九年级数学(人教版)第27章《相似》全章教案
人教版九年级数学下册第二十七章相似数学活动优秀教学案例
本案例教学内容与过程设计系统、全面，涵盖了相似图形的定义、性质、判定方法、应用等方面。通过讲授新知、小组讨论、总结归纳等环节，突出重点，使学生深入理解相似图形的知识。
此外，本案例还注重以下方面的教学实践：
1. 结合课本知识，引导学生运用类比、归纳、演绎等数学思维方法，发现相似图形的性质和判定方法。
（二）讲授新知
1. 通过具体例子，引导学生观察、思考相似图形的特点，进而引出相似图形的定义和性质。
2. 结合课本，讲解相似图形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，并通过实例进行解释。
3. 介绍相似变换的概念和性质，以及在实际中的应用。
（三）学生小组讨论
将学生分成小组，让他们探讨以下问题：
1. 生活中还有哪些相似图形的例子？
2. 鼓励学生运用信息技术手，提高学习效率。
3. 培养学生的探究精神，让他们在解决问题的过程中，体会成功带来的喜悦，树立自信心，形成积极向上的价值观。
（三）小组合作，提高团队协作能力
本案例重视小组合作，通过合理分组，确保每个学生在小组中发挥自己的优势。在小组合作过程中，学生共同探讨问题、分享经验，培养团队协作能力和沟通能力。
（四）注重反思与评价，提升自我认知
本案例强调学生的反思与评价，鼓励学生在课后总结学习经验，提高自我认知。同时，教师对学生的学习过程和结果进行全面评价，为学生提供有针对性的指导，帮助他们建立自信，激发学习动力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 理解并掌握相似图形的定义、性质和判定方法，能运用相似知识解决实际问题。
2. 能够运用比例线段、相似多边形、相似三角形等知识，解决生活中的实际问题，如地图比例尺的计算、物体放大与缩小的比例等。
数学人教版九年级下册27.2相似三角形的判定定理教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形判定定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形判定定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.提高学生的数学建模能力，使学生能够将现实问题转化为数学模型，运用相似三角形的性质解决实际问题；
4.培养学生的数据分析能力，通过分析相似三角形的判定定理在不同情境中的应用，提高学生解决复杂问题的能力；
5.培养学生的数学抽象思维，让学生从具体的几何图形中提炼出相似三角形的判定定理，并应用于不同的问题情境中。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-本节课的核心内容是相似三角形的判定定理，包括AAA、AA和SSS相似定理。以下是具体细节：
-理解并掌握相似三角形的定义，即对应角相等且对应边成比例的两个三角形为相似三角形；
-掌握AAA相似定理，即如果两个三角形有三个角分别相等，则这两个三角形相似；
-掌握AA相似定理，即如果两个三角形有两个角分别相等，并且它们的夹角相等，则这两个三角形相似；
新课讲授中的重点难点解析部分，我发现学生在区分AAA和AA相似定理的应用条件上存在一些困难。这可能是因为我在讲解时没有足够地强调这两个定理的区别，或者举例不够典型。在后续的教学中，我需要针对这一点进行改进，设计更多具有针对性的例题和练习。
新人教版九年级数学下册《第二十七章 相似 》全章教案
新人教版九年级数学下册《第二十七章相似》全章教案本文已经没有格式错误和明显有问题的段落了，但是可以对每段话进行小幅度的改写，以增强文章的流畅性和可读性。
第一节课重点讲解了相似图形的概念和运用方法。
通过一些日常生活中的例子，让学生们理解了相似图形的形状和大小可以不同，但是它们的形状相同。
同时，老师还通过线段的长度比例的例子，让学生们理解了相似图形的比例关系。
在例题讲解中，老师通过选择题的形式，让学生们运用相似图形的特征，判断哪个图形与左边的图形相似。
同时，老师还给出了一道关于比例尺的例题，让学生们运用相似图形的知识，计算出实际距离。
第二节课重点讲解了相似多边形的主要特征和识别方法。
老师让学生们了解到相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
通过一些实例，让学生们学会了如何识别相似多边形，并运用其性质进行计算。
总的来说，本章节的教学目标是让学生们掌握相似图形和相似多边形的概念和运用方法。
通过一些生动的例子和实例，让学生们更好地理解和掌握知识点。
在研究第26页的内容时，学生需要了解判别两个多边形是否相似的条件。
这些条件包括对应角是否相等，对应边的比是否相等，这两个条件缺一不可。
如果要说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或者举出合适的反例。
在解决这个问题时，依靠直觉观察是不可靠的。
课堂引入：1.对于图中的两个相似的四边形，它们的对应角和对应边的比是否相等。
2.相似多边形的特征是对应角相等，对应边的比相等。
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3.相似比是相似多边形对应边的比。
4.当相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形。
例1（补充）（选择题）：下列说法正确的是D。
因为任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似。
例（教材P26例题）：要求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可以根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题。
人教版9年级数学下册第27章全章教案
第二十七章相似27.1 图形的相似1．从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似；(重点)2．理解成比例线段的概念，会确定线段的比．(难点)一、情境导入如图是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状(包括地图中所描绘的各个部分)肯定是相同的．日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形．像这样的图形有哪些性质？下面我们就一起探讨一下吧！二、合作探究探究点一：相似图形观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的？解析：通过观察寻找与(a)，(b)，(c)形状相同的图形，在所给的9个图形中仔细观察，然后作出判断．解：通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形(b)形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同．方法总结：判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：比例线段 【类型一】判断四条线段是否成比例 下列各组中的四条线段成比例的是( )A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，5cmC ．3cm ，4cm ，5cm ，6cmD ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm解析：选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项B.从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项C.从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；选项D.从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以成比例，符合题意．故选D.方法总结：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】利用成比例线段的定义，求线段的长已知线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a ＝2m ，b ＝4m ，c ＝5m ，则d ＝( )A ．1mB ．10m C.52m D.85m 解析：∵线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a ∶b ＝c ∶d ，而a ＝2m ，b ＝4m ，c ＝5m ，∴d ＝b ·c a ＝4×52＝10(m)．故选B. 方法总结：求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】利用比例尺求距离若一张地图的比例尺是1∶150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm ，则甲、乙两地的实际距离是( )A ．3000mB ．3500mC ．5000mD ．7500m解析：设甲、乙两地的实际距离是x cm ，根据题意得1∶150000＝5∶x ，x ＝750000(cm)，750000cm ＝7500m.故选D.方法总结：比例尺＝图上距离∶实际距离．根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点三：相似多边形 【类型一】利用相似多边形的性质求线段和角 如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a 、b 的长度及角α的值．解析：根据相似多边形对应角相等和对应边成比例解答．解：因为四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，所以∠B ′＝∠B ＝63°，∠D ′＝∠D ，AD A ′D ′＝AB A ′B ′＝BC B ′C ′，所以416＝a 20＝4.5b ，所以a ＝5，b ＝18.在四边形A ′B ′C ′D ′中，∠D ′＝360°－(84°＋75°＋63°)＝138°.∠α＝∠D ＝∠D ′＝138°.方法总结：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】相似多边形的判定如图，一块长3m 、宽1.5m 的矩形黑板ABCD 如图所示，镶在其外围的木质边框宽75cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD 与边框的外边缘所成的矩形EFGH 相似吗？为什么？解析：两个矩形的四个角虽然相等，但四条边不一定对应成比例，判定两个矩形是否相似，关键是看对应边是否成比例．解：不相似．∵矩形ABCD 中，AB ＝1.5m ，AD ＝3m ，镶在其外围的木质边框宽75cm＝0.75m ，∴EF ＝1.5＋2×0.75＝3m ，EH ＝3＋2×0.75＝4.5m ，∴AB EF ＝1.53＝12，AD EH ＝34.5＝23.∵12≠23，∴内边缘所成的矩形ABCD 与边框的外边缘所成的矩形EFGH 不相似． 方法总结：判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计1．相似图形的概念；2．比例线段；3．相似多边形的判定和性质．本节课中对相似多边形的特征的教学要注意难度的把握，不要过高要求学生掌握更多的内容．学生能了解性质，并能简单运用即可，重要的还是后续的相似三角形的学习，当相似三角形的特征掌握之后，再进一步研究相似多边形的性质，学生就比较容易掌握.27.2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例1．了解相似比的定义；(重点)2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)一、情境导入如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求：(1)△OAC 和△OBD 的相似比；(2)BD 的长．解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：平行线分线段成比例定理 【类型一】平行线分线段成比例的基本事实如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.(1)求CB AB 的值； (2)求AB 的长． 解析：(1)根据l 1∥l 2∥l 3推出CB AB ＝EF DE ；(2)根据l 1∥l 2∥l 3，推出EF DF ＝BC AC ＝58，代入AC ＝24求出BC 即可求出AB .解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴CB AB ＝EF DE .又∵DF ∶DF ＝5∶8，∴EF ∶DE ＝5∶3，∴CB AB ＝53； (2)∵l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24，∴EF DF ＝BC AC ＝58，∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC ＝24－15＝9.方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】平行线分线段成比例的基本事实的推论如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．解析：根据DE ∥BC 得到AD AB ＝AE AC，然后根据比例的性质可计算出AE 的长． 解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即22＋5＝AE 5，∴AE ＝107. 方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点三：相似三角形的引理【类型一】利用相似三角形的引理判定三角形相似如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型二】利用相似三角形的引理求线段的长 如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O . (1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，则AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD 推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB.