高阶导数

例1 求幂函数 y xn , n Z 的高阶导数.
解 y (xn ) nxn1 y ( y) (nxn1) n(n 1)xn2 y ( y) n(n 1)(n 2)xn3 …………………………
y(k) ( y(k1) ) n(n 1)(n 2)(n k 1)xnk (1 k n)
y(k) a x (ln a)k
运用数学归纳法可得
(ax )(n) ax (lna)n (n Z )
例6 求 y = lnx 的各阶导数. 解 y 1 x1 (1)11(11)!x1 x y (1)x2 (1)21 x2 (1)21(2 1)!x2 y (1)(2)x3 (1)31(3 1)!x3
2
运用数学归纳法可以证得
(sinx)(n) sin( x n )
2
(n Z )
类似地 , 可求得 (cosx)(n) cos( x n ) (n Z )
2
例9
y ln sin x , 求 d2 y . d x2
解 d y d (ln sin x) dx dx
cos sin
第三节 高阶导数
一. 高阶导数的概念 二. 高阶导数的运算法则
一. 高阶导数的概念
例 (sin x) cos x, (cos x) sin x,
是 sin x 连续求两次导数的结果. 称为函数sin x 的二阶导数, 记为 (sin x) ((sin x)) (cos x) sin x
一般说来, 如果函数 f (x) 的导函数 f (x) 仍然 可导, 则称 f (x) 的导数为原来函数 f (x) 的二 阶导数, 记为 f (x) ( f (x)).
d y y
d y2 y3
( y, y 0).
解
y 与
y 是
y对
x 的导数,
d2 x d y2
是
x对
y 的导数.
由复合函数及反函数的求导法则, 得
d2x dy 2
d dy
( dx )
dy
d dy
(
1)
y
d( y)
dy ( y)2
d( y) dx dx dy
( y)2
1 y
(
y y)3
设 f (x) 有任意阶导数, 且满足 f (x) f 2(x),
x x
cot x
d2 y dx2
d dx
(cot
x)
csc2
x
例10
y esin x , 求 y.
解
y esin x cos x
y esin x cos2 x esin x ( sin x) esin x (cos2 x sin x)
二阶导数经常遇到, 一定要掌握.
例11
试从 d x 1 , 导出 d2 x y
解 当 1 k n 时, y(k) ((ax b)n )(k)
n(n 1)(n k 1)(ax b)nk ak 当 k n 1 时,
y(k) 0
例3 多项式 Pn (x) a0 x n a1x n1 an1 x an 的高阶导数.
解
y' a0nxn1 a1 (n 1)x n2 an1
例4 求 y = ex 的各阶导数.
解 y ex
y ( y) (ex ) ex
y(n) ex
y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(ex )(n) ex (n N )
例5 求 y = ax 的各阶导数.
解 y' a x ln a y'' ( y) (ax ln a) ax (ln a)2
注意, 当 k = n 时 (xn )(n) n(n 1)(n 2)3 2 1 n !
从而, 当 k n 1 时, (xn )(k) 0 . 综上所述：
(x n )(k) n(n 1)(n k 1)x nk (1 k n )
(xn )(k) 0
( k n 1)
例2 求 y (ax b)n 的高阶导数
dn1 f (x) d xn1
,
y(n) ( y(n1) ),
dn y d xn
d dx
dn1 y d xn1
,
按照一阶导数的极限形式, 有
y(n)
源自文库
f
(n) (x)
lim
x0
f
(n1) (x x) x
f
(n1) (x)
和
y(n)
x x0
f
(n)
(x0
)
lim
xx0
f (n1) (x) f (n1) (x0 ) x x0
推而广之: 设 f (x) 的 n 1阶导数存在, 它仍是 x 的函数,
若它可导, 则称它的导数为原来函数的n 阶导数.
n 阶导数的记号为:
f (n) (x),
y(n),
dn f (x) d xn
,
dn y d xn
.
f (n) (x) ( f (n1) (x)),
dn f (x) d xn
d dx
例7 求 y 1 的高阶导数. x
解 y 1 (ln x) 注意这里的方法 x
y(n) ((ln x))(n) (ln x)(n1)
(1)n
n! x ( n 1)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
即
1 x
n
(1)n
n! x ( n 1)
nN
类似地, 有
1 ax
例12
设 y(k) (1)k1(k 1)!xk
则 y (k1) (1)k1 (k 1)!(k )x k1
(1)(k1)1[(k 1) 1]!x(k1) 故由数学归纳法得
yn
(ln
x)(n)
(1) n1
(n 1)! xn
类似地, 有
(n N )
(ln(ax b))(n) (1)n1(n 1)!an (ax b)n (n N)
y'' a0n(n 1)x n2 a1 (n 1)(n 2)x n3 2an2
………………
y (n) a0 n!
y(n1) y(n2) 0
对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .
b
(n)
(1)n
n!an
(ax
b)(n1)
例8 求 y sin x , y cosx 的各阶导数.
解 y sin x
y cosx sin(x 1 )
2
看 出 结
y sin x sin(x 2 )
2
论 没
y cosx sin(x 3 )
2
有 ？
y(4) sin x sin(x 4 )