
敏感性分析
4r 40g 2 t rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 • 设g=0.1不变
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解
dC 0 dx
求 x使 C(x)最小
b 0
c1t12 2c2t1 x 2c32
dB dt
x
t1
t2 t
结果解释
• / 是火势不继续蔓延的最少队员数
结果 解释
c1t1 2c2t1 x 2c32
允许缺货的存贮模型
当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失.
q Q r
Q rT1
t
原模型假设3：贮存量降到零 T1 B T 时Q件立即生产出来(或立即到 0 货). 现假设3：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足. 一周期 c2 贮存费 一周期 c 3 缺货费
A
T1
0
7.1
存贮模型
数学建模优化问题
6 8 i 1 j 1
约束条件： 每个货栈运往各销售点的货物总量应小于货栈的 可供应量，设货栈i的可供应量为wi，则有
x
j 1
8
ij
wi , (i 1,2, ,6)
每个销售点的需求量必须满足，设销售点j的需 求量为vj，则有
x
i 1
6
ij
v j , ( j 1,2,,8)
优化方法建模
侯为根 安徽工业大学数理学院 Email：wghou@
优化模型和算法的重要意义
最优化: 在一定条件下，寻求使目标最大(小)的决策 最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社会 生活中经常遇到的问题, 如: 结构设计 资源分配 生产计划 运输方案 解决优化问题的手段 • 经验积累，主观判断 • 作试验，比优劣 • 建立数学模型，求解最优策略 CUMCM赛题：约有一半为优化问题须用软件求解
分支定界管理程序
ILP IQP
INLP
线性规划求解程序 1、单纯形算法
非线性规划求解程序 1、顺序线性规划法 2、广义既约梯度法
2、内点算法
3、多点搜索
建模时要注意的几个基本问题
1、尽量使用实数优划，减少整数约束和整数变量
2、尽量使用光滑优划，减少非光滑约束个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量 求最大值/最小值，四舍五入，取整函数等 3、尽量使用线性模型、减少非线性约束和非线性变 量的个数 （如：x/y<5改为x<5y) 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值。 5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)。
时间增加1单位,利润增长2。 加工能力增长不影响利润。 •35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 <48,应该买！
数学建模-优化问题
f X k ，
* k X X 若满足，则停止迭代，得点 ，否则进行⑷； k k k X S f X S k 进行一维搜索， ⑷ 令 ，从 出发，沿 k k k k k min f X S f X S 即求 使得： ； k
多局部极小
搜索过程
min f ( x1 x2 ) 100( x2 x ) (1 x1 )
2 2 1
2
最优点 (1 1) 初始点 (-1 1)
x1
-1 -0.79 -0.53
x2
1 0.58
0.23 -0.18 0.00 0.09 -0.03 0.37 0.11 0.59 0.80 0.95
To Matlab(wliti2)
运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的 边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.