又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8；(2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD .又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74EF ＝10.5，即CD 的长是10.5.方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题三、板书设计1．相似三角形的定义及有关概念；2．平行线分线段成比例定理及推论；3．相似三角形的引理．本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.27.2.1 相似三角形的判定第2课时三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似 【类型一】直接利用定理判定两个三角形相似在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF ＝3，EF ＝4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？解析：已知△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.在Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42＝5.在△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF ＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC 和△DEF 的各边的长，即可得AB DE ＝AC DF ＝BC EF ，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC 和△DEF 相似． 解：△ABC 和△DEF 相似．由勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5，DE ＝4，DF＝2，EF ＝25，∵AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝254＝52，∴△ABC ∽△DEF . 方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】利用相似三角形证明角相等如图，已知AB AD ＝BC DE ＝AC AE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由AB AD ＝BC DE ＝AC AE，证明△ABC ∽△ADE ，再利用相似三角形对应角相等求解． 解：在△ABC 和△ADE 中，∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∠C ＝∠E .方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A ，B ，C ，D 之间建有公路，已知AB ＝14千米，AD ＝28千米，BD ＝21千米，BC ＝42千米，DC ＝31.5千米，公路AB 与CD 平行吗？说出你的理由．解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB 与CD 平行．∵AB BD ＝1421＝23，AD BC ＝2842＝23，BD DC ＝2131.5＝23，∴△ABD ∽△BDC ，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC .方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法． 【类型五】利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.27.2.1 相似三角形的判定第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB 的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝BC2＋AC2＝10，∴DB ＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】添加条件使三角形相似如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC ，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC ，再结合条件证明△FDC ∽△F AD ，可得AD CD＝DF CF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝AC BC.∵E 为BC 的中点，CD ⊥AB ，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ，∵∠EDC ＋∠FDA ＝∠ECD ＋∠ACD ，∴∠FCD ＝∠FDA ，又∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△F AD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DF CF，∴AC ·CF ＝BC ·DF . 方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．【类型四】利用相似三角形的判定进行计算如图所示，BC ⊥CD 于点C ，BE ⊥DE 于点E ，BE 与CD 相交于点A ，若AC ＝3，BC ＝4，AE ＝2，求CD 的长．解析：因为AC ＝3，所以只需求出AD 即可求出CD .可证明△ABC 与△ADE 相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD .解：在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AB ＝BC 2＋AC 2＝42＋32＝5.∵BC ⊥CD ，BE⊥DE ，∴∠C ＝∠E ，又∵∠CAB ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝AC AE ，即5AD ＝32，解得AD ＝103，∴CD ＝AD ＋AC ＝103＋3＝193. 方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】利用相似三角形的判定解决动点问题如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，5AC －3AB ＝0，点P 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动，与此同时点Q 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动，经过多长时间△ABC 和△PQC 相似？解析：由AC 与AB 的关系，设出AC ＝3x cm ，AB ＝5x cm ，在直角三角形ABC 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，进而得到AB 与AC 的长．然后设出动点运动的时间为t s ，根据相应的速度分别表示出PC 与CQ 的长，由△ABC 和△PQC 相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值，从而得到所有满足题意的时间t 的值．解：由5AC －3AB ＝0，得到5AC ＝3AB ，设AB 为5x cm ，则AC ＝3x cm ，在Rt △ABC 中，由BC ＝8cm ，根据勾股定理得25x 2＝9x 2＋64，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)，∴AB ＝5x ＝10cm ，AC ＝3x ＝6cm.设经过t 秒△ABC 和△PQC 相似，则有BP ＝2t cm ，PC ＝(8－2t )cm ，CQ ＝t cm ，分两种情况：①当△ABC ∽△PQC 时，有BC QC ＝AC PC ，即8t ＝68－2t ，解得t ＝3211；②当△ABC ∽△QPC 时，有AC QC ＝BC PC ，即6t ＝88－2t ，解得t ＝125.综上可知，经过125或3211秒△ABC 和△PQC 相似．方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC ∽△PQC 与△ABC ∽△QPC 分别列出比例式来解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.27.2.1 相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入与同伴合作，一人画△ABC ，另一人画△A ′B ′C ′，使得∠A 和∠A ′都等于给定的∠α，∠B 和∠B ′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比AB A ′B ′，AC A ′C ′，BC B ′C ′相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流． 二、合作探究探究点：两角分别相等的两个三角形相似【类型一】利用判定定理证明两个三角形相似如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AB 边上一点，且∠ADE ＝60°.(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)若BD ＝3，CE ＝2，求△ABC 的边长．解析：(1)由题有∠B ＝∠C ＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD ＝∠CDE ，即可证明△ABD ∽△DCE ；(2)根据△ABD ∽△DCE ，列出比例式，即可求出△ABC 的边长．(1)证明：在△ABD 中，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，又∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CDE .在△ABD 和△DCE 中，∠BAD ＝∠CDE ，∠B ＝∠C ＝60°，∴△ABD ∽△DCE ；(2)解：设AB ＝x ，则DC ＝x －3，由△ABD ∽△DCE ，∴AB DC ＝BD DE ，∴x x －3＝32，∴x ＝9.即等边△ABC 的边长为9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型二】添加条件证明三角形相似 如图，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ∽△AED 成立，还需要添加一个条件为____________．解析：∵∠ABC ＝∠AED ，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ，故添加条件∠ABC ＝∠AED 即可求得△ABC ∽△AED .同理可得∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB可以得出△ABC ∽△AED .故答案为∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB. 方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】相似三角形与圆的综合应用如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点G ，弦CE 交AB 于点F ，求证：AC 2＝AG ·AE .解析：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，根据圆周角定理，可证明∠ACG ＝∠E ，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG ∽△EAC ，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．证明：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，∵AB ⊥CM ，∴AC ︵＝AM ︵，∴∠ACG ＝∠E ，又∵∠CAG ＝∠EAC ，∴△CAG ∽△EAC ，∴AC AE ＝AG AC，∴AC 2＝AG ·AE . 方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型四】相似三角形与四边形知识的综合如图，在▱ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .若AB ＝8，BE ＝6，AD ＝7，求BF 的长．解析：可通过证明∠BAF ＝∠AED ，∠AFB ＝∠D ，证得△ABF ∽△EAD ，可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系．已知AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，进而求出BF 的长．解：在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠ABE ＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝82＋62＝10.∵△ABF ∽△EAD ，∴BF AD＝AB AE ，∴BF 7＝810，∴BF ＝5.6. 方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】相似三角形与二次函数的综合如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5m ，AB ＝10m.M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1m/s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2m/s.