误差分析及绪论习题-复习题
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当 t 增加时 s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.
解: (t * ) 0.1
s 1 gt 2 , s gt , s 1 t 2 , (g * ) 0
2
t
g 2
(s* ) | (s )* | (t * ) | ( s )* (g * ) | gt* * 0.1 10 1 gt*
1
6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个
单位。摄指出他们是几位有效数字。 解：(1) x1* =1.1021 是五位有效数字。
(2)
x
* 2
=0.031
(2 位)
(3)
x
* 3
=385.6
(4 位)
(4)
x
* 4
=56.430
(5 位)
(5)
x
* 5
=7*1.0
(2 位) .
z f ( y) ln y , 由 y 的 误 差 限 | y y* | 求 f ( y) 的 误 差 限
(z* ) | ln y ln y* | .
解 : 当 x 30 时 求 y 30 302 1 用 六 位 开 平 方 表 得
y* 30 29.9833 0.0167 故
| y y* | 1 *104
385.6 * (1.1021* 1 *104 0.031* 1 *103 ) 1.1021* 0.031* 1 *101 0.215
2
2
2Байду номын сангаас
...
(111)
x 2*
x4*
解 (
x2*
)
|
x2*
|
(x2* )
|
x4*
|
(x4* )
0.031*
1 2
*103
56.430 *
1 2
*103
x4*
| x* | (x* )
即 (ln x* ) | x x* | 1 。 | x* | 1 1
6‘-为了减少运算次数，应将表达式.
16x5
17x4 18x3 14x2 13x x4 16x2 8x 1
1
改写为；
答案：
16
x 17x x 0x
18x 16 x
14x 13x 8x 1
| x4* |2
(56.430) 2
=8.87*106 .
8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径 R 是允许的相对误差限 是多少?、
解: 已知 dv 1% , 由 v 4 r 3
v
3
4 3
r
2
*3
dr
3
dr
1%
4 r 3
r
3
dr 1 % 0.33% r3
9、设 s 1 gt 2 假定 g 是准确的 , 而对 t 的测量有 0.1秒的误差 , 证明 2
( 已知 399 19.975 )
5、设 x 0 , x* 的相对误差为 求 ln x 的误差。
6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个 单位。摄指出他们是几位有效数字。
解：(1) x1* =1.1021 是五位有效数字。
(2)
x
* 2
=0.031
(2 位)
(3)
x
* 3
=385.6
(4 位)
(4)
x
* 4
=56.430
(5 位)
(5)
x
* 5
=7*1.0
(2 位) .
7、 求下 列各近似值得误差限 .
.
..
(1)
x1*
x
* 2
x3*
,
(1
1
)
x1*
x
* 2
x3*
，
第 6 题 所给的数 .
...
(111)
x2* , x4*
其中 x1* , x2* , x3* , x4* 均为
)
(x1*
x
* 2
x4* )
(x1* )
(x2* )
(x4* )
有绝对误差限公式 |
x1
x*
|
1 2
*10mn1
.
(1)
1
*104
1
*104
1
*103
1.05*103
2
2
2
. .
(11) (x1* x2* x3* ) | x3* | (x1* x2* ) | x1* || x2* | (x3* ) | x3* | | x1* | (x1* ) | x2* | (x2* ) | x1* || x2* | (x3* )
* 2
20
19 .975
0.02500
| (x1) || x1 x1* ||
399 19.975 || 19.97498419.975 | 0.00001565 1 *104 0.00005 2
| (x2 ) || x2 x2* ||
399 19.975 | 1 *104 2
可见 x1, x2 有四位有效数字.
已知 x* 的相对误差限 满足 | x x* | <1 而 f (x) ln x , f (x) 1 ,
| x* |
x
| x x* | (x* ) | x* |
, 故 | ln x ln x* | max | 1 || x x* | | x x* |
x |xx*| ( x*)
课本例外补充习题 (第一章)
1. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝 对误差限,相对误差限和有效数字的位数?
2.为了使 11 的近似值的相对误差 0.1% , 问至少应取几位有效数字?
3.如果利用四位函数表计算 1 cos2 试用不同方法计算并比较结果的误差.
4.求方程 x2 40x 1 0 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.
误差有多大?若改用另一个等价公式 ln(x x2 1) ln(x x2 1) 计算 ,求 对数时误差由多大?
