第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念

第三章 数系的扩充与复数的引入

§3.1 数系的扩充和复数的概念

3．1.1 数系的扩充和复数的概念 课时目标 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数系的扩充过程.2.了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件．

1．复数的概念及代数表示

(1)定义：形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝______.

(2)表示：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的________与________．

2．复数的分类

(1)复数a ＋b i (a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩

⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0).

(2)集合表示：

3．复数相等的充要条件

设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔______________.

一、选择题

1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( )

A ．1， 3

B ．1＋3，0

C ．0,1＋ 3

D ．0，(1＋3)i

2．a 为何值时，复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 表示纯虚数( )

A ．a ≠2或a ≠1

B ．a ≠2且a ≠1

C ．a ＝0

D ．a ＝2或a ＝0

3．若(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i (x ，y ∈R )，则x ，y 的值分别为( )

A ．1,2

B ．2,1

C ．－1,2

D ．－2,1

4．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

5．已知k ∈R ，方程x 2＋kx ＋3x i ＋4＋k ＝0一定有实根的充要条件是( )

A ．|k |≥4

B ．k ≥2＋25或k ≤2－2 5

C ．k ＝±3 2

D ．k ＝－4

二、填空题

6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．

7．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a ＝______.

8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．

三、解答题

9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1

＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

10．已知x 2－x －6x ＋1

＋(x 2－2x －3)i ＝0 (x ∈R )，求x 的值．

能力提升

11．设a ，b ∈R ，若a ＋b ＋i ＝10＋ab i(i 为虚数单位)，则(a －b )2等于( )

A ．－12

B ．－8

C ．8

D ．10

12．如果m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么

使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1

1．利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部虚部应满足的条件，求参数时，

可由此列出方程组求解．但注意考虑问题要全面．

2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．

§3.1 数系的扩充和复数的概念

3．1.1 数系的扩充和复数的概念

答案

知识梳理

1．(1)－1 (2)实部 虚部

3．a ＝c 且b ＝d

作业设计

1．C [(1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ， 所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.]

2．C [由已知得⎩

⎪⎨⎪⎧ a 2－2a ＝0，a 2－a －2≠0， ∴a ＝0时，z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 为纯虚数．]

3．A [(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i

⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 7－3x ＝2y ，3y ＝2(x ＋2)⇒⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 即x ，y 的值分别为1,2.]

4．C [若a ＝b ＝0，则(a －b )＋(a ＋b )i 不是纯虚数，

若(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，则⎩

⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，a ＋b ≠0.] 5．D [设方程的实根为x ，

则x 2＋kx ＋4＋k ＋3x i ＝0，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧ x 2＋kx ＋4＋k ＝0，3x ＝0，∴k ＝－4.故选D.] 6．－1

解析 若M ∩N ＝{3}，则m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3m 2－5m －6＝0⇒⎩

⎪⎨⎪⎧ m ＝4或m ＝－1m ＝6或m ＝－1， ∴m ＝－1.

7．－4

解析 若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，

则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3a ＝a 2－a 2＝4a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋3a －4＝0a 2＋4a ＝0 ⇒⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝－4或a ＝1a ＝0或a ＝－4. ∴a ＝－4.

8．{3}

解析 ∵若使复数可以比较大小，

∴两个数必须为实数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，

m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0或3，m ＝1或3，－10

∴m ＝3.

9．解 (1)当z 为实数时，则有：