运动时间为t s.(1)当t 为何值时，△AMN 的面积为6m 2?(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．解析：(1)作NH ⊥AC 于H ，证得△ANH ∽△ABC ，从而得到比例式，然后用t 表示出NH ，根据△AMN 的面积为6m 2，得到关于t 的方程求得t 值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t 的二次函数求最值即可．解：(1)在Rt △ABC 中，∵AB 2＝BC 2＋AC 2，∴AC ＝53m.如图，作NH ⊥AC 于H ，∴∠NHA ＝∠C ＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA ，∴AN AB ＝NH BC ，即2t 10＝NH 5，∴NH ＝t ，∴S △AMN ＝12t (53－t )＝6，解得t 1＝3，t 2＝43(舍去)，故当t 为3秒时，△AMN 的面积为6m 2.(2)S △AMN ＝12t (53－t )＝－12(t 2－53t ＋754)＋752＝－12(t －532)2＋752，∴当t ＝532时，S 最大值＝752m 2. 方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．三、板书设计1．三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.27.2.2 相似三角形的性质1．理解相似三角形的性质；(重点)2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)一、情境导入两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？二、合作探究探究点一：相似三角形的性质 【类型一】利用相似比求三角形的周长和面积如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE 相交于F 点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比；(2)若S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解． 解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD .又∵BE＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12； (2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4、6题【类型二】利用相似三角形的周长或面积比求相似比。
九年级数学《相似-数学活动》教学设计
《第27章相似数学活动》教学设计1. 教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册第27章相似数学活动。
2.知识背景分析本章隶属于“图形与几何”领域。
在前面，学生已经学过了全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换。
“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。
“相似”也是指图形间的一种相互关系，，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同。
其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小得到的。
这种变换是相似变换。
当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的。
全等是相似的一种特殊情况，从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是在研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。
在后面，学生还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。
在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。
因此这一章的内容也是今后学习所必须的基础知识。
另外，在实际生活中的建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识。
因此这一章内容对于学生今后从事各种实际工作也具有重要的作用。
本章共有三节内容：第1节图形的相似主要介绍相似图形，相似多边形的概念，并探索相似多边形的性质；第2节相似三角形主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用及相似三角形的周长和面积；第3节位似研究了一种特殊的相似－位似，研究了位似图形的画法及平面直角坐标系中的位似变化。
本节活动课是在学习前三节的基础上进行的，本章数学活动有两个，一个是测量旗杆的的高度，一个是位似变换与艺术字。
测量旗杆﹙某些不能直接度量的物体的高度﹚的高度，是综合运用相似知识的良好机会。
通过测量旗杆的的高度，可以使学生综合运用相似三角形的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对于相似三角形的理解和认识。
人教版九年级数学下册《第二十七章 相似》教案
人教版九年级数学下册《第二十七章相似》教案一. 教材分析人教版九年级数学下册《第二十七章相似》主要讲述了相似图形的性质和判定方法。
本章内容包括相似图形的定义、相似比、相似多边形的性质、相似三角形的性质和判定、相似圆的性质和判定等。
这些内容是学生学习几何学的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形有了一定的认识。
但是，对于相似图形的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。
此外，学生对于图形的变换和判定方法可能还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。
三. 教学目标1.理解相似图形的定义和性质，能够判断两个图形是否相似。
2.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够应用到实际问题中。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似图形的定义和性质的理解。
2.相似三角形的性质和判定方法的掌握。
3.图形变换的熟练运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.利用多媒体和实物模型，进行直观演示和操作，帮助学生建立直观的空间想象能力。
3.提供丰富的练习题，进行巩固和拓展，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和图片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些相似的图形，如字母“A”和“a”，让学生观察和思考，引出相似图形的概念。
2.呈现（10分钟）讲解相似图形的定义和性质，通过具体的例子和实物模型进行演示，让学生理解和掌握相似图形的特征。
3.操练（10分钟）让学生进行一些类似的练习题，巩固对相似图形的理解和判断能力。
可以提供一些提示和指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用相似图形的性质和判定方法，解决实际问题。
教师可以给予一些帮助和指导，鼓励学生独立思考和解决问题。
人教版九年级下册第二十七章相似教学设计
1.培养学生对几何图形的审美观念，激发他们对几何学的兴趣。
-通过展示美丽的几何图形，让学生感受几何图形的美，培养他们的审美情趣。
-通过解决实际问题，让学生体会几何学的实用价值，提高他们对几何学的兴趣。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，形成良好的学习习惯。
-在教学过程中，注重鼓励学生提问、质疑，培养他们勇于探索的精神。
1.教学活动设计：
-以生活中的实例导入新课，如展示一组形状相似但大小不同的物体（如照片、玩具等），引导学生观察并思考它们之间的关系。
-提问：“同学们，你们在生活中遇到过形状相似但大小不同的物体吗？它们之间有什么共同特征？”
-通过学生回答，引出相似图形的概念。
2.教学目标：
-激发学生对相似图形的兴趣，调动他们的学习积极性。
-引导学生运用演绎推理和合情推理，证明相似图形的性质，提高他们的逻辑思维能力。
2.学会运用小组合作、讨论交流等学习方法，提高解决问题的能力。
-在课堂教学中，组织学生进行小组合作，共同探讨相似图形的问题，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
-鼓励学生在课堂上积极发言，分享自己的思考过程和解决方案，提高他们的表达能力和自信心。
-结合实际案例，让学生了解相似在实际生活中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成小组，针对给定的问题或案例进行讨论，如相似三角形的判定、相似图形的应用等。
-各小组派代表分享讨论成果，其他小组进行评价和补充。
2.教学目标：
-培养学生的团队协作能力和沟通能力。
-通过讨论交流，巩固学生对相似图形性质的理解，提高他们解决问题的能力。
-对本节课的主要内容进行总结，强调相似图形的定义、判定方法及性质应用。
人教版九年级数学下册第二十七章27.2.2相似三角形的性质优秀教学案例
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过展示实际生活中的图片或场景，如建筑设计、地图绘制等，引发学生对相似三角形的性质的兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.设计一些评价表格或问卷，让学生对自己的学习情况进行评价，了解自己的学习进展和需要改进的地方。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握和能力发展，及时给予指导和鼓励，帮助他们建立自信心，克服学习中的困难。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些实际生活中的图片或场景，如建筑设计、地图绘制等，引导学生观察并思考这些图片或场景中是否存在相似三角形。
2.使用多媒体展示一些相似三角形的图形，让学生直观地感受相似三角形的性质，并引导他们发现和总结这些性质。
3.通过具体的例题和练习题，让学生运用相似三角形的性质解决问题，巩固所学知识。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组提供一些实际问题的情境，如“如何在地图上测量两座城市的距离？”等，让学生运用相似三角形的性质解决这些问题。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的性质，并能够灵活运用这些性质解决实际问题。
2.培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高他们的数学思维能力。
3.通过本节课的学习，使学生能够掌握相似三角形的判定方法，并能够运用判定方法判断两个三角形是否相似。
（二）过程与方法
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究相似三角形的性质，培养他们的自主学习能力。
九年级数学(人教版)第27章《相似》全章教案
第27章《相似》全章教案27．1 图形的相似〔1〕教学目标:1、知识与技能：通过实例知道相似图形的意义. 通过对生活中的事物或图形的观察，得理性认识，从而加以识别相似的图形．2、过程与方法:通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题．3、情感态度与价值观：在获得知识的过程中培养学习的自信心．教学重点:相似图形和相似多边形的意义.教学难点:探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.教学过程:一、创设情境，导入新课引导学生观察课本p24-图27.1—1每两个图形之间的相同之处与不同之处---这两个图形形状相同，大小不相同，它们叫什么图形？这两个图形只是形状相同，大小不相同，它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似.二、师生互动，探索新知：1、观察以下几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．〔出示课题——图形的相似〕2、对上面的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相似的图形。
归纳定义：相似图形----形状相同的两个图形叫做相似图形.3、你还见过哪些相似的图形，请举出一些例子与同学们交流．三、探究：1、思考教科书第25页的思考，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？2、观察以下图中的3组图形，它们是不是相似形?为什么?(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)四、课堂练习完成课本第25页练习第1、2题。
五、课堂小结这节课你有哪些收获?六、课时作业1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．2、习题27.1第1、2题．27．1 图形的相似〔2〕教学目标:1、知识与技能：通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．2、过程与方法：经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；回忆相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。
2018人教版九年级数学下册教案：第二十七章相似
