牵连运动(于万堂)

牵连运动1．模型飞机以相对于空气h km /39的速度绕着一个边长为km 2的等边三角形飞行，设风速h km u /21=，方向与三角形的一边平行，并和飞机起飞方向相同，问：飞机绕三角形一周需要多少时间？2.几辆相同的汽车以等速度v 沿宽为c 的直公路行驶，每车宽为b ，前后两车头尾间距为a ，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少？3．一辆坦克以速度v 1=54km/h 行驶，子弹与坦克的运动方向成角060=ϕ以速度h km v /18000=射到坦克的正面防护板上，被板弹开。

求弹开的子弹将以怎样的速度飞行？4.一帆船在静水中顺风飘行，风速为v0，问：船速多大时，风供给船的功率最大？（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直）5.在海面上有三艘轮船，船A以速度u向正东方向航行，船B以速度2u向正北方向航行，船C以速度22u向东偏北45º方向航行。

在某一时刻，船B和C恰好同时经过船A的航线并位于船A的前方，船B到船A的距离为a，船C到船A的距离为2a.若以此时刻作为计算时间的零点，求在t时刻B、C两船间距离的中点M到船A的连线MA绕M点转动的角速度。

关系1:杆上各点沿杆方向的速度方向分量相等。

[相关练习]1.如图，一杆一端靠在光滑的竖直墙面上，一端放在光滑的 水平面上，当杆下滑至如图所示的位置时.(1) 杆端A 点和B 点速度关系是什么?(2) A 相对于B 作什么运动?【发散1】四根同样的硬杆长均为L ，杆端用铰链相连，构成菱形，其对角线BD 比对角线AC 长，菱形平放在桌面上，某时刻A 和C 两顶点以同样大小的速度v 沿直线AC 朝相反的方向开始运动，求当菱形变成正方形时顶点B 相对桌面的加速度？关系2:用两根绳连接的物体，沿绳方向的速度相等（因为绳不可伸长）。

[相关练习]1.人拉船过程中，人的速度为0v 假设绳子与水平方向的夹角为θ时，船的速度多大？如果在人匀速拉船，则船做的是什么运动？如果此时船和滑轮之间的绳长为l ，人的速度为0v ，绳子与水平方向的夹角为 ，船运动的加速度为a,则此时人的加速度为多大？【发散1】距离河岸（看成直线）500m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为min /1r 转动，当光速与岸边成600时，光束沿岸边移动的速率为______________【发散2】如图所示，AB 为水平的光滑细杆，另一细杆OP 可饶AB 上方距AB 高为h 的O 轴转动，两杆都穿过环Q 。

若使OP 杆饶O 以角速度ω逆时针转动，则当OP 与竖直方向的夹角为300时，环Q 的速度为多大？[发散3]（清华2011）如图，纸面内两根足够长的细杆ab 、cd 都穿过小环M ，杆ab 两端固定，杆cd 可以在纸面内绕过d 点并与纸面垂直的定轴转动。

若杆cd 从图示位置开始，按照图中箭头所示的方向，以匀角速度转动，则小环M 的加速度A ．逐渐增加 B. 逐渐减小 C ．先增加后减小 D. 先减小后增加αA B OP Q【发散4】如图所示，在绳的A 端以速率v 做匀速收绳从而拉物体M 做水平方向的直线运动，当绳AB 与水平方向恰好成α角时，物体的速度为___________。

关系3:两个相互接触的刚体，可将其运动沿切线方向和法线方向分解，则沿着法线方向的速度相等。

[相关练习]1..如图，三个相同的圆柱体紧靠在在一起后开始运动，达到如图位置.如果此时A 球的速度大小为A v ，则此时B 球的速度为多大？2.如图，一个倾角为θ的斜面靠墙放在光滑的水平面上，一个半径为R 的圆柱体靠着光滑的竖直墙面放在斜面上，如果此时圆柱体的速度为1v ，斜面体的速度为2v ，则21v v 和的关系为________3.顶杆AB 可在竖直滑槽K 内滑动，其下端由凸轮M 推动，凸轮绕O 点以角速度ω转动，在图示的瞬间，r OA =，凸轮轮缘与A 接触处的法线n 与OA 的夹角为α，试求此瞬间AB 的速度为_______4一个半径为Ｒ的半圆柱体沿水平方向向右作加速度为ａ的匀加速运动，在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，当圆柱体速度为ｖ时，杆与半圆柱体接触点Ｐ与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。

关系4:交点或特殊点问题1.两个相同的正方形铁丝框如图所示放置，它们沿对角线方向分别以速度v 和2v 向两边运动，则两线框的交点M 的运动速度大小为（ ）。

(A ) v 26(B ) v 210 (C ) v 223 (D ) v 22O ω B KA n θ O PR 2vv2.一个半径为R 的环（环心为O 2）立在水平面上，另一个同样大小的环（环心为O 1）以速度v 从前一环的旁边经过。

试求当两环的环心相距为d （2R>d>0）时，两环上部的交点A 的运动速度。

两环很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一个环擦过去的。

[综合训练]1.如右图所示，A 物块以速度v 沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B 在水平方向上运动．当细绳与水平面成夹角为θ时，则v B = 。

