《初等数论》教学大纲

课程名称：初等数论（Elementary Number Theory）

《初等数论》教学大纲

一、课程说明

“初等数论”课程是数学与应用数学专业（师范）的一门专业选修课。数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。

通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。

本课程属于数学与数学专业（师范）的专业选修课。

本课程的教学时间安排：每周2节课，计划教学周为16周，总课时数32学时，其中实践时数0学时。

本课程总学分数为2学分。

本课程安排在第5学期开设。

二、学时分配表

三、教学目的与要求

初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。

通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。

四、教学内容纲要

第一章整数的可除性（ 6学时）

目的要求：

1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。

2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。

3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。

难点：定理的证明处理方法，定理的灵活运用。

讲授内容：

1、整除的概念、带余数除法

（1）整除、因数；（2）带余数除法、不完全商、余数。

2、最大公约数与辗转相除法

（1）公因数、最大公因数、互素；（2）最大公因数的性质；（3）最大公因数的求法。

3、整除的进一步性质及最小公倍数

（1）整除的性质；（2）公倍数、最小公倍数；（3）最小公倍数的性质。

4、质数、算术基本定理

（1）质数与性质；（2）算术基本定理；（3）筛法。

5、函数[x]，{x}及其在数论中的一个应用

（1）[x]，{x}与性质；（2）n!中素因子的指数。

第二章不定方程（ 6学时）

目的要求：

1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。

2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。

3、知道不定方程2

,,,0,(,)1uv u v u v ωω=>=的整数解的形式，会求形如222x y z +=在特定条件下的整数解。

难点：多元不定方程有整数解的判定及求解。

讲授内容：

1、二元一次不定方程

（1）二元一次不定方程的性质；（2）二元一次不定方程的求解。

2、多元一次不定方程

（1）多元一次不定方程的一般理论；（2）三元一次不定方程的求解；

（3）最大不可表数问题的介绍。

3、勾股数与费马问题介绍

（1）不定方程的一般结论；（2）费马问题的介绍。

第三章 同余（ 6学时 ）

目的要求：

1、同余的概念及性质

整数同余的概念、同余的基本性质，整数具有素因子的条件，利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

2、剩余系、完全剩余系

剩余系、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法，欧拉函数的定义及性质。

3、欧拉定理及其应用

欧拉定理、Fermat 小定理，循环小数的判定条件。

难点：简化剩余系及欧拉函数、欧拉定理及其应用。

讲授内容：

1、同余的概念及其基本性质

（1）同余、模；（2）同余的应用。

2、剩余类及完全剩余系

（1）剩余类、完全剩余系；（2）完全剩余系的性质。

3、简化剩余系与欧拉函数

（1）欧拉函数；（2）简化剩余系；（3）欧拉函数表达式。

4、欧拉定理、费马定理及对循环小数的应用

（1）欧拉定理；（2）费马定理；（3）循环小数。

第四章同余式（ 6学时）

目的要求：

1、基本概念及一次同余式

同余式的定义，一次同余式有解的条件，求解同余式。

2、孙子定理

中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。

3、高次同余式的解数及解法

判断高次同余式的解个数，解高次同余式的方法，模整数同余式与模素数同余式的关系，求解简单的（3、4次）同余式。

4、质数模的同余式

素数模同余式的次数化简，Wilson定理，同余式的次数与解数的关系，n次同余式有n个解的条件。

难点：高次同余式的求解。

讲授内容：

1、基本概念及一次同余式

（1）同余式；（2）一次同余式。

2、孙子定理

（1）孙子定理；（2）孙子定理的应用。

3、高次同余式的解数及解法

（1）高次同余式的求解理论；（2）模为的高次同余式。

4、质数模的同余式

（1）质数模的同余式；（2）wilson定理；（3）解数定理。

第五章同余式（ 8学时）

目的要求：

1、一般二次同余式

一般二次同余式解的情况，平方剩余、平方非剩余的定义。

2、单质数的平方剩余与平方非剩余

欧拉判别条件，素数模的简化剩余系的平方剩余与平方非剩余的个数。

3、勒让德符号