1.理论介绍：首先，我们要了解相似的基本概念。相似是指两个图形的形状相同，但大小可以不同，它们之间的对应角度相等，对应边长成比例。相似性在几何中有着广泛的应用，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过比较两个相似三角形的性质，我们能够计算出未知边长，解决实际问题。
3.提升学生数据分析与数学建模素养，通过实际问题的解决，学会运用相似知识进行数据计算和模型构建；
4.培养学生创新意识和团队协作能力，在探索相似性质和解决实际问题的过程中，鼓励学生主动思考、合作交流，发展问题解决的多种策略；
5.强化学生数学应用意识，将相似知识运用到生活中，提高解决实际问题的能力，感悟数学与生活的紧密联系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似图形的定义及性质，特别是相似三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）；
-学会运用相似比例尺解决实际问题，如地图、平面图的比例计算；
-掌握位似的概念及其性质，能运用位似变换解决几何问题；
-能利用相似知识解决平面几何中的相关问题，如求线段长度、角度大小等。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的相似教学过程中，我发现学生们对于相似概念的理解普遍存在一些困难。在讲解相似三角形的判定方法时，虽然我尽力通过直观的图形演示和具体的例题来说明，但仍有部分学生难以把握SAS和ASA判定条件的区别。这让我意识到，需要寻找更生动、更贴近学生生活的教学方式来帮助他们理解和记忆。
【人教版】九年级下册数学《相似》全章教案
27.1 图形的相似（第 1 课时）【学习目标】1.经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．2.掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．3．能根据相似比进行有关计算．【自学指导】第一节1．相似三角形的定义及记法三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．如△ ABC与△ DEF相似，记作△ ABC∽△ DEF。
A与 D，D注意：其中对应顶点要写在对应位置，如AB 与 E，C与 F 相对应． AB∶DE等于相似比．2．想一想B C E F如果△ ABC∽△ DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？3．议一议（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？归纳：【典例分析】例 1：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是 20m，在这个草坪的图纸上，这条边长 5cm，其他两边的长都是 3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度．（14m）例 2：如图，已知△ ABC∽△ ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，∠ BAC＝45°，∠ACB＝40°，求（1）∠AED和∠ ADE的度数；（2）DE的长．5．想一想：在例 2 的条件下，图中有哪些线段成比例？练习：等腰直角三角形 ABC与等腰直角三角形 A′B′C′相似，相似比为 3∶1，已知斜边 AB＝5cm，求△ A′B′C′斜边A′B′上的高．（第 2 课时）【自学指导】第二节1、相似多边形的定义：两个多边形大小不等，但各角，各边这样的两个相似多边形叫做相似多边形。
注意：与相似三角形的定义的不同点。
2、叫做相似比。
3、判断：（ 1）各角都对应相等的两个多边形是相似多边形。
人教版九年级数学下册27章相似教案
人教版九年级数学下册教案27．1 图形的相似第一课时一、教学目标(一) 知识目标通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．(二) 能力目标通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题．(三) 情感目标在获得知识的过程中培养学习的自信心．二、教学重点引导学生观察图形，并从中获取信息，培养他们的观察、分析及归纳能力．三、教学难点应用获得的数学知识解决生活中的实际问题．四、教学过程一、创设情境，导入新课：观察教材第35页的两组图形，你能发现它们之间有什么关系?二、师生互动，探索新知：1、观察下列几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．（出示课题——图形的相似）2、对(2)中的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相似的图形。
3、你还见过哪些相似的图形，请举出一些例子与同学们交流．三、试一试：利用课本后面的网格或格点图纸设计出几组相似的图形，并利用幻灯片加以展示，使学生在学习中获得成功的喜悦．四、探究：1、思考教科书第37页观察中的问题，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？2、观察下图中的3组图形，它们是不是相似形?为什么?(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)五、课堂练习完成课本第35页练习第1、2题。
六、课堂小结这节课你哪些收获?七、课时作业1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．2、习题27.1第1、2题．配套课时练习1.我们把形状的图形叫做相似图形.2.下列图形相似的是( )A.两个圆B. 两个矩形C. 两个等腰梯形D. 两个菱形3.下列是图形相似的有( )两辆轿车两个五角星两只足球建筑物的设计图纸与建筑物A.1个B.2个C.3个D.4个4．下列每组图中的两个图形是相似图形的是（）A B C D5.举出相似图形的例子 (至少两个)6.在方格纸中平移图形,使A平移到A’处,画出放大一倍的图形.7.下列说法正确的是( )A.人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像相似.B.人们从平面镜里看到的像与人的关系是相似图形,但不是全等图形.C.拍照时,镜头的取景与照片上的画面是相似的D.放幻灯片时投在屏幕上的画面与幻灯片上的图形是全等的8.选出与下面左图相似的图（）9.请将右面的直角三角形放大三倍.10.请指出下列图形中哪几对是相似图形,并说明理由.正方形圆长方形正六边形菱形11．如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，交AD于F，图中相似三角形的对数是（）A．3 B．4 C．5 D．612.已知图中的每个正方形的边长都是1个单位,在图中画出一个与格点三角形DEF相似但不全等的格点三角形.参考答案：1、相同；2、A；3、B；4、A；5、略6、画图略；7、C；8、B；9、画图略10、正方形、圆、正六边形11、D；12、画图略27．1 图形的相似第二课时一、教学目标(一) 知识与技能通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．(二) 过程与方法1、经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；2、回顾相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。
新人教版九年级下册-第27章-相似-全章教案
初三数学九（下）第二十七章：相似第1课时图形的相似（1）教学目标:1、知识目标：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．2、能力目标：在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”分析问题．3、情感目标：在探究相似图形的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．重点、难点教学重点: 认识图形的相似．教学难点: 理解相似图形概念．一.创设情境活动1观察图片，体会相似图形同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？(课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)师生活动: 教师出示图片，提出问题；学生观察，小组讨论；师生共同交流．得到相似图形的概念．教师活动:什么是相似图形?学生活动:共同交流,得到相似图形的概念．学生归纳总结：(板书)形状相同的图形叫做相似图形在活动中,教师应重点关注：学生用数学的语言归纳相似图形的概念；活动2思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?学生活动: 学生观察思考，小组讨论回答；二. 通过练习巩固相似图形的概念活动3练习问题：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a～f中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？教师活动:教师出示图片，提出问题；学生活动:学生看书观察,小组讨论后回答问题.教师活动:在活动中,教师应重点关注：在练习中检验学生对相似图形的几何直觉．三. 小结巩固活动3(1)谈谈本节课你有哪些收获．(2)课外作业1、下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.2、填空题1、形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。
课后反思：第2课时 图形的相似 （2）教学目标：1、 知识目标：（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比； （2）掌握判定三角形相似的预备定理。
新人教版九年级数学下册《第二十七章 相似 》全章教案
第二十七章相似第1课时（p24-25）27.1图形的相似（一）一、教学目标理解并掌握两个图形相似的概念．二、重点、难点1．重点：相似图形的概念与运用概念．2．难点：运用概念．三、课堂引入1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如教材P24画面，他们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子）（2）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图．（强调：见前面）（3）让学生再举几个相似图形的例子．2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．四、例题讲解（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）分析：因为图A是把图拉长了，而图D是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B与左图也不相似；而图C 是将左图绕正五边形的中心旋转180º后，再按一定比例缩小得到的，因此图C 与左图相似，故此题应选C.例（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离．解： 略答：北京到上海的实际距离大约是1120 km ．五、课堂练习 教材P25的练习题。
六．板书：根据比例尺=实际距离图上距离七、教学后记：27.1 图形的相似（二）第2课时（p36-38）一、教学目标1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．二、重点、难点1．重点：相似多边形的主要特征与识别．2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．三、例题的意图第26页内容的学习，要让学生了解判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；而若说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或举出合适的反例，在解决这个问题上，依靠直觉观察是不可靠的．四、课堂引入1．第26页内容：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．2．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．五、例题讲解例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．例（教材P26例题）．分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出正确的比例式．解：略例（补充）已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴ AB:BC:CD:DA= A1B1:B1C1:C1D1:D1A1．∵ A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，∴ AB:BC:CD:DA= 7:8:11:14．设AB=7m，则BC=8m，CD=11m，DA=14m．∵四边形ABCD的周长为40，∴ 7m+8m+11m+14m=40．∴ m=1．∴ AB=7，则BC=8，CD=11，DA=14．六、课堂练习1．教材P27练习1、2、3．2．教材P27习题1、2、4．七、课堂练习教材P27习题3、5．八、板书：1、相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2、相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．九、教学后记：27.2.1 相似三角形的判定（一）第3课时一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）． 3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的定理． 2．难点：三角形相似的预备的应用． 三、课堂引入 1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CAC B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且A C CAC B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P29“探究”，导出：（1）、平行线分线段成比例定理：按第41页内容讲解。