2、多元函数无约束优化问题
标准型为：min F(X) 命令格式为: （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （3）[x，fval]= fminunc（...）； 或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）； 或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）； 或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
数学建模学生面试问题(值得看)
单目标和多目标规划模型求解学生面式问题摘要随着高校自主招生规模的扩大，学生面试的公平性成为人们关注的焦点。
本文通过建立单目标和多目标规划模型，利用MATLAB软件和搜索算法，进行了有关招生面试问题的研究。
对于问题一，为表示面试学生和老师之间的相应关系，引入0－1变量x，ij 建立以老师数M最小为目标的0－1规划模型。
利用搜索算法，求解出考生数N 确定的情况下，满足其他约束条件的最小M值。
问题二中，将Y1、Y3、Y4看成基本约束条件下的目标函数，Y2作为约束条件，建立多目标规划模型。
运用MATLAB软件对模型进行求解，得到满足约束条件的近似最优分配方案。
问题三，增加每位学生的面试组中各有两位文理科老师的约束条件，假设前M/2个老师为文科老师，通过限制第i位学生“面试组”中前M/2个老师的个数来保证每位学生的文科和理科面试老师人数相等。
在新的约束条件下，分别对问题一、二进行重新求解，得到聘请老师数M以及老师和学生之间的面试分配方案的最优解。
最后，在问题一、二、三分析求解的基础上，本文对考生与面试老师之间分配的均匀性和面试的公平性进行了讨论，认为两者是对立统一的矛盾统一体。
为兼顾分配均匀和面试公平，本文讨论了其他影响因素，并提出了六条切实可行的建议。
另外，考虑将面试老师职称因素引入问题分析，建立新的模型。
关键词：公平师生匹配均匀分配方案1 问题重述高校自主招生是高考改革中的一项新生事物，2006年，全国具有自主招生资格的高校已由最初的22所增加到53所。
学生面试的公平性越来越引起人们和社会的高度重视。
某高校拟在全面衡量考生的高中学习成绩及综合表现后再采用专家面试的方式决定录取与否。
该校在今年自主招生中，经过初选合格进入面试的考生有N 人，拟聘请老师M人。
每位学生要分别接受4位老师的单独面试。
为了保证面试工作的公平性，组织者提出如下要求：Y1：每位老师面试的学生数量应尽量均衡；Y2：面试不同考生的“面试组”成员不能完全相同；Y3：两个考生的“面试组”中有两位或三位老师相同的情形尽量的少；Y4：被任意两位老师面试的两个学生集合中出现相同学生的人数尽量的少。
数学建模竞赛中的部分优化问题共59页文档
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
数学建模课程设计-优化问题
在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。
本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。
在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。
对于问题一：我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=151jjj py=∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO对其模型求解，得到最优解。
对于问题二：同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=151j jjkp上述模型得到最优解结果如下：关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．32 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．43 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 53.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 54 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 54.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 65 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．76 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．77 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．88、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 91、问题的重述某手机运营商准备在一个目前尚未覆盖的区域开展业务，计划投资5000万元来建设基站。
该区域由15个社区组成，有7个位置可以建设基站，每个基站只能覆盖有限个社区。
图1是该区域的示意图，每个社区简化为一个多边形，每个可以建设基站的位置已用黑点标出。
数学建模竞赛中的优化问题
个单位物资的运价x ij ；问应该怎样调运物资才能使总
运费最省。 令 x ij 表示由产地A i 向销地B j 的运量
运输问题的数学模型为：