课本例外补充习题 (第一章)答案
2. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝 对误差限,相对误差限和有效数字的位数?
2.为了使 11 的近似值的相对误差 0.1% , 问至少应取几位有效数字?
解:
11 3.3166 , a1 3
,
|
* r
(
x)
|
1 2 * a1
*10 n1
0.1%
10n1 6 1000
(-n+1)lg10 lg6-lg1000= -n+1 0.77815 –3
-n+1 -2.2218 n 3.2218 .
n=4 . 说明应取 4 位有效数时相对误差限 0.1% .
误差有多大?若改用另一个等价公式 ln(x x2 1) ln(x x2 1) 计算 ,求 对数时误差由多大?
分 析 : 由 于 f (x) ln(x x2 1) , 求 f (x) 的 值 应 看 成 复 合 函 数 先 令
y x x2 1 , 由于开平方用六位函数表则 y 的误差为已知故应看成
8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径 R 是允许的相对误差限
是多少?、
9、设 s 1 gt 2 假定 g 是准确的 , 而对 t 的测量有 0.1秒的误差 , 证明 2
当 t 增加时 s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.
10、 f (x) ln(x x2 1) 求 f (30) 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时
7、 求下 列各近似值得误差限 .
.
..
(1)
x1*
x
* 2
x3*
,
(1
1
)
x1*
x
* 2
x3*
，
第 6 题 所给的数 .
...
(111)
x2* ,
x4*
其中 x1* , x2* , x3* , x4* 均为
.
解:
(1) x1* x2* x3*
用
p7
公式 (x1*
x2* )
(x1* )
(
x
* 2
1 cos2 2sin 2 1 6.09*104 ,
只有 3 位有效数字.准确值
1 cos2 6.0917*104 , 故 以 上 3 种 算 法 误 差 限 分 别 为
0.1*10 4 ,0.0003 *10 4 ,0.002 *10 4 .
4.求方程 x2 40x 1 0 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.
5、设 x 0 , x* 的相对误差为 求 ln x 的误差。
解 ： 求 ln x 的 误 差 限 就 是 求 f (x) ln x 的 误 差 限 。 由 公 式
f (x* ) | f (x* ) | (x* ) 有f (x* ) | f (x) f (x* ) | max | f (x) | (x* ) |xx*| ( x* )
y* 30 899 59.9833 因 此 | y y* | 1 *104 , z z* 1 ( y y* )
2
y*
于是
(z*)
|
z
z* |
|
y |
y* y* |
|
0.5 *104 59.9833
0.834 *10 6
时误差比前面的误差小得多.
可见改用公式
第一章
3
1、
x
4
求G-矩阵T使得
t
g
r (s*)
(s* ) | s* |
101 gt* 1 g(t * )2
1 st *
,
由 (s* ) 10 1 gt*
,
已知 r
(s* )
1 st *
2
当 t 增加时 s 的绝对误差 (s* ) 增加 , 而 r (s* ) 减少.
10、 f (x) ln(x x2 1) 求 f (30) 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时
Tx
|
x
|
e1
5
5
解：
T12
(c,
s)中c
3
/
5,
s
4
/
5, T12
x
0
)
,
5
T13(c, s)中c 1/ 2, s 1/ 2,
5 2
T12T13x 0 | x | e1
0
T T12T13
3.如果利用四位函数表计算 1 cos2 试用不同方法计算并比较结果的误差.
解: 用四位函数表值接计算1 cos2 1 0.9994 0.0006 , 只有 1 位有效数字.
1 cos 2
sin 2 2 1 cos 2
(0.03490 )2 1.9994
6.092 *10 4
只有 4 位有效数字.