人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 同步教案(全章)
第二十七章相似27．1 图形的相似第1课时相似图形教学目标1．通过对事物图形的观察、思考和分析，认识相似的图形．2．经历动手操作的活动过程，增强学生的观察和动手能力．3．体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识．预习反馈阅读教材P24～25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似．并完成下列预习内容．①把形状相同的图形叫做相似图形．②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？相似．④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？不相似．⑤全等三角形相似吗？相似．⑥生活中哪些地方会见到相似图形？答案不唯一．【点拨】研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形．例题讲解：例1下列各图中哪组图形是相似图形(C)A BC D【点拨】观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形．【跟踪训练1】下列图形中，不是相似图形的是(C)A BC D【跟踪训练2】(教材P25练习2)如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似．巩固训练1．如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是(C)A BC D2．下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．其中相似的组数有(C)A．4组B．3组C．2组D．1组课堂小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．全等三角形和相似三角形有哪些区别和联系？第2课时相似多边形与比例线段教学目标1．结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题．2．在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神．预习反馈阅读教材P26～27，理解并掌握“相似多边形”及“相似比”的概念，并完成下列预习内容：①对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如ab＝cd(即ad＝bc)，那么我们就说这四条线段是成比例．②相似多边形的对应角相等，对应边成比例．③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等．④用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是(B)A．角A是原来的5倍B．周长是原来的5倍C．每一个内角都发生了变化D ．以上说法都不对 例题讲解：例1 下列图形中，不一定相似的是(D) A ．任意两个等腰直角三角形 B ．任意两个等边三角形 C ．任意两个正方形 D ．任意两个菱形【跟踪训练1】 下列四组图形中，一定相似的是(D) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形例2 (教材P26例)如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β的大小和EH 的长度x.【解答】 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应角相等，由此可得，α＝∠C ＝83°，∠A ＝∠E ＝118°.在四边形ABCD 中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应边成比例，由此可得EH AD ＝EF AB ，即x 21＝2418.解得x ＝28.【点拨】 相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字．【跟踪训练2】 如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2. (1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似．解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.44.2＝13，DE BC ＝39＝13.(2)证明：∵DE ∥BC ， ∴∠D ＝∠B ，∠E ＝∠C.又∵∠DAE ＝∠BAC ，AD AB ＝AE AC ＝DEBC，∴△ADE 与△ABC 相似． 例3 已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 km ，画在地图上的距离CD ＝2 cm ，则这张地图的比例尺是1∶250__000． 【点拨】 图上距离与实际距离的比叫做比例尺．【跟踪训练3】 (教材P27练习1)在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离．解：设两地的实际距离为x.30x ＝110 000 000. 解得x ＝300 000 000.∵300 000 000 cm ＝3 000 km.∴两地的实际距离为3 000 km.巩固训练 1．下列各组线段中，成比例线段的是(B)A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，3 2．下列各组图形中，必定相似的是(D) A ．两个等腰三角形B ．各有一个角是40°的两个等腰三角形C ．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形D ．有一个角是100°的两个等腰三角形3．在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这次复印的放缩比例为4∶1．4．把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为2．5．已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是23． 6．在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？解：另一个五边形的周长为24. 课堂小结1．本节课学习了哪些内容？2．如何根据相似多边形的概念判断多边形相似？27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例教学目标1．理解相似三角形的概念．2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论． 3．掌握判定三角形相似的预备定理． 预习反馈阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理．并完成下面的预习内容．①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k．②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝（DE ）（EF ），AB （AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似． 【点拨】 找准对应线段是关键． 例题讲解：例1 (教材补充例题)如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是(B)A.ADAB＝AEACB.DEBC＝ECACC.ADDB＝AEECD.BCDE＝ACAE【跟踪训练1】如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)A.ADDF＝BCCEB.BCCE＝DFADC.CDEF＝BCBED.CDEF＝ADAF例2(教材补充例题)如图，ED∥BC，EC，BD相交于点A，过A的直线交ED，BC分别于点M，N，则图中有相似三角形(C)A．1对B．2对C．3对D．4对【跟踪训练2】如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.巩固训练1．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(C)A．28°B．32°C．42° D．52°2．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，射线CE，BA交于点F，下列等式成立的是(C)A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长．解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ，即3AB ＝26. ∴AB ＝9.∴BD ＝AB －AD ＝9－3＝6. 课堂小结1．本节课我们学习了哪些内容？2．当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？第2课时 相似三角形的判定定理1，2教学目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理． 预习反馈阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容． ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似．②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由．甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BCHI ，所以他们不相似．乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确．【点拨】 判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．例题讲解：例1 (教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由： AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A ′B ′＝12 cm ，B ′C ′＝18 cm ，A ′C ′＝24 cm.【解答】 ∵AB A ′B ′＝412＝13，BC B ′C ′＝618＝13，AC A ′C ′＝824＝13，∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20，在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53，∴AC AE ＝AB AD ＝BCDE.∴△ABC ∽△ADE. 例2 (教材P33例1(2))根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由： ∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ，∠A ′＝120°，A ′B ′＝3 cm ，A ′C ′＝6 cm.【解答】 ∵AB A ′B ′＝73，AC A ′C ′＝146＝73，∴AB A ′B ′＝ACA ′C ′.又∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【跟踪训练2】 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是正方形．(1)△ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由； (2)求∠1＋∠2的度数．解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a ，则AC ＝a 2＋a 2＝2a ，∵AC CF ＝2a a ＝2，CG AC ＝2a 2a ＝2，∴AC CF ＝CGAC.又∵∠ACF ＝∠GCA ，∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ，∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF ＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°. 巩固训练1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝9 cm ，BC ＝8 cm ，CA ＝5 cm ，A ′B ′＝4.5 cm ，B ′C ′＝2.5 cm ，C ′A ′＝4 cm ，则下列说法错误的是(D)A ．△ABC 与△A ′B ′C ′相似 B ．AB 与B ′A ′是对应边C ．两个三角形的相似比是2∶1D ．BC 与B ′C ′是对应边2．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知AB ·B ′C ′＝BC ·A ′B ′，若使△ABC ∽△A ′B ′C ′，还应增加的条件是(C)A ．AC ＝A ′C ′B ．∠A ＝∠A ′C ．∠B ＝∠B ′D ．∠C ＝∠C ′3．如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例．4．右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例．5．如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？解：∵AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ， ∴AE AC ＝AD AB ＝23. ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AE AC. 又∵DE ＝43 cm ，∴43BC ＝23.∴BC ＝2 cm. 