第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念

第三章 数系的扩充与复数的引入
§3.1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念 课时目标 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数系的扩充过程.2.了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件．
1．复数的概念及代数表示
(1)定义：形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝______.
(2)表示：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的________与________．
2．复数的分类
(1)复数a ＋b i (a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩
⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0).
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔______________.
一、选择题
1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( )
A ．1， 3
B ．1＋3，0
C ．0,1＋ 3
D ．0，(1＋3)i
2．a 为何值时，复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 表示纯虚数( )
A ．a ≠2或a ≠1
B ．a ≠2且a ≠1
C ．a ＝0
D ．a ＝2或a ＝0
3．若(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i (x ，y ∈R )，则x ，y 的值分别为( )
A ．1,2
B ．2,1
C ．－1,2
D ．－2,1
4．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知k ∈R ，方程x 2＋kx ＋3x i ＋4＋k ＝0一定有实根的充要条件是( )
A ．|k |≥4
B ．k ≥2＋25或k ≤2－2 5
C ．k ＝±3 2
D ．k ＝－4
二、填空题
6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．
7．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a ＝______.
8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．
三、解答题
9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1
＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
10．已知x 2－x －6x ＋1
＋(x 2－2x －3)i ＝0 (x ∈R )，求x 的值．
能力提升
11．设a ，b ∈R ，若a ＋b ＋i ＝10＋ab i(i 为虚数单位)，则(a －b )2等于( )
A ．－12
B ．－8
C ．8
D ．10
12．如果m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么
使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？
1．利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部虚部应满足的条件，求参数时，
可由此列出方程组求解．但注意考虑问题要全面．
2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
§3.1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
答案
知识梳理
1．(1)－1 (2)实部 虚部
3．a ＝c 且b ＝d
作业设计
1．C [(1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ， 所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.]
2．C [由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧ a 2－2a ＝0，a 2－a －2≠0， ∴a ＝0时，z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 为纯虚数．]
3．A [(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i
⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 7－3x ＝2y ，3y ＝2(x ＋2)⇒⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 即x ，y 的值分别为1,2.]
4．C [若a ＝b ＝0，则(a －b )＋(a ＋b )i 不是纯虚数，
若(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，则⎩
⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，a ＋b ≠0.] 5．D [设方程的实根为x ，
则x 2＋kx ＋4＋k ＋3x i ＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2＋kx ＋4＋k ＝0，3x ＝0，∴k ＝－4.故选D.] 6．－1
解析 若M ∩N ＝{3}，则m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3m 2－5m －6＝0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＝4或m ＝－1m ＝6或m ＝－1， ∴m ＝－1.
7．－4
解析 若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3a ＝a 2－a 2＝4a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋3a －4＝0a 2＋4a ＝0 ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－4或a ＝1a ＝0或a ＝－4. ∴a ＝－4.
8．{3}
解析 ∵若使复数可以比较大小，
∴两个数必须为实数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，
m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0或3，m ＝1或3，－10<m <10，
∴m ＝3.
9．解 (1)当z 为实数时，则有：
⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴a ＝6. ∴当a ＝6时，z 为实数．
(2)当z 为虚数时，则有：
⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≠－1且a ≠6，a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6.
∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．
(3)当z 为纯虚数时，则有： ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠－1且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．
10．解 由复数相等的定义得
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋1
＝0，x 2－2x －3＝0.
解得：x ＝3，∴x ＝3为所求．
11．C [由复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝10ab ＝1 ⇒(a －b )2＝a ＋b －2ab ＝10－2＝8.] 12．解 由z 1>z 2，z 1<z 2可知z 1∈R ，z 2∈R ， ∴当z 1>z 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m 3＋3m 2＋2m ＝0， ①m 3－5m 2＋4m ＝0， ②
m 2＋1>4m ＋2， ③
由①②解得m ＝0，不能满足③式，
∴使z 1>z 2的m 的值的集合为空集．
由以上可知，m ＝0时，m 2＋1<4m ＋2，
∴使z 1<z 2的m 的值的集合为{0}．。