矩阵的秩与运算

矩阵的秩与运算
一·矩阵秩的求法
求矩阵的秩主要有三种方法；(1)定义
法，利用定义寻找矩阵中非零子式的最高
阶数。

(2)初等变换法，对矩阵实施初等行变
换，将其变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩
阵中非零行的行数就是矩阵的秩；(3)标准
形法，求矩阵的标准形，l的个数即为矩阵
的秩。

二·矩阵的秩与行列式
对于一个方阵A，如何判断它是
否可逆，除了根据它的行列式是否为零，还
可以根据方阵秩的大小来判断。

比如方阵A（nn）
其秩R, ，若R ＜ n，则显然矩阵行列式为零，不可逆；
若R = n ,则矩阵行列式不为零，矩阵可逆。

三·矩阵的秩与线性方程组
1齐次的
齐次线性方程组
●系数矩阵R = n ，则有且仅有一个0解
●系数矩阵R ＜ n，则有无数个解。

2非齐次的
费齐次线性方程组，设系数矩阵A ,增广矩阵B
●若R(A) = R(B) = n ，则有且仅有一个解；
●若R(A) = R(B)＜n，则有无数个解；
●若R(A)≠R(B) ，则方程组无解。

四·矩阵的秩与二次曲面
说二次曲面，其实就是与二次型的关系。

有定义知道，
二次型的秩定义为其矩阵的秩，这就为解决二次曲面问题找到了一个可转移的办法。

正所谓遇难则变，变则通。

道家之言，诚哉大哉！！
下面将具体举例阐述，二次型总可以经线性变换成CY化为标准形（比如合同变换），而且，同的非退化线性变换化为不同的标准形，但这些标准形中所含平方项的个数是相同的，所含平方项的个数就等于二次型的秩，也就是矩阵的秩。