【点拨】 运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算． 课堂小结1．本节课我们学习了什么内容？2．全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？第3课时 相似三角形的判定定理3教学目标1．掌握相似三角形的判定定理3.2．了解两个直角三角形相似的判定方法．3．深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题．预习反馈阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法．完成下列预习内容． ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似．④如图所示，已知∠ADE ＝∠B ，则△AED ∽△ACB ．理由是两角分别相等的两个三角形相似．⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等．再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似．【点拨】 要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似．例题讲解：例1 (教材P35例2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长．【解答】 ∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB .∴AD ＝AC ·AE AB ＝8×510＝4. 【跟踪训练1】 如图，∠1＝∠3，∠B ＝∠D ，AB ＝DE ＝5，BC ＝4. (1)△ABC ∽△ADE 吗？说明理由； (2)求AD 的长．解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ， ∴△ABC ∽△ADE. (2)由(1)，知AB AD ＝BCDE .∴5AD ＝45.解得AD ＝254. 例2 (教材补充例题)已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【解答】 ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， (1)当BC BD ＝ABCD 时，△ABC ∽△CDB ，此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a.即当BD ＝b2a 时，△ABC ∽△CDB.(2)当AB BD ＝BCCD 时，△ABC ∽△BDC ，此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即AB BD ＝AC BC. ∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b a a 2－b 2.∴当BD ＝b aa 2－b 2时，△ABC ∽△BDC.综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝b aa 2－b 2时，这两个三角形相似．【点拨】 本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况．【跟踪训练2】 在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D) A ．∠B ＝∠B 1 B.AB A 1B 1＝ACA 1C 1C.AB A 1B 1＝BC B 1C 1 D.AB B 1C 1＝AC A 1C 1巩固训练 1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C) A ．都含有一个40°的内角 B ．都含有一个50°的内角 C ．都含有一个60°的内角 D ．都含有一个70°的内角 2．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：(1)AB A ′B ′＝BC B ′C ′；(2)BC B ′C ′＝ACA ′C ′；(3)∠A ＝∠A ′；(4)∠C ＝∠C ′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有(C)A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，E 是BC 上一点，ED ⊥AB ，垂足为D.求证：△ABC ∽△EBD.证明：∵ED ⊥AB ， ∴∠EDB ＝90°. ∵∠C ＝90°， ∴∠EDB ＝∠C.∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△EBD. 课堂小结1．本节课我们学习了什么内容？2．全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？27．2.2 相似三角形的性质教学目标理解并掌握相似三角形的性质． 预习反馈阅读教材P37～39，理解相似三角形的性质，并完成下列预习内容．(1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比．(2)如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k，AD ⊥BC 于点D ，A ′D ′⊥B ′C ′于点D ′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？【解答】 其他的相似三角形还有△ABD ∽△A ′B ′D ′，△ADC ∽△A ′D ′C ′.②△ABC 与△A ′B ′C ′中，C △ABCC △A ′B ′C ′＝k ，S △ABCS △A ′B ′C ′＝k 2．【点拨】 在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根．例题讲解：例 (教材P38例3)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积．【解答】 在△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ， ∴DE AB ＝DF AC ＝12.又∠D ＝∠A ， ∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为12.∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，∴△DEF 的边EF 上的高为12×6＝3，面积为(12)2×125＝3 5.【跟踪训练】 如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE.若△DEF 的面积为10，则▱ABCD 的面积为多少？解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CE.∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF.∴S△DEFS△CEB＝(DECE)2＝(DECD＋DE)2＝(DE3DE)2＝19，S△DEFS△ABF＝(DEAB)2＝(DECD)2＝(DE2DE)2＝14.∴S△CEB＝90，S△ABF＝40.∴S▱ABCD＝S△ABF＋S四边形BCDF＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝40＋90－10＝120.巩固训练1．若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为(C)A．2∶1 B．1∶ 2C．1∶4 D．1∶52．如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)A．3∶4 B．9∶16 C．9∶1 D．3∶13．如果△ABC∽△DEF，A，B分别对应D，E，且AB∶DE＝1∶2，那么下列等式一定成立的是(D)A．BC∶DE＝1∶2B．△ABC的面积∶△DEF的面积＝1∶2C．∠A的度数∶∠D的度数＝1∶2D．△ABC的周长∶△DEF的周长＝1∶24．如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是2∶3．5．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是32，BE，B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE＝6，则B1E1＝4．6．如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分别是斜边AB，DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm.(1)求CM和EN的长；(2)你发现CMNE的值与相似比有什么关系？得到什么结论？解：(1)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋CB2＝92＋122＝15，∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝12AB＝7.5.∵Rt△ABC∽Rt△DFE，∴DEAC＝DFAB，即39＝13＝DF15.∴DF＝5.∵EN为斜边DF上的中线，∴EN＝12DF＝2.5.(2)∵CMEN＝7.52.5＝31，相似比为ACDE＝93＝31，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．课堂小结本节课我们学习了哪些内容？27.2.3 相似三角形应用举例教学目标1．通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识．2．在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣．预习反馈阅读教材P39～40，进一步体会从实际问题中建立数学模型，并完成下列预习内容．(1)太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比(正比或反比)．(2)太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？答：相似．例题讲解：例1(教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ.【解答】∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST.∴PQPS＝QRST，即PQPQ＋QS＝QRST，PQPQ＋45＝6090，PQ×90＝(PQ＋45)×60.解得PQ＝90 m.答：河宽大约为90 m.【跟踪训练1】(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．解：连接MN.∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN.又∵∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM.∴BCMN＝3100，即45MN＝3100.∴MN＝1 500.答：M，N两点之间的直线距离为1 500米．例2小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度．如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)【解答】 根据反射角等于入射角，则有∠DEF ＝∠BEF ，而FE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝∠BEA.又∵∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DEC ∽△BEA.∴CD AB ＝ECEA .又∵DC ＝1.6，EC ＝2.5，EA ＝21， ∴1.6AB ＝2.521.∴AB ＝13.44. 答：建筑物AB 的高度为13.44 m.【点拨】 从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键．【跟踪训练2】 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上．已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米，求旗杆的高度．解：由题意可得，△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EFAC ，∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5米，DC ＝20米， ∴0.520＝0.25AC.解得AC ＝10. 故AB ＝AC ＋BC ＝AC ＋DG ＝10＋1.5＝11.5(米)． 答：旗杆的高度为11.5米． 巩固训练1．如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m ，已知网高为0.8 m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m 的位置，则球拍击球时的高度h 为2.4m.2．如图，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽．解：由题意，可得∠B ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ADB ∽△EDC. ∴AB EC ＝BD CD ，即AB ＝BD ·EC CD ＝120×5060＝100(m)． 答：河宽AB 为100 m.【点拨】 证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种．课堂小结利用相似三角形进行测量的一般步骤：(1)因地制宜，构造相似三角形；(2)测量与所求线段对应的边的长以及另外任意一组对应边的长；(3)根据相似三角形的对应边成比例进行计算.27.3 位似第1课时位似图形的概念及画法教学目标1．正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心．2．在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情．