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
s.t.
n xij ai i 1,2, , m j 1 m xij b j j 1,2, , n i 1 xij 0
c
i 1 j 1
n
n
ij
xij
n xij 1 j 1 m s.t . xij 1 i 1 xij 0,1
例4 物资运输问题
某公司要运销一种物资。该物资有甲、乙两个产地，
产量分别是2000吨、1000吨；另有A、B、C三个销
地，销量分别是1700吨、1100吨、200吨。已知该物
x11 x21 1700 x12 x22 1100 x x 200 13 23
由于x ij 是运量，不能是负数： 调运方案的总运费为： xij 0
i 1,2; j 1,2,3
z 21x11 25x12 7 x13 51x21 51x22 37x23
某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产
品，这个企业现有的生产资料是：设备18台时，
原材料A 4吨，原材料 B 12吨；已知单位产品所
需消耗生产资料及利润如下表。问应如何确定生
产计划使企业获利最多。
表1 产品 资源 设备/台时 原料A/吨 原料B/吨 甲 3 1 0 乙 2 0 2 资源量 18 4 12
数学规划
线性规划(linear programming) 是康托洛维奇1939年提出 的， 1947年（G.B.Dantzig）提出求线性规划的单纯
数学建模中的优化与控制问题
特点：线性系统 控制具有简单、 易于分析和设计 的优点，适用于 一些较为简单的
系统。
应用场景：在工程、 经济、生物等领域 中，对于一些可以 近似为线性系统的 对象，可以采用线 性系统控制方法进
行优化和控制。
局限性：线性系统 控制对于非线性系 统的描述和控制效 果有限，对于一些 复杂的系统可能需 要采用更为复杂的
特点：整数规划 问题在求解过程 中具有较高的难 度，因为整数约 束使得可行解的 范围大大缩小。
应用领域：整 数规划广泛应 用于组合优化、 生产计划、物 流运输等领域。
求解方法：常 见的整数规划 求解方法包括 穷举法、割平 面法、分支定
界法等。
数学建模中的控制 问题
定义：线性系统控 制是数学建模中的 一种重要方法，通 过建立线性方程组 来描述系统的动态 行为，并采用控制 策略对系统进行调
应用领域：生产计划、物流、金融等
求解方法：单纯形法、分解法等
定义：在数学建模中，非线性规划是寻 找一组变量的最优解，使得某个目标函 数达到最小或最大值，同时满足一系列 约束条件。
应用领域：包括但不限于金融、经济、工 程和科学计算等领域。
特点：目标函数或约束条件至少有一个是 非线性的。
求解方法：常见的求解非线性规划的方法 包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
案例背景：交通信号灯在城市交通中起着至关重要的作用，如何实现高效、合理的控制 是关键问题。
建模过程：通过建立数学模型，对交通信号灯的配时进行优化，提高道路通行效率。
控制策略：采用智能控制算法，如模糊控制、神经网络等，实现自适应调节。
案例结论：通过实际应用，证明优化后的交通信号灯控制能够有效提高道路通行效率， 减少拥堵。
数学建模中的优化与 控制问题
数学建模优化问题
•使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.
无约束最优化问题 求解无约束最优化问题的的基本思想 *无约束最优化问题的基本算法 返回
求解无约束最优化问题的基本思想
标准形式：
m f X in
X E n
其 中 f : E n E 1
m f X = m [ f X ] a i
X E n X E n
求解的基本思想 ( 以二元函数为例 )
其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部 最优解。
例 1 求 f = 2 e x s x 在 0 < x < 8 中 的 i 最 小 值 与 最 大 n 值
主程序为wliti1.m:
数学建模优化问题
一般优化问题概述
离散优化discrete optimization 或组合优化combinatorial optimization
整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数 Integer programming
✓ 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP) ✓ 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) Pure (mixed) Integer programming 一般整数规划，0-1（整数）规划 Zero-one programming
几个优化问题的数学建模
⼏个优化问题的数学建模⼏个优化问题的数学建模⼀、⼀个开放式基⾦投资问题6、模型的评价模型的主要优点是采⽤较为成熟的数学理论建⽴模型，利⽤数学软件计算，可信度⽐较⾼，便于推⼴。
主要缺点是建⽴的模型是确定的⽽不是更符合实际情况的随机型模型。
⼆、结合⼈员分配的⽣产规划问题1、问题某公司要对四种产品（P1，P2，P3，P4）在五条⽣产线（L1到L5）上的⽣产进⾏规划。
产品P1和P4的单位纯利润为7元，产品P2的单位纯利润为8元，产品P3的单位纯利润为9元。
在规划期内这五条⽣产线各⾃可以进⾏⽣产的时间长度各不相同。
L1到L5的最⼤可⽤⽣产时间分别为4500⼩时，5000⼩时，4500⼩时，1500⼩时和2500⼩时。
表1列出了在每条⽣产线上⽣产每种产品⼀个单位所需要的时间。
