奇偶性与单调性例题讲解

奇偶性与单调性例题讲解

1

1

1 ig -，故 f

(-)工f (-).

3

2

2

f ( x )是奇函数而不是偶函数.

而(A )中函数是偶函数(不是奇函数)，(B )中函数是偶函数(也是奇函数)， (C )中函数既不是奇函数，也不是偶函数，只有(D )中函数是奇函数而不是偶 函数.

因此，本题应选(D).

本例可看到函数按奇偶性分类的情况.还可看到，要证明

f ( x ) (x € F )

不是偶函数，只要对F 中某个x o ，证明f ( — x o )工f ( x o )即可.

例2.若函数f(x) f a 为定义在闭区间［—1,1］上的奇函数，试确

x bx 1

定函数

f ( x )的解析式.

分析：确定函数f ( x )的解析式，这里即确定 a 、b 的值.依据方程的思 想，只要找出二个关于 a b 的制约条件，而这里的条件又只能从“ f (x )是［— 1，

1］上的奇函数”而来.

解：：f(x)干a 在［—1,1］上是奇函数，

x bx 1

••• f ( — x ) = — f ( x )对任意 x € ［ — 1，1］成立.

例1. 下列函数中，与函数 .1 y ig x -

一有

1 x

(A)

y = | x+1 | + | x

-

-1 1

(B)

(C)

1 x

y (x 1h

1 x

(D)

分析 1 x

:设 f (x) ig 则函数f (x

30

1

2x

)的定义域为(—1,1),并且此定

义域内任意 f ( x)

1

.1 x |

g

1 x

1 1

f (x)，又

f

( -) = lg3 , f (-)

y

y

x

x .

f ( -1) = - f ( 1 ), f (0 ) =0,

1 a 1 a 1 __1 a 门

0 . 1

解得 a = 0 , b = 0

这里运用奇函数定义时，还涉及到一般与特殊的关系.

还应注意，一般情况下，f (0 ) =0是f ( X )为奇函数的既非充分条件， 又非必要条件•若x = 0时，f (x )有意义，则f (0 ) =0是f ( x )为奇函 数的必要非充分条件.

例3.利用函数单调性定义，证明函数f ( x ) = x +丄在区间0,1上是

x

减函数.

证明：任取 X 1，X 2，使 0< x 1

1 1 f(X 2) f(Xj (X

2 ) (X 1

)

(X 2 X 1)

(X 2 X 1X X 1X 2

1)

X 1 x 2

■/ 0 < X 1 <1，0 < X 2 < 1，X 1< X 2，

X 2 - X 1 > 0，X 1X 2 > 0，0< x 1X 2 <1 .

f ( X 2 ) — f ( X 1 ) < 0，即 f ( X 2 ) < f ( X 1 ) ••• f ( x )在0,1上是减函数.

这是函数单调性中最基本的要求，既应注意“利用定义”所要求的特定的证 明步骤，还应注意不等式性质的正确使用.

例4.函数 y log^x 2 6x 8)的单调递增区间是 ______________________________ ;

3

单调递减区间是 _______________________ .

函数f ( x)的解析式是

f(x)

1 X 2

分析：由X2—6X+8 > 0，得已知函数的定义域为(一X，2) (4，+X).

2

又已知函数是由u = x —6X+8 (x < 2或x > 4 )与y log 1 u ( u > 0 )复

3

合而成的复合函数•

由于函数y log"在(0, +x)上是减函数；函数u = x2—6x+8 (x < 2 3

或x > 4 )在(—x, 2)上是减函数，在(4, +X)上是增函数，

•••已知函数的单调递增区间(一％, 2),单调递减区间是(4, +x).

复合函数y= f [ g( x)]的单调区间只能是其定义域的子区间.其单调

性与u = g ( x ),

例5.已知f ( x )是定义在(一x, +x)上的奇函数，且f ( x + y )=

f ( x ) + f ( y )对任意x, y€ R都成立.如果当x > 0时，f ( x ) < 0 .试判断函数f ( x )在区间(一x, +x)上的单调性，并证明你的结论.

分析：由于本题未给出具体的函数解析式，探索其单调性只能依单调性定义进行.

解：任取实数X i, X2,使x i< X2，贝U X i —X2> 0 .

••• f ( X )是奇函数，故—f ( X i ) = f ( —X i).

又f(x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 对任意x, y € R 都成立，

f ( X2 ) —f ( X i ) = f ( X2 ) + f ( —X i )

=f [ X2 + ( —X i)]

=f ( X2 —X i ) < 0 ,

即f ( X2 ) < f ( X i ) .

• I f ( X )在(—x, +x)上是减函数.

本题把抽象函数记号，奇偶性、单调性概念集于一体，从思维方法上看，又

是分析法、综合法的典型运用.