预习反馈阅读教材P47～48，完成下列预习内容．(1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．(2)下列说法正确的是(D)A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C．两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在(D)A．原图形的外部 B．原图形的内部C．原图形的边上 D．任意位置【点拨】位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质．例题讲解：例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.【解答】 1.在原图形上取点A，B，C，D，E，F，G，在图形外任取一点P；2．作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；3．在这些射线上依次取A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；4．顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′.所得到的图形就是符合要求的图形．【点拨】作位似图形的步骤：(1)按要求作出各点的对应点后，(2)连线．注意：不要连错对应点之间的连线．【跟踪训练1】如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形．例2请画出如图所示两个图形的位似中心．图1 图2【解答】如图所示的点O1，就是图1的位似中心．如图所示的点O2，就是图2的位似中心．【点拨】正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心．【跟踪训练2】找出下列图形的位似中心．巩固训练1．在下列图形中，不是位似图形的是(D)A BC D2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)A．1∶3 B．1∶2 C．1∶ 3 D．1∶9第2题图第3题图3．如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的周长的比为1∶2．4．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．解：连接AD，CF交于点O，则点O即为所求．∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，∴OC ∶OF ＝3∶2.∴△ABC 与△DEF 的相似比为3∶2.5．如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上．(1)找出位似中心点O ；(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为2∶1；(3)按(2)中的位似比，以点O 为位似中心画出△ABC 的另一个位似图形△A ″B ″C ″.解：(1)如图所示，点O 即为所求． (2)∵AC A ′C ′＝21， ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为：2∶1.故答案为：2∶1. (3)如图所示，△A ″B ″C ″即为所求． 课堂小结1．本节课我们学习了哪些内容？2．位似图形与一般相似图形相比，有哪些特殊性？ 3．利用位似作图的步骤有哪些？第2课时 平面直角坐标系中的位似教学目标1．让学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形．2．让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用． 预习反馈阅读教材P48～50，以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律，并完成下列预习内容．(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？答：线段缩小后，点A ，B 的坐标与其对应点的坐标的比为13.(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为k ． (3)△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A 1(6，－8)，则△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比是12．(4)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1(2，4)，B 1(2，0)，C 1(6，6)．例题讲解：例 (教材P49例)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0)．以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32.【解答】 如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A ′(－3，6)，B ′(－3，0)，O(0，0)．顺次连接点A ′，B ′，O ，所得△A ′B ′O 就是要画的一个图形．【点拨】 作位似变换时，要先弄清点的坐标的变化情况，求出变换后对应的坐标．然后在坐标中描出对应点，连线即可．【跟踪训练】 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)． (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点M 为位似中心，在网格中画出△A 1B 1C 1的位似图形△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1的相似比为2∶1.解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求． 巩固训练1．某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的12，连接各点所得图形与原图形相比(C)A ．完全没有变化B ．扩大成原来的2倍C ．面积缩小为原来的14D ．关于纵轴成轴对称2．如图所示的△ABC ，以A 点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标．解：根据题意，图中的△AB 1C 1就是满足题意的三角形，其中A 点的坐标不变，仍是(－3，－1)，B 1，C 1的坐标分别为(3，－3)，(1，3)．课堂小结1．本节课学习了什么内容？2．想一想位似作图与平移作图、轴对称作图、旋转作图有什么共同点？。
人教版数学九年级下册第27章《相似》课堂教学设计
人教版数学九年级下册第27章《相似》课堂教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册第27章《相似》主要介绍了相似图形的性质和判定。
本章内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习函数、解析几何等知识点奠定基础。
本章内容涉及的概念和性质较多，学生需要通过实例理解和掌握相似图形的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已具备一定的几何知识基础，能理解并运用平行、相交、三角形、四边形等基本图形的性质。
但学生在学习过程中，对抽象概念的理解和运用仍有困难，需要通过具体实例和动手操作来加深理解。
此外，学生对数学语言的表达和逻辑推理能力有待提高。
三. 教学目标1.理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质。
2.学会判定两个图形是否相似，并能运用相似性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑推理能力和数学语言表达能力。
四. 教学重难点1.相似图形的概念和性质。
2.判定两个图形相似的方法。
3.相似图形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物模型和几何画板软件展示相似图形的性质和判定。
2.运用案例分析法，让学生通过分析具体实例，理解和掌握相似图形的性质。
3.采用分组合作法，让学生在小组内讨论和探究相似图形的问题，培养学生的团队协作能力。
4.运用问答法，引导学生积极思考，提高学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.准备相应的教案和教学课件。
2.准备实物模型和几何画板软件。
3.准备相关案例分析和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实物模型和几何画板软件，引导学生观察和分析，提出问题：“这些图形有什么共同特点？”让学生思考和讨论，引出相似图形的概念。
2.呈现（10分钟）讲解相似图形的定义和性质，通过实例和几何画板软件展示相似图形的判定方法。
引导学生理解和掌握相似图形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给定的图形，判断它们是否相似。
每组选取一个代表进行回答，教师点评并给予指导。
4.巩固（10分钟）让学生运用相似图形的性质解决实际问题，如计算图形面积、比例问题等。
人教版九年级数学下册第二十七章相似(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如照片的放大与缩小）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似图形的奥秘。
另外，在小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不太感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。针对这个问题，我计划在下次课中尝试引入更多有趣的讨论主题，并鼓励学生大胆发表自己的看法，提高他们的参与度。
在总结回顾环节，我注意到有些学生对相似知识的应用还不是很熟练。为了帮助他们更好地消化吸收所学知识，我决定在课后布置一些与实际生活紧密相关的练习题，让学生们在完成作业的过程中加深对相似知识的理解。
人教版九年级数学下册第二十七章相似（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学下册第二十七章相似：
1.理解相似图形的概念；
2.掌握相似图形的性质；
a.对应角相等
应边成比例
3.学习相似三角形的判定方法；
a. AA相似定理
b. SSS相似定理
c. SAS相似定理
4.应用相似知识解决实际问题；
5.实践活动：观察生活中相似的图形，理解其应用。
二、核心素养目标
1.培养学生空间观念和几何直观，能通过观察、分析、抽象出相似图形的特征；
2.提高学生逻辑推理能力，学会运用相似判定方法解决问题，培养严谨的数学思维；
3.增强学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养数学应用意识；
4.培养学生团队合作精神，通过实践活动，提高观察、发现、探索现实世界中的相似现象的能力。
1.讨论主题：学生将围绕“相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
新人教版九年级数学下册《第二十七章 相似 》全章教案
第二十七章相似第1课时（p24-25）27.1图形的相似（一）一、教学目标理解并掌握两个图形相似的概念．二、重点、难点1．重点：相似图形的概念与运用概念．2．难点：运用概念．三、课堂引入1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如教材P24画面，他们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子）（2）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图．（强调：见前面）（3）让学生再举几个相似图形的例子．2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．四、例题讲解（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）分析：因为图A是把图拉长了，而图D是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B与左图也不相似；而图C 是将左图绕正五边形的中心旋转180º后，再按一定比例缩小得到的，因此图C 与左图相似，故此题应选C.例（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离．解： 略答：北京到上海的实际距离大约是1120 km ．五、课堂练习 教材P25的练习题。