（1）、假设⽣产是流⽔线作业，产品P1到P4各应⽣产多少才能使总利润最⼤？（2）、如果在⽣产过程中允许在⽣产线之间进⾏⼈员转移（从⽽使⼯时也相应转移），如表2所⽰，则最⼤利润是多少？应转移多少个⼯时，如何转移？（3）、如果⽣产不是流⽔线作业，模型应如何修改？表1 单位⽣产时间表2 可以进⾏的⼈员转移2、假设（1）每条⽣产线可⽣产各种产品；（2）每个⽣产⼈员的⼯作效率相同，且熟练各条⽣产线的操作，可在各条⽣产线之间转移。
3、建模3.1、问题(1) 设每种产品必须经过5条⽣产线才能⽣产出来，产品P i 的产量为x i ,单位纯利润为r i ,在⽣产线L j 上的单位⽣产时间为d ij 。
⽣产线L j 的可⽤总⼯时数为c j ,则可得模型1：max 41i =∑r i x is.t.41i =∑d ij x i ≤c j ，j=1，2，3，4，5x i ≥0，i=1，2，3，43.2、问题(2) 设y jk 为从⽣产线L j 转移到⽣产线L k 的⼯时数，⽣产线L j 的最⼤可转移总⼯时数为b j ,j,k=1,2,3,4,5,j ≠k ，则可得模型2：max 4s.t.3.3、问题(3) 设每种产品只需在任意⼀条⽣产线上即可⽣产出来，产品P i在⽣产线L j 上的产量为x ij , i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，则只需在上述两个模型中，将⽬标函数修改为max 41i =∑51j =∑r i x ij ,将41i =∑d ij x i 修改为41i =∑d ij x ij ,其余不变。
数学建模优化类问题例子
数学建模优化类问题例子
1.最佳生产计划：有一家汽车零部件制造公司，需要决定该如何安排生产计划以最大化利润。
该公司需要考虑每个零部件的生产成本、供应链的延迟和运输成本等因素，以确定最佳的生产数量和交付时间。
2.最优投资组合：一位投资者有一定资金，希望通过合理的资产配置来最大化投资回报。
该投资者需要考虑不同资产类别的风险和回报率，并使用数学建模优化方法来确定最佳的资产配置比例。
3.旅行销售员问题：一位旅行销售员需要在多个城市之间进行访问，并希望以最小的总行驶距离完成所有访问任务。
通过使用数学建模和优化算法，销售员可以确定最佳的访问顺序，从而减少总行驶距离和时间。
4.最佳路径规划：在一个迷宫中，有一只小老鼠需要找到从起点到终点的最短路径。
通过将迷宫与数学模型相关联，可以使用图论和最短路径算法来确定小老鼠应该采取的最佳行动策略。
以上只是一些例子中的几个，实际上数学建模和优化方法可以应用于各种不同的问题领域，包括金融、物流、能源管理、医疗决策等。
通过数学建模和优化，可以帮助人们做出更明智的决策，提高效率和效果。
数学建模中的优化问题与约束条件的求解
数学建模中的优化问题与约束条件的求解在数学建模的广阔领域中，优化问题与约束条件的求解是至关重要的组成部分。
优化问题旨在寻找某种最佳的解决方案，而约束条件则限制了可行解的范围。
理解和解决这些问题对于解决实际生活中的各种复杂情况具有深远的意义。
首先，让我们明确什么是优化问题。
简单来说，优化问题就是在给定的一组条件下，寻找能够使某个目标函数达到最大值或最小值的变量取值。
例如，一家工厂在生产多种产品时，需要决定每种产品的产量，以在有限的资源和市场需求的限制下，实现利润最大化。
这里，每种产品的产量就是变量，利润就是目标函数，而资源和市场需求则构成了约束条件。
优化问题的类型多种多样。
常见的有线性规划、非线性规划、整数规划等。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的问题。
非线性规划则涉及到目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。
整数规划要求变量取整数值。
每种类型的优化问题都有其特定的求解方法和特点。
接下来谈谈约束条件。
约束条件可以分为等式约束和不等式约束。
等式约束表示某些变量之间必须满足精确的相等关系，比如在一个物理系统中，能量守恒定律就可以表示为一个等式约束。
不等式约束则限制了变量的取值范围，比如资源的有限性可能导致生产过程中对某些投入的使用不能超过一定的上限。
在实际问题中，约束条件往往是复杂且多样化的。
它们可能来自于物理规律、经济规律、技术限制、政策法规等多个方面。
例如，在交通运输规划中，道路的容量限制、车辆的速度限制等都是约束条件；在投资决策中，资金预算、风险承受能力等也是约束条件。
求解优化问题与约束条件的方法有很多。
经典的方法如单纯形法，适用于线性规划问题。
对于非线性规划问题，常用的方法有梯度下降法、牛顿法等。
此外，还有一些智能算法，如遗传算法、模拟退火算法等，它们在处理复杂的优化问题时表现出了强大的能力。
单纯形法是一种通过在可行域的顶点上进行搜索来找到最优解的方法。
它的基本思想是从一个可行解开始，通过不断地移动到相邻的顶点，逐步改进目标函数的值，直到找到最优解。
数学建模中的优化问题
奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做MS） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
1998年 A题：投资的收益和风险
全国赛二十年竞
2000年 B题：钢管的定购与运输
赛的40个赛题中
2004年 A题：奥运会临时超市网点设计 涉及优化模型的
2003年 B题：露天矿生产的车辆安排 问题有27个，占
2005年 B题：DVD在线租赁
67.5%
2006年 A题：出版社的资源配置
2006年 B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测
