常系数线性微分方程的解的结构分析

二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程
d 2y dx2
p
dy dx
qy
0
（3.1）
其中 p、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解 y1,y２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。
我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是 d 2 y ， dx2
dy eax du aueax
r1uer1x
(du dx
r1u)er1x
d 2 y2 dx2
(r12u 2r1
du dx
d 2u )er1x dx2
将它们代入方程(7.1)得
(r12u
2r1
du dx
d 2u dx2
)e
r1x
p( du dx
r1u)er1x
quer1x
0
或
[
d 2u dx2
(2r1
p)
du dx
(r12
(1)若特证方程(3.2)有两个不相等的实根 r１，r2，此时 er1x ， er2x 是方程(3.1)的两个特解。
因为 er1x e r2 x
e = (r1 r2 ) x
常数
所以 er1x，er2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(3.1)的通解为
y c1er1x c2er2x
(2)若特征方程(3.2)有两个相等的实根 r1＝r2，此时 p2－4q＝0，即
(3.4)
的一个特解。
(1)如果 q≠0，我们总可以求得一 n 次多项式满足此方程，事实上，可设特解 ~y ＝Qn(x) ＝ a 0xn＋ a 1xn－1＋…＋ a n ，其中 a 0，a 1，… a n 是待定常数，将 ~y 及其导数代入方程(3.4)， 得方程左右两边都是 n 次多项式，比较两边 x 的同次幂系数，就可确定常数 a 0，a 1，… a n。
常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用 x 的未知函数 u(x)替换 任意常数 C,是因为 C 是任意的，C 与 x 形成函数关系，要确定 C,需要由初始条件确定，一 个 x,确定一个 C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的 C 是任意的， 也就可以用一个未知的，也就是任意的函数 u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的 解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一 种变量变换的方法，通过变换（2.6 可将方程（2.1）化为变量分离方程。
0
的通解
y c1er1x c2er2x
y＝(c1＋c2x) er1x
y＝eαx(c1cosβx＋c2sinβx)
在解决二阶常系数线性微分方程的解的问题中，我们用到了一个转换，也就是令 y erx ，
那我们为什么会想到它呢？为什么要用它不用其它的呢？首先观察微分方程
d2y dx2
p
dy dx
qy
这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分
离变量的，也就是变量分离方程。
一阶常系数微分方程
dy P(x) y Q(x) ， dx
（2.1）
其中 P（x），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若 Q（x）=0 ,上式就变为
dy P(x) y
dx
，
（2.2）
上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法， 先进行变量分离得到
0
d2y ，由4个部分构成， dx2
，p
与
dy dx
相乘，q
与
y
相乘，然后相加等于0，
d 2 y dy 我们可以观察到他们的特点就是 dx2 ， dx ，y 都是与常数因子相乘，然后相加等于0，如
果能找到一个函数 y，其 d 2 y ， dy ，y 之间只相差一个常数因子，综合我们以前所学过的 dx2 dx
dx
dx2
得 r2erx＋prerx＋qerx＝0 或 erx（r2＋pr＋q）＝0 因为 erx≠0，故得
r2＋pr＋q＝0 由此可见，若 r 是二次方程
r2＋pr＋q＝0 (3.2) 的根，那么 erx 就是方程(3.1)的特解，于是方程(3.1)的求解问题，就转化为求代数方程(3.2) 的根问题。称(3.2)式为微分方程(3.1)的特征方程。 特征方程(3.2)是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根 r１，r2，称 为特征根，由代数知识，特征根 r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。
~y2
p
dy dx
qy
pn (x)
eαx
(3.5)
的一个特解的求法，方程(3.4)与方程(3.5)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子 eαx，如果能通过变量代换将因子 eαx 去掉，使得(3.5)化成(3.4)式的形式，问题即可解决， 为此设 y＝ueαx，其中 u＝u(x)是待定函数，对 y＝ueαx，求导得
例2.
求方程 d 2 y dx2
4 dy dx
3x2
2 的一个特解。
解 自由项 f(x)＝3x2＋2是一个二次多项式，又 q＝0，p＝４≠0，故设特解
~y a0 x3 a1x a2 x
求导数
~y 3a0 x2 2a1x a2
代入方程得
~y 6a0 x 2a1
12 a0 x2＋（8 a 1＋6 a 0）x＋（２ a 1＋4 a 2）＝3x2＋2，比较两边同次幂的系数
中的常数 c 变易成为待定的函数 c（x）,令
y c(x)e p(x)dx
，
微分之，就可以得到
dy dc(x) e p(x)dx c(x)P(x)e p(x)dx ， dx dx
（2.6） （2.7）
以（2.7），（2.6）代入 2.1，得到
dc(x) e p(x)dx c(x)P(x)e p(x)dx p(x)c(x)e p(x)dx Q(x) ，（2.8） dx
解得
所以特解 ~y ＝ 1 x2－ 1 x－ 7 2 24
（2)如果 q＝0，而 p≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时 ~y ＝Qn(x)不能满
足方程，但它可以被一个(n＋1)次多项式所满足，此时我们可设
~y ＝xQn(x)＝ a 0xn＋1＋ a 1xn＋…＋ a nx 代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数 a 0， a 1，… a n。
例1.
