第四节根轨迹分析

K
* H
：反馈通道根轨迹增益
f
l
m
(s zi ) (s z j )
(s z j )
G(s)H
(s)
K
* G
K
* H
i 1 q
j 1 h
K * j1
n
(s pi ) (s p j )
(s pi )
i 1
j 1
i 1
nqh
,
m f l
,
K*
K
* G
K
* H
K*开环系统根轨迹增益
(s)
( 1 s
1)(
2 2
s
2
2 1 2 s
1)
s (T1s 1)(T22 s 2 2 2T2 s 1)
K
* G
(s zi )
i 1
q
(s pi )
i 1
H
(s)
K
* H
l
(s z j )
j 1
h
(s
pj)
KG
j 1
K
* G
K G*
KG
1 22
T1T22
：前向通道增益
：前向通道根轨迹增益
稳态性能： 当kg=0时的根即为开环极点，可知系统为I型系统， 对阶跃输入信号，ess=0，对斜坡输入信号，kv可由根轨迹上的 kg确定。
4.1.3 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
设 控制系统如图所示 R(s) G(s) C(s)
(s) G(s)
1 G(s)H (s)
H (s)
f
G(s)
KG
根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益， 用图解方法确定闭环极点。
4.1.4根轨迹方程
由闭环传递函数 (s) G(s)
1 G(s)H (s)
m
(s z j )
1 G(s)H (s) 0 K * j1
1
n
(s pi )
i 1
当 K* 0 ~ K*
根轨迹方程
求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。
1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法， 它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的 闭环特征根。
4.1 根轨迹的基本概念
4.1.1 根轨迹概念
➢ 根轨迹：是指系统开环传递函数(开环系统)中的某一些参数变 化时(由0变化到∞)，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
➢分类：
1. 当根轨迹增益Kg变化时的根轨迹。
负反馈系统(180度根轨迹)
正反馈系统(0度根轨迹)
2.参量根轨迹:根轨迹增益Kg之外的参数变化时的根轨迹。
例4-1：已知单位反馈系统结构图，试绘制其根轨迹。
R(s)
K C(s)
(-) s(0.5s1)
解：开环传递函数
G(s) 2 K kg s(s 2) s(s 2)
零极点形式
闭环特征方程：D(s) 1 Gk (s) 0 s(s 2) kg 0
第四章 根轨迹分析法
4.1根轨迹的基本概念
4.2绘制根轨迹的基本法则 4.3 控制系统的根轨迹的绘制 4.4 求取闭环系统零、极点的方法 4.5 增加开环零、极点对根轨迹的影响 4.6 控制系统的根轨迹分析法举例 本章作业
End
线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环 系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统 的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调 整开环增益是改变闭环极点的常用办法。
箭头表示根轨迹随着kg增大时移动的方向。
表示系统的闭环极点
➢研究根轨迹的目的：由已知的开环零、极点分布及根轨迹增益， 通过图解的方法找出闭环极点，进而分析系统的各种性能（稳定性、 稳态性能、动态性能）
4.1.2 根轨迹与系统j性能 p1
-2
-1
0
p2
kg 0 0 kg 1 kg 1 kg 1
G(s)
K
* G
f
(s
zi
)
h
(s
p
j
)
i 1
j 1
1 G(s)H (s)
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
i 1
j 1
结论：
（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环前向通道系统根轨迹
增益。
（2）闭环系统的零点 开环前向通道传递函数的零点和
反馈通道传递函数的极点所组成。
（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 K * 均有关。
s1,2 -2,0 s1,2 1 1 kg s1,2 -1,-1 s1,2 1 1 kg j
稳定性： 当kg从0变化到无穷时， 根轨迹都落在s左半平面，故系统 闭环稳定。
动态性能：
1） 当0<kg<1时，特征根均为不等负 实数，故系统处于过阻尼状态，响 应为非周期过程。
2） 当kg=1时，特征根为相等负实数， 故系统处于临界阻尼状态，响应为 非周期过程。 3） 当kg>1时，特征根为共轭复根， 故系统处于欠阻尼状态，响应为振 荡衰减过程。Kg增大，阻尼减小， 振荡剧烈。
根轨迹方程可以进一步表示为
m
(s z j )
K * j 1
1 ,
n
(s pi )
i 1
m
szj
K * j 1
e j 1e j(2k 1)
ห้องสมุดไป่ตู้
n
s pi
i 1
相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1) , (k 0,1,2, )
闭环特征根：
s1,2 1 1 kg
j p1
kg 0
s1,2 -2,0 不相等负实根
0 kg 1 s1,2 1 1 kg不相等负实根-2
-1
0
kg 1
s1,2 -1,-1 相等负实根
kg 1
s1,2 1 1 kg j 共轭复根
p2
令kg(由0到+∞)变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹，如图所示。
j 1
i 1
n
模值条件（幅值条件）：
s pi K * i1
m
szj
满足相角条件方程的点必是根轨迹上j的1 点，可由相角
条件求取系统的根轨迹，再由幅值条件求取该点处的kg 值。