30
奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点： 1．根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在
出行、用餐和购物等方面所反映的规律。 2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出
行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且 出行均采取最短路径。依据1的结果，测算图2 中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。 3．如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给 出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每 个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三 个基本要求。 4．阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴 近实际的。
20
奥运会临时超市网点设计
数学建模-优化题目[精华]
![数学建模-优化题目[精华]](https://img.taocdn.com/s3/m/3ac17ea489eb172dec63b74a.png)
c ij x ij
总运价
i1 j1
n
x ij a i , j1
s .t . m x ij b j i1 x ij 0
i 1,..., m
j 1,..., n i 1,..., m ; j 1,..., n
产量限制 需量限制 运量非负
线性规划模型
假设产销平衡:
m
n
ai bj
线性规划模型
m f 0 . 1 x 1 0 i . 3 x 2 n 0 . 9 x 3 0 x 4 1 . 1 x 5 0 . 2 x 6 0 . 8 x 7 1 . 4 x 8
2x1 x2 x3 x4 100
s.t.x12xx2333xx3432xx5623xx67x47x8101000 不同方法
Ⅰ
Ⅱ
现有原 材料
A1
21 8
A2
10 3
A3
01 4
线性规划模型
解:设生 ,产 两 种产品 x1,x分 2吨 ,别为
max f= 5x1 +2x2
求最大利润
2x1 + x2 8
s.t .
x1 3
x2 4
x1，x2 0
三种材料量的限制 生产量非负
线性规划模型
运输问题
有两个粮 A1,库 A2向三个粮 B1,站 B2,B3调运大, 米 两个粮库现存大为米 4吨分 ,8吨 别,三个粮站至少需要 大米分别 2,4为 ,5吨,两个粮库到三个距粮离 (站 单的 位 :公里 )如下 ,问如何调运使运。费最低
约 束 条 件
30
矩阵形式
线性规划模型
记 c(c1,c2, cn)A ,aijm n,xx1,x2, xnT,
bb 1,b2, bnT,矩 阵 形 式 为
数学数学建模中的优化问题
数学数学建模中的优化问题标题：数学建模中的优化问题引言：数学建模是一门综合性强的学科，它将数学与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决实际问题。
在数学建模的过程中，优化问题是一类常见且重要的问题类型。
优化问题的求解可以帮助我们在各个领域中找到最优解答，提高效率和质量。
本教案将重点讨论数学建模中的优化问题。
一、优化问题的基本理论1. 优化问题的定义与分类：- 定义：优化问题是求函数在指定约束条件下的最大值或最小值。
- 分类：分为无约束优化问题和有约束优化问题。
2. 常见的优化方法：- 极值判定法：通过求导数确定函数的极值点。
- 线性规划方法：利用线性规划模型求解最优解。
- 非线性规划方法：利用数值方法求解非线性规划问题。
- 动态规划法：将问题划分为多个阶段，通过求解子问题的最优解来求解整体问题。
- 遗传算法：模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作搜索最优解。
二、数学建模中的优化问题1. 生产优化问题：- 问题描述：如何在生产过程中合理分配资源，使得产量最大或成本最低。
- 解决方法：建立生产模型，考虑资源限制和生产效率，通过优化方法求解最优解。
2. 路径规划问题：- 问题描述：如何在地图上找到最短路径或最快路径。
- 解决方法：建立路径规划模型，考虑道路状况和交通流量，通过优化方法求解最优路径。
3. 资源分配问题：- 问题描述：如何在有限资源下最优地分配给需求方。
- 解决方法：建立资源分配模型，考虑资源供需关系和约束条件，通过优化方法求解最优分配方案。
4. 调度优化问题：- 问题描述：如何安排任务的顺序和时间，最大程度地提高效率。
- 解决方法：建立调度模型，考虑任务时间限制和资源约束，通过优化方法求解最优调度方案。
5. 参数优化问题：- 问题描述：如何寻找函数参数的最优取值，使得函数拟合实际情况。
- 解决方法：建立参数优化模型，将问题转化为目标函数的最优化问题，通过优化方法求解最优参数。
三、教学设计与实施1. 知识导入：- 通过实际案例介绍优化问题的应用领域和意义。
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C题面试时间冋题有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。