六．板书：根据比例尺=实际距离图上距离七、教学后记：27.1 图形的相似（二）第2课时（p36-38）一、教学目标1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．二、重点、难点1．重点：相似多边形的主要特征与识别．2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．三、例题的意图第26页内容的学习，要让学生了解判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；而若说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或举出合适的反例，在解决这个问题上，依靠直觉观察是不可靠的．四、课堂引入1．第26页内容：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．2．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．五、例题讲解例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．例（教材P26例题）．分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出正确的比例式．解：略例（补充）已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴ AB:BC:CD:DA= A1B1:B1C1:C1D1:D1A1．∵ A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，∴ AB:BC:CD:DA= 7:8:11:14．设AB=7m，则BC=8m，CD=11m，DA=14m．∵四边形ABCD的周长为40，∴ 7m+8m+11m+14m=40．∴ m=1．∴ AB=7，则BC=8，CD=11，DA=14．六、课堂练习1．教材P27练习1、2、3．2．教材P27习题1、2、4．七、课堂练习教材P27习题3、5．八、板书：1、相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2、相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．九、教学后记：27.2.1 相似三角形的判定（一）第3课时一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）． 3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的定理． 2．难点：三角形相似的预备的应用． 三、课堂引入 1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CAC B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且A C CAC B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P29“探究”，导出：（1）、平行线分线段成比例定理：按第41页内容讲解。
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第27章《相似》全章教案27．1 图形的相似（1）教学目标:1、知识与技能：通过实例知道相似图形的意义. 通过对生活中的事物或图形的观察，得理性认识，从而加以识别相似的图形．2、过程与方法:通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题．3、情感态度与价值观：在获得知识的过程中培养学习的自信心．教学重点:相似图形和相似多边形的意义.教学难点:探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.教学过程:一、创设情境，导入新课引导学生观察课本p24-图27.1—1每两个图形之间的相同之处与不同之处---这两个图形形状相同，大小不相同，它们叫什么图形？这两个图形只是形状相同，大小不相同，它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似.二、师生互动，探索新知：1、观察下列几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．（出示课题——图形的相似）2、对上面的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相似的图形。
归纳定义：相似图形----形状相同的两个图形叫做相似图形.3、你还见过哪些相似的图形，请举出一些例子与同学们交流．三、探究：1、思考教科书第25页的思考，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？2、观察下图中的3组图形，它们是不是相似形?为什么?(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)四、课堂练习完成课本第25页练习第1、2题。
五、课堂小结这节课你有哪些收获?六、课时作业1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．2、习题27.1第1、2题．27．1 图形的相似（2）教学目标:1、知识与技能：通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．2、过程与方法：经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；回顾相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。
3、情感态度与价值观：通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，在获得知识的过程中培养学习的自信心．发展审美能力，增强对图形欣赏的意识。
教学重点:相似图形和相似多边形的意义.教学难点:探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.教学过程:一、创设情境，导入新课观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边呢？这两个三角形的形状相同，所以它们是相似三角形.从图上看，这两个相似三角形的角有什么关系？（都等于60度）∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.这两个相似三角形的边有什么关系？AB与A′B′的比是ABA B（板书：ABA B），BC与B′C′的比是BCB C（板书：BCB C），CA与C′A′的比是CAC A（板书：CAC A），这三个比相等吗？----相等.为什么相等？△A′B′C′可以看成是△ABC缩小得到的，假如AB是A′B′的2倍，那么可以想象，BC也是B′C′的2倍，CA也是C′A′的2倍，所以这三个比相等。
观察相似三角形的特征，得出：三角相似的对应角相等、对应边成比例以及相似比．二、师生互动，探索新知：如图;这两个四边形形状相同，所以它们是相似四边形吗？.从图上看，这两个相似四边形的角有什么关系？∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，∠D=∠D ′.AB A B =BC B C =CA C A =DAD A. 这四个比为什么相等？四边形A ′B ′C ′D ′可以看成是四边形ABCD 放大得到的，假如AB 是A ′B ′的一半，那么可以想象，BC 也是B ′C ′的一半，CD 也是C ′D ′的一半，DA 也是D ′A ′的一半，所以这四个比相等.归纳总结:从这两个例子，大家想一想，你能得出一个什么结论？ 相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.我们知道，形状相同的多边形是相似多边形.但是，什么样才算形状相同呢？从这两个 论我们可以看到，对多边形来说，所谓形状相同，实际上指的就是对应角相等，对应边的比也相等.对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.所以，现在我们可以给相似多边形下一个更明确的定义.对应角相等，对应边的比也相等的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.三、例题讲解例1：（教材P26-例） 如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α、β的大小和EH 的长度x.解：四边形ABCD 和EFGH 相似，它们的对应角相等，由此可得:∠α= ∠C=83°， ∠A=∠E=118°在四边形ABCD 中，∠β=360°-（78°+83°+118°）= 81°四边形ABCD 和EFGH 相似，它们的对应边的比相等，由此可得即 解得 x=28四、 课堂练习完成课本第27页练习第1、2、3题。
////A B C D DA BC EH EF AD ABx 242118五、课堂小结这节课你哪些收获?六、课时作业习题27.1第5、6题．27．2．1相似三角形的判定（1）教学目标:1、知识与技能：了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”。
2、过程与方法：培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力。
3、情感态度与价值观：让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
教学重点:平行线分线段成比例定理和推论及其应用．教学难点:平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．教学过程:一、创设情境，导入新课1、复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义2、相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义对应角相等，三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形。
相似三角形对应边的比叫相似比。
那么，怎样判断两个三角形相似呢？这节课我们就来探究这个问题。
二、师生互动，探索新知：师生共同探究，归纳得出：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得到的对应线段的比相等把这个定理应用到三角形中，会出现下面两种情况如下图：∆22∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=12BC即可，学生不难想到过E作EF∥AB。
∆ADE∽∆ABC，相似比为12。
延伸问题：改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后验证。
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三、课堂练习教材P31-练习第1、2题四、课堂小结1、平行线分线段成比例定理2、平行线分线段成比例定理推论3、判定三角形相似的定理五、作业布置教材P42-习题27·2第1题F27．2．1相似三角形的判定（2）教学目标：1、知识与技能：掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理；掌握两组对应边 的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。
2、过程与方法：会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。
3、情感态度与价值观：通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。
教学重点：掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似教学难点：探究两个三角形相似的条件；运用两个三角形相似的判定定理解决问题。
教学过程:一、创设情境，导入新课学习三角形全等时，我们知道，除了可以利用全等三角形定义来判定两个三角形全等，还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法？就是SSS 、SAS 、ASA 、AAS.同样，判定两个三角形相似，有没有简便的判定方法？相似三角形的定义，可以用来判定两个三角形相似，但利用定义判定，既要证明三组对应角相等，又要证明三组对应边的比相等，所以比较麻烦.怎么解决这个问题呢？下面我们一起来探究这个问题.二、师生互动，探索新知：探究：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原三角形各边长的K 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。
容易发现，这两个三角形是相似的，我们可以利用上面的定理进行证明。
如图：27.2-4，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，ABBC CAA B B C C A， 求证：△ABC ～△A ′B ′C ′AA'DE证明：在线段AB 、AC 上截取AD= A ′B ′, 过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E ，根据前面的定理可得△ABC ～△ADE∴又∵∴∴ AE=A ′C ′ , DE=B ′C ′又∵ AD=A ′B ′∴△ADE ≌△A ′B ′C ′ ∴ △ABC ～△A ′B ′C ′ 从而得出：相似三角形的判定定理---如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单说成：三边成比例的两个三角形相似全等三角形判定定理SAS 是怎么说的？如果两个三角形两边对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.提出问题：利用刻度尺和量角器画∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使∠A=∠A 1，11AB A B 和11ACA C 都等于给定的值k ，量出它们的第三组对应边BC 和B 1C 1的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B 1，∠C 与∠C 1是否相等？（学生独立操作并判断）分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC 和B 1C 1的比都等于k ，另外两组对应角∠B=∠B 1，∠C=∠C 1。
延伸问题：改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。
）归纳得出相似三角形的判定定理-----如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 符号语言：若∠A=∠A 1，11AB A B =11ACA C =k ，则∆ABC ∽∆A 1B 1C 1AB CABC BC DEAC AE ==AB AD ,,,,,,,B A AD BCC B AC C A ===AB B A ,,==BCDEAC AE BC C B AC C A ,,,,=（定理的证明由学生独立完成）三、例题讲解例1：（教材P33-例1）根据下列条件，判断∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm ；A、B、= 12cm，B、C、=18cm , A、C、=24cm（2）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm；∠A、＝1200，A、B、= 3cm，A、C、=6cm。