勾股定理的逆定理课件

例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。 解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289 ∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形
一：复习与巩固
1，勾股定理的内容是什么？ 如果直角三角形两直角边长分别为a,b
斜边长为c，那么a +b =c
0
2
2
2
2，在Rt ABC中，A, B, C, 所对的边分别
为a, b, c, C 90 , 求下列式中未知边的长度。
a =3，b =4，c= 5 a 5, c 13, b 12
(2)最大边为15
解:(1)最大边为17
∵152+82=225+64 =289
172 =289
∵132+142=169+196=365
152 =225
∴152+82 =172
∴以15, 8, 17为边长的
三角形是直角三角形
∴132+ 142 ≠ 152 ∴以13, 15, 14为边长的
三角形不是直角三角形
当第一个数是偶数(大于2)时，则第二个数 是第一个数除以2再平方后减1，第三个数 是第一个数除以2平方后加1
新课标教学网 /
例 3.在△ABC中，a=15, b=17, c=8,求 C 此三角形的面积。
解152 82 172 a c b
2 2 2
说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确．
• 1．原命题：猫有四只脚．（ ） • 逆命题：有四只脚的是猫．（ ） • 2．原命题：对顶角相等．（ ） • 逆命题：相等的角是对顶角．（ ） • 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条
线段两端距离相等．（ ） • 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上．• ） （ • 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两 边距离相等．（ ） • 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的 平分线上．（ ）
• 1．勾股定理的逆定理及其作用； • 2．什么是互逆命题； • 3．什么是互逆定理； • 4．什么是勾股数．
作业：84页， 习题18.2第1题、第4题
新课标教学网 /
B
a
C
B'
a
C'
∵ ∠ C’=900 ∴ A’B’2= a2+b2
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） ∵ a2+b2=c2 ∴ ∠ C= ∠ C’(全等 三角形对应角相等） ∴ A’B’ 2=c2 ∴ ∠C= 900 ∵ 边长取正值 ∴ △ ABC是直角三角形 ∴ A’B’ =c 新课标教学网 （直角三角形的定义）
新课标教学网 /
猜想
• 命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形． 命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2， 互逆命题 在一对命题中，第一个命题的题设 恰为第二个命题的结论，而第一个命题的结 论恰为第二个命题的题设，像这样的两个命 题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命 题，那么另一个叫做它的逆命题．
42 32 32 A：______
52 32 42 C：______2 D：______ 82 102 62 62 32 4 B：_______
5.猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样 的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？ 你的猜想是 两较短边长度的平方和等于最长边长度的平方 。
BDC 900
A 900
中考链接
已知：如图，四边形ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
C 准备好了吗? B D A
新课标教学网 /
S四边形ABCD=36
课堂小结
新课标教学网 /
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14 是直角三角形, 只要看两条较小边长的平方和是否等于 长的三个正整数，称为勾股数组. 最大边长的平方.
分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不 像15,17,8,能够成为直角三角形三条边
∴△ＡＢＣ为直角三角形,且∠B=90° 1 1 ∴ △ABC的面积为 a c 15 8 60. 2 2
15
17
B
8
A
新课标教学网 /
例 一个零件的形状如图所示，按规定这个零 件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得 这个零件各边尺寸，这个零件符合要求吗？
明确下面问题
• （1）任何一个命题都有逆命题； • （2）原命题是正确，逆命题不一定正确，
原命题不正确，逆命题可能正确； • （3）原命题与逆命题的关系就是，命题中 题设与结论相互转换的关系．
试一试
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1)两条直线平行，内错角相等．
逆命题: 内错角相等，两条直线平行.的三边长a、b、c满足
2 a
+
2 b
=
2 c
那么这个三角形是直角三角形。且边 C年所对的角为直角。
勾股定理
互逆命题 定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
新课标教学网 /
/
开启
智慧
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如:
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
新课标教学网 /
驶向胜利 的彼岸
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
2 a
+
2 b
=
2 c
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
新课标教学网 /
不是 ____ _____ ; 是 ∠ _____0; ____ B=90 0 ∠ C=90; 是 _____ _____
像25,20,15,能够成为直角三角形
三条边长的三个正整数，称为勾股数.
新课标教学网 /
到
请你找出一些勾股数组
3，4，5；5，12，13， 6，8，10； 7，24，25；8，15，17； 9，40，41…… 当第一个数是奇数(大于1)时，则第二个 数是第一个数的平方减1再除以2，第三 个数是第一个数的平方加1再除以2
C
13
D
答案：符合 A
2 2 2
4
5
12
又 BD2 +BC2 =52 +122 169
B
AB AD 3 4 25 BD2 52 25
新课标教学网 /
3 2
BD2 +BC2 DC2
DC2 132 169
AB2 AD2 BD2
新课标教学网 /
你知道吗？
• 据说古埃及人用下图的方法画直角：把一
根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、 4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成 一个三角形，其中一个角便是直角．你知 道为什么吗？
探究
1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米） A：3、4、3 ；B：3、4、5；C：3、4、6；D：6、8、10 2.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的 度数，并记录如下： A：_______ B：_______ C：______ D:_______ 3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状. 直角三角形 钝角三角形 直角三角形 A：______ 锐角三角形 B：_______ C：______ D：______ 4.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边 的平方与其他两边的平方和之间的关系。
• 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，
b，c满足
a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形．
说明：（1）一般地，如果一个定理的逆命题经过证明 是正确的，它也是一个定理，称这两个定理为互逆定 理； （2）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量 关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要 依据； （3）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形， 通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是 新课标教学网 否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据． /
勾股定理的逆命题
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形 证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
A
A'
c b
b
在△ ABC和△ A’B’C’中 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’ AB=c=A’B’
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
(4)全等三角形的对应角相等．
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立 新课标教学网
新课标教学网 /
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a:b: c=3:4:5
是 ∠_____ ; A=900 ____