2.如图所示，一根细绳绕过两个相距2a 的定滑轮(滑轮大小不计)，细绳两端分别静止吊着相同的物体A 和物体B ．现于两个滑轮间绳子的中点处挂一物体C ，当C 下落距离b 时，其速率为v ，则此时A 、B 的速率为( )A.vB.bb a v 222+ C.22b a bv + D.bb a v 22+3.如图所示，重物A 、B 由刚性绳拴接，跨过定滑轮处于图中实线位置，此时绳恰好拉紧，重物静止在水平面上，用外力水平向左推A ，当A 的水平速度为v A 时，如图中虚线所示，求此时B 的速度v B ＝______。

AO 2O 14．两只小环O 和O ′分别套在静止不动的竖直杆AB 和A ′B ′上，一根不可伸长的绳子一端系在A ′点上，并穿过环O ′，另一端系在环O 上，如图4所示．若环O ′以恒定速度v '向下运动，求当∠AOO ′＝α时，环O 的速度v ＝?5.如图所示，在水平地面上，用两根不可伸长的绳子AM 和BM 共同拉动一个物体。

某刻，绳端A 点和B 点移动的速度分别为v 1和v 2，v 1沿MA 方向且与地面平行，v 2沿MB 方向且与地面平行，α=AMB ∠，求此刻物体的移动速度。

6.如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为 3 : 2 : 1．顶点 A 3 以速度 v 沿水平方向移动，那么当构件的所有角均为 90 时，求顶点 A 1，A 2，B 2的即时速度．ABv 1 v 2 α M7.如图所示，合页构件由两菱形组成，边长分别为２L和L，若顶点Ａ以匀加速度ａ水平向右运动，当BC 垂直于OC 时，A 点速度恰为v ，求此时（1）B点的速度，C点的速度；（2）B点的加速度和C 点的加速度8..A，B，C三个芭蕾舞演员同时从边长为l的三角形顶点A，B，C出发，以相同的速率v 运动；运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A.试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路径？9.边长为a的正n边形A1、A2、…、An各顶点上均有一个人，某刻，这些人同时开始以相等的速率v运动，运动中始终保持A1朝着A2，A2朝着A3，…，An朝着A1,问他们每人各自通过多长的路程而相遇？10．一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进行一段给定的路程。

木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。

设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。

下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是A、雨点下落的速度B、单位体积中的雨点数C、车行进的速度D、木板的面积11．放映电影时，看到影片中的一辆马车从静止起动，逐渐加快。

在某一时刻车轮开始倒转。

已知电影放映机的速率是每秒30幅画面，车轮的半径是0.6米，有12根辐条。

车轮开始倒转时马车的瞬时速度是__________米/秒。

12.有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。

现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。

每隔一相等的确定的时间间隔T 拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。

从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。

求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H 表示）的可能值以及与各H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。

抛体运动抛体运动是一种重要的曲线运动形式，按照抛出的初速度的方向与重力方向的关系，可将抛体运动划分为竖直上抛、竖直下抛、平抛和斜抛。

根据运动的叠加原理，抛体运动一般可以分解为竖直方向的匀变速直线运动和水平方向的匀速直线运动。

以斜上抛为例，如图所示，取抛体轨迹平面为Oxy 平面，抛出点为坐标原点，则抛体运动的规律为： 0a x =θcos v v 0x =g a y -= gt sin v v 0y -=θ t cos v x 0•=θ20gt 21t sin v y -•=θ 其轨迹方程为：2220x cos 2v g x tg y θθ-= 斜抛运动还有一种接法是：沿着初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动。

当然还有其它解法，怎么分解要视问题而定。

[相关练习]1、从底角为 的斜面顶端，以初速度0v水平抛出小球，不计空气阻力，若斜面足够长，则小球抛出后离开斜面的最大距离H为多大？2.如图所示，在圆柱形屋顶的天花板上的O点，挂一根L=3m的细绳，绳的下端系一质量m=0.5kg的小球。

细绳的最大张力为10N，小球在水平面内做圆周运动，当速度增大到绳断裂后，小球以v=9m/s的速度落到墙边，求这个圆柱形屋顶的高度H和半径R。

3.(2012清华)小球从台阶上以一定初速度水平抛出，恰落到第一级台阶边缘，反弹后再次落下经0.3s 恰落至第3级台阶边界，已知每级台阶宽度及高度均为18cm ，取g=10m/s 2。

且小球反弹时水平速度不变，竖直速度反向，但变为原速度的14。

（1）求小球抛出时的高度及距第一级台阶边缘的水平距离；（2）问小球是否会落到第5级台阶上？说明理由。

4.仓库高20m 、宽40m ,在仓库前某处A 点抛一石块过屋顶，试问A 距仓库多远处时，所需要的初速度0v 最小？此时0v 为多少？（g=10m/s 2）5.如图所示，在高为h 的山顶向平地放炮，若炮弹的出口速度的大小为0v ，问0v 与水平方向夹角α为多大时，水平射程最远？6.如图所示，一小球自A 点以初速0v 与水平成θ角抛出，最后落在B 点。

球抛出的同时，人从C 点向B 点跑保持等速率为1v ，人与球同时到达B 点，已知BC =0x ，人与球的连线与水平所成之角度α，证明：tan α与时间t 成正比。