求
d2y dx2
dy dx
2
y
x2
3 的一个特解。
解 自由项 f(x)＝x2－3是一个二次多项式，又 q＝2≠0，则可设方程的特解为
~y a0 x2 a1x a2
求导数
~y 2a0 x a1
~y 2a0
代入方程有2 a0 x2＋(2 a0 ＋2 a1 )x＋（2 a0 ＋ a 1＋2 a ２）＝x2－3比较同次幂系数
有 r1
r2
p 2
,这样只能得到方程(3.1)的一个特解
y1
e r1 x
，因此，我们还要设法找出另
一个满足 y2 常数，的特解 y2，故 y2 应是 x 的某个函数，设 y2 u ，其中 u＝u(x)为待
y1
y1
y1
定函数，即
y2 uy1 uer1x
对 y2求一阶，二阶导数得
dy2 dx
du er1x dx
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(3.1)的通解，只须先求出其特征方程(3.2)的根，再 根据他的三种情况确定其通解，现列表如下
特征方程 r2＋pr＋q＝0的根 有二个不相等的实根 r1，r2 有二重根 r1＝r2
有一对共轭复根 r1 i r2 i
微分方程
d2y dx2
p
dy dx
qy
的通解是
y c1er1x c2 xer1x (c1 c2 x)er1x
(3)若特征方程(3.2)有一对共轭复根 r1＝α＋iβ，r2＝α－iβ
此时方程(3.1)有两个特解
y ＝e(α＋iβ)x 1பைடு நூலகம்
y ＝e（α－iβ）x 2
y＝c1e（α＋iβ）x＋c2e（α－iβ）x
其中 c1，c2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需 要实数形式的通解，为此利用欧拉公式
dx ax 0
dt
，
的求解 上式可以改写为
dx adt
，
x
于是变量 x 和 t 被分离，再将两边积分得
ln x at c
，
（1.1） （1.2） （1.3）
这里的 c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为
x ceat
，
（1.4）
其中 c= , 因为 x=0 也是方程的解，因此 c 可以是任意常数。
常系数线性微分方程的解的结构分析
【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系 数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一 些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构
一阶常系数齐次线性微分方程
dy P(x)dx
，
y
（2.3）
两边同时积分，得到
y ce p(x)dx
，
（2.4）
这里 c 是常数。
若 Q（x） 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。
我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶
齐次线性微分方程的解
y ce p(x)dx
，
（2.5）
解得
所求方程的特解 ~y 1 x3 3 x2 19 x 4 16 32
(3)如果 p＝0，q＝0，则方程变为 ~y2 ＝ p n(x)，此时特解是一个(n＋2)次多项式，可设 ~y ＝x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。 下面讨论当 a ≠0时，即当 f(x)＝pn(x)eαx 时方程
dy ，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数 y，其 d 2 y ， dy ，y 之间只
dx
dx2 dx
相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(3.1)的特解，在初等函数中，指数函数 erx， 符合上述要求，于是我们令
y＝erx(其中 r 为待定常数)来试解
将 y＝erx， dy ＝rerx， d 2 y ＝r2erx 代入方程(3.1)
eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx
有 1 (eix＋e－ix)＝cosx 2
1 (y1＋y２)＝ 1 eαx(eiβx＋e－iβx)＝eαxcosβx
2
2
1 (y1－y2)＝ 1 eαx(eiβx－e－iβx)＝eαxsinβx
2i
2i
由上节定理一知，1 (y1＋y2)，1 (y1－y2)是方程(3.1)的两个特解，也即 eαxcosβx，eαxsinβx
即
积分后得到
dc(x) Q(x)e p(x)dx ， dx
c（x）= Q(x)e p(x)dxdx c ,
(2.9)
这里 c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解
y e p(x)dx (
Q(
x)e
p( x)dx
dx c)
(2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数 c 变成 c(x) ,
知识，一个函数的一阶，二阶倒数和该函数只相差一个常数，这样的函数有可能是方程(3.1)
的特解，在初等函数中，我们所学过的指数函数 erx，就符合上述要求，于是我们令 y erx ，
从而进行下去，得到了结果。
求二阶常系数线性非齐次方程
＋p ＋qy＝f(x)
(3.3)
的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而 后相加就得到非齐 次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题
2
2
是方程(3.1)的两个特解：且它们线性无关，我们已知，方程(3.1)的通解为
y＝c1eαxcosβx＋c2eαxsinβx
1 (eix－e－ix)＝sinx 2i
或 y＝eαx( c1 cosβx＋ c2 sinβx)
其中 c1，c2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中 α，β 分别是特征方程 (3.2)复数根的实部和虚部。
pr1
q)u]er1x
0
因为 er1x
0
，且因
r1是特征方程的根，故有 r12
＋pr１＋q＝0，又因 r1
p 2
故有2r1＋p＝0，
于是上式成为
d 2u dx2
0
显然满足
d 2u dx2
0
的函数很多，我们取其中最简单的一个
u(x)＝x 则 y2＝xerx 是方程(3.1)的另一个特解，且 y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(3.1)
是求方程(3.3)的一个特解。
方程(3.1)的特解形式，与方程右边的 f(x)有关，这里只就 f(x)的两种常见的形式进行讨论。
一．f(x)＝pn(x)eαx ，其中 pn(x)是 n 次多项式，我们先讨论当 a 0 时，即当
f(x)＝pn（x）时方程
d2y dx2
p
dy dx
qy
pn (x) )