由
z f ( y) ln y 得
2
f ( y)
1故 y
z z* 1 (y y*) y*
,
于是 (z* ) | z z* | | y y* | 0.5 *104 0.3*102 , 若改用公式 | y* | 0.0167
f (x) ln(x x2 1) 则 先令 y x x2 1 此时 z f ( y) ln y 则
( 已知 399 19.975 )
解: x1 40
1600 4 40 2 400 1 20
2
2
399 39.975
x1* 20 19.975 ,
x2
1 39.975
0.0250151
,
由伟大定理
1 x1
x2
, (x1 * x2 1)
,故
x2
40
2
400 2
1
20
399
x
解: (t * ) 0.1
s 1 gt 2 , s gt , s 1 t 2 , (g * ) 0
2
t
g 2
(s* ) | (s )* | (t * ) | ( s )* (g * ) | gt* * 0.1 10 1 gt*
1
6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个
单位。摄指出他们是几位有效数字。 解：(1) x1* =1.1021 是五位有效数字。
(2)
x
* 2
=0.031
(2 位)
(3)
x
* 3
=385.6
(4 位)
(4)
x
* 4
=56.430
(5 位)
(5)
x
* 5
=7*1.0
(2 位) .
z f ( y) ln y , 由 y 的 误 差 限 | y y* | 求 f ( y) 的 误 差 限
(z* ) | ln y ln y* | .
解 : 当 x 30 时 求 y 30 302 1 用 六 位 开 平 方 表 得
y* 30 29.9833 0.0167 故
| y y* | 1 *104
385.6 * (1.1021* 1 *104 0.031* 1 *103 ) 1.1021* 0.031* 1 *101 0.215
2
2
2Байду номын сангаас
...
(111)
x 2*
x4*
解 (
x2*
)
|
x2*
|
(x2* )
|
x4*
|
(x4* )
0.031*
1 2
*103
56.430 *
1 2
*103
x4*
| x* | (x* )
即 (ln x* ) | x x* | 1 。 | x* | 1 1
6‘-为了减少运算次数，应将表达式.
16x5
17x4 18x3 14x2 13x x4 16x2 8x 1
1
改写为；
答案：
16
x 17x x 0x
18x 16 x
14x 13x 8x 1
| x4* |2
(56.430) 2
=8.87*106 .
8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径 R 是允许的相对误差限 是多少?、
解: 已知 dv 1% , 由 v 4 r 3
v
3
4 3
r
2
*3
dr
3
dr
1%
4 r 3
r
3
dr 1 % 0.33% r3
9、设 s 1 gt 2 假定 g 是准确的 , 而对 t 的测量有 0.1秒的误差 , 证明 2
( 已知 399 19.975 )
5、设 x 0 , x* 的相对误差为 求 ln x 的误差。
6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个 单位。摄指出他们是几位有效数字。
解：(1) x1* =1.1021 是五位有效数字。
(2)
x
* 2
=0.031
(2 位)
(3)
x
* 3
=385.6
(4 位)
(4)
x
* 4
=56.430
(5 位)
(5)
x
* 5
=7*1.0
(2 位) .
7、 求下 列各近似值得误差限 .
.
..
(1)
x1*
x
* 2
x3*
,
(1
1
)
x1*
x
* 2
x3*
，
第 6 题 所给的数 .
...
(111)
x2* , x4*
其中 x1* , x2* , x3* , x4* 均为
)
(x1*
x
* 2
x4* )
(x1* )
(x2* )
(x4* )
有绝对误差限公式 |
x1
x*
|
1 2
*10mn1
.
(1)
1
*104
1
*104
1
*103
1.05*103
2
2
2
. .
(11) (x1* x2* x3* ) | x3* | (x1* x2* ) | x1* || x2* | (x3* ) | x3* | | x1* | (x1* ) | x2* | (x2* ) | x1* || x2* | (x3* )
* 2
20
19 .975
0.02500
| (x1) || x1 x1* ||
399 19.975 || 19.97498419.975 | 0.00001565 1 *104 0.00005 2
| (x2 ) || x2 x2* ||
399 19.975 | 1 *104 2
可见 x1, x2 有四位有效数字.
已知 x* 的相对误差限 满足 | x x* | <1 而 f (x) ln x , f (x) 1 ,
| x* |
x
| x x* | (x* ) | x* |
, 故 | ln x ln x* | max | 1 || x x* | | x x* |
x |xx*| ( x*)
课本例外补充习题 (第一章)
1. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝 对误差限,相对误差限和有效数字的位数?
2.为了使 11 的近似值的相对误差 0.1% , 问至少应取几位有效数字?
3.如果利用四位函数表计算 1 cos2 试用不同方法计算并比较结果的误差.
4.求方程 x2 40x 1 0 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.
误差有多大?若改用另一个等价公式 ln(x x2 1) ln(x x2 1) 计算 ,求 对数时误差由多大?