由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分钟）：这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司•假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司？面试时间最优化问题摘要：面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。
因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于n位面试者的面试顺序的所有排列数根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。
关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化一）问题的提出根据题意，本文应解决的问题有：1、这4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。
假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间；2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。
（二）问题的分析问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试（同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束），二是每个阶段同一时间只能有一位面试者（不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行）。
对于任意两名求职者P、Q,不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况：（一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试, 所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。
这一段等待时间必将延长最终的总时间。
（二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P 完成j 阶段的面试后，才能进入j 阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。
同样的，这个也会延长面试的总时间。
以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。
所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。
他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。
这也是我们想要的结果。
（三）模型的假设1. 我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关；2. 面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0；3. 参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序；4. 假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。
即：没有中途退出面试者；5. 面试者及各考官都能在8：00 准时到达面试地点。
（四）名词及符号约束1. aij （i=1,2 ，3，4；j= 1 ,2,3）为求职者i 在j 阶段参加面试所需的时间甲乙丙丁分别对应序号i=1 ，2,3 ，42. xij （i=1,2 ，3，4；j=1,2,3）表示第i 名同学参加j 阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00 记为面试的0 时刻）3. T 为完成全部面试所花费的最少时间(五)模型的建立设｛s1 , s2, s3, s4｝为4位面试者的一个面试顺序,面试者si参加第j个阶段面试所需时间为aij根据问题的2个约束条件,可作出n位面试者在｛s1，s2, s3, s4)面试顺序下参加3个面试阶段的进展过程表，4位面试者按序｛s1 , s2, s3, s4｝参加3个阶段的面试进展过程表表中Ti (i = l , 2,?, P)表示能同时进行面试的人员所占用的时间段如T3,表示面试者si在第3个面试场,s2在第2个面试场,s3,在第1个面试场、其余人员在等待的那一个时间段•根据顺序性可知整个面试过程的时间段数为3+4-1=6模式：以各面试者结束全部面试阶段的时间为基础(以表的行为基础)目标函数minT =max｛xi3+ai3｝约束条件(1) 面试阶段约束，即必须先完成上一阶段面试才能进人下一阶段面试。
xij + aij < xi , j+1 i = l , 2, 3, 4 ; j = 1,2 , 3)(2) 同一阶段只能有一个面试者xij +aij-xki < Tyikxkj +akj-xij < T(1-yik)(i , k = l , 2, 3, 4 , i<k ; j = l , 2 , 3 )yik = ｛O , l｝(3) 整个面试总和时间大于等于各面试者结束全部阶段面试的时间T>xi3+ai3 ; i = l,2,3,4其中y是0-1变量.表示第k个面试者是否排在第i个面试者的前面，0表示否, l表示是•由此,就将问题中的约束条件“同一面试阶段只能有一个面试者”改用“面试者的先后次序”来表示解决了问题中难于表达的约束条件，反应的关系清楚,而且在模型求解的，T值就是最小总面试时间，根据全部y值就可以排出所有面试者使T最小的面试顺序。