课本例外补充习题 (第一章)答案
2. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝 对误差限,相对误差限和有效数字的位数?
2.为了使 11 的近似值的相对误差 0.1% , 问至少应取几位有效数字?
解:
11 3.3166 , a1 3
,
|
* r
(
x)
|
1 2 * a1
*10 n1
0.1%
10n1 6 1000
(-n+1)lg10 lg6-lg1000= -n+1 0.77815 –3
-n+1 -2.2218 n 3.2218 .
n=4 . 说明应取 4 位有效数时相对误差限 0.1% .
误差有多大?若改用另一个等价公式 ln(x x2 1) ln(x x2 1) 计算 ,求 对数时误差由多大?
分 析 : 由 于 f (x) ln(x x2 1) , 求 f (x) 的 值 应 看 成 复 合 函 数 先 令
y x x2 1 , 由于开平方用六位函数表则 y 的误差为已知故应看成
8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径 R 是允许的相对误差限
是多少?、
9、设 s 1 gt 2 假定 g 是准确的 , 而对 t 的测量有 0.1秒的误差 , 证明 2
当 t 增加时 s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.
10、 f (x) ln(x x2 1) 求 f (30) 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时
7、 求下 列各近似值得误差限 .
.
..
(1)
x1*
x
* 2
x3*
,
(1
1
)
x1*
x
* 2
x3*
，
第 6 题 所给的数 .
...
(111)
x2* ,
x4*
其中 x1* , x2* , x3* , x4* 均为
.
解:
(1) x1* x2* x3*
用
p7
公式 (x1*
x2* )
(x1* )
(
x
* 2
1 cos2 2sin 2 1 6.09*104 ,
只有 3 位有效数字.准确值
1 cos2 6.0917*104 , 故 以 上 3 种 算 法 误 差 限 分 别 为
0.1*10 4 ,0.0003 *10 4 ,0.002 *10 4 .
4.求方程 x2 40x 1 0 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.
5、设 x 0 , x* 的相对误差为 求 ln x 的误差。
解 ： 求 ln x 的 误 差 限 就 是 求 f (x) ln x 的 误 差 限 。 由 公 式
f (x* ) | f (x* ) | (x* ) 有f (x* ) | f (x) f (x* ) | max | f (x) | (x* ) |xx*| ( x* )
y* 30 899 59.9833 因 此 | y y* | 1 *104 , z z* 1 ( y y* )
2
y*
于是
(z*)
|
z
z* |
|
y |
y* y* |
|
0.5 *104 59.9833
0.834 *10 6
时误差比前面的误差小得多.
可见改用公式
第一章
3
1、
x
4
求G-矩阵T使得
t
g
r (s*)
(s* ) | s* |
101 gt* 1 g(t * )2
1 st *
,
由 (s* ) 10 1 gt*
,
已知 r
(s* )
1 st *
2
当 t 增加时 s 的绝对误差 (s* ) 增加 , 而 r (s* ) 减少.
10、 f (x) ln(x x2 1) 求 f (30) 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时
Tx
|
x
|
e1
5
5
解：
T12
(c,
s)中c
3
/
5,
s
4
/
5, T12
x
0
)
,
5
T13(c, s)中c 1/ 2, s 1/ 2,
5 2
T12T13x 0 | x | e1
0
T T12T13
3.如果利用四位函数表计算 1 cos2 试用不同方法计算并比较结果的误差.
解: 用四位函数表值接计算1 cos2 1 0.9994 0.0006 , 只有 1 位有效数字.
1 cos 2
sin 2 2 1 cos 2
(0.03490 )2 1.9994
6.092 *10 4
只有 4 位有效数字.
由
z f ( y) ln y 得
2
f ( y)
1故 y
z z* 1 (y y*) y*
,
于是 (z* ) | z z* | | y y* | 0.5 *104 0.3*102 , 若改用公式 | y* | 0.0167
f (x) ln(x x2 1) 则 先令 y x x2 1 此时 z f ( y) ln y 则
( 已知 399 19.975 )
解: x1 40
1600 4 40 2 400 1 20
2
2
399 39.975
x1* 20 19.975 ,
x2
1 39.975
0.0250151
,
由伟大定理
1 x1
x2
, (x1 * x2 1)
,故
x2
40
2
400 2
1
20
399
x