(3)(六)模型的求解编写的lingo 程序如下：model :title 面试问题;sets :!person= 被面试者集合,stage= 面试阶段集合;person/1,2,3,4/;stage/1,2,3/;! a= 面试所需时间,x 面试开始时间;pxs(person,stage): a,x;!y(i,k)=1:k 排在i 前,0: 否则;pxp(person,person)|&1 #l t # &2:y;endsetsdata :a=13 15 2010 20 1820 16 108 10 15;enddatamin =maxa; !max a是面试最后结束时间；max a>= @max(pxs(i,j)|j#eq# @size (stage):x(i,j)+ a(i,j));! 完成前一段才能进入下一段;@for (pxs(i,j)|j#lt# @size (stage):x(i,j)+ a(i,j)<x(i,j+1));! 同一时间只能面试一位同学;@for (stage(j): @for (pxp(i,k):x(i,j)+ a(i,j)-x(k,j)<max a*y(i,k)); (pxp(i,k):x(k,j)+ a(k,j)-x(i,j)<max a*(1-y(i,k))););@for (pxp(i,k): @bin(y(i,k)));endLingo 结果如下：Local optimal solution found.Objective value: 84.00000Extended solver steps: 43Total solver iterations: 1681Model Title: 面试问题Variable ValueMAXA 84.00000 0.000000A( 1, 1) 13.00000 0.000000(4)A( 1, 2) 15.00000 0.000000A( 1, 3) 20.00000 0.000000@forReduced CostA( 2, 1)10.000000.000000 A( 2, 2)20.000000.000000 A( 2, 3)18.000000.000000 A( 3, 1)20.000000.000000 A( 3, 2)16.000000.000000 A( 3, 3)10.000000.000000 A( 4, 1)8.0000000.000000 A( 4, 2)10.000000.000000 A( 4, 3)15.000000.000000 X( 1, 1)8.0000000.000000 X( 1, 2)21.000000.000000 X( 1, 3)36.000000.000000 X( 2, 1)26.000000.000000 X( 2, 2)36.000000.000000 X( 2, 3)56.000000.000000 X( 3, 1)38.000000.000000 X( 3, 2)58.000000.000000 X( 3, 3)74.000000.000000 X( 4, 1)0.0000000.9999970 X( 4, 2)11.000000.000000 X( 4, 3)21.000000.000000 Y( 1, 2)0.000000-83.99950 Y( 1, 3)0.0000000.000000 Y( 1, 4) 1.00000083.99950 Y( 2, 3)0.000000-83.99950 Y( 2, 4) 1.0000000.000000 Y( 3, 4) 1.0000000.000000Row Slack or Surplus Dual Price 184.00000-1.000000 20.000000 -0.999997030.0000000.9999970 40.0000000.9999970 50.0000000.000000 60.0000000.000000 70.0000000.000000 80.0000000.0000009 3.0000000.000000 100.0000000.00000011 5.0000000.000000 1217.000000.0000001363.000000.00000014 2.0000000.0000001548.000000.0000001626.000000.0000001756.000000.0000001834.000000.000000190.0000000.99999702052.000000.0000002118.000000.0000002230.000000.000000230.0000000.0000002422.000000.0000002559.000000.00000026 2.0000000.0000002739.000000.0000002821.000000.0000002949.000000.0000003031.000000.000000310.0000000.0000003246.000000.0000003315.000000.0000003437.000000.000000350.0000000.99999703618.000000.0000003749.000000.000000380.0000000.99999703931.000000.0000004021.000000.0000004146.000000.0000004236.000000.000000430.0000000.0000004456.000000.0000004520.000000.0000004638.000000.000000计算结果为：所有面试完成至少需要84min。