7应力和应变

件的变形程度，将杆件的纵向变形量△l 除以杆的原长l，
得到杆件单位长度的纵向变形。 纵向线应变
横向线应变
FP
l l d d
a1 l
l1 a
线应变--每单位长 度的变形，无量纲。
FP
轴向拉伸和压缩
二、泊松比
从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形
时，纵向线应变ε与横向线应变ε′总是正、负相反的。 通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料 的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的比值的绝对 值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。 用μ表示。

或
-
泊松比μ是一个无单位的量。它的值与材料有关，可由 实验测出。
轴向拉伸和压缩
三、胡克定律
当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）
时
FN l l A
引进比例常数E
FN l l EA
——胡克定律。
E称为材料的弹性模量，可由实验测出。量纲与应力相同。 从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母 EA越大，杆的纵向变形△l就越小，可见EA反映了杆件抵抗 拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
轴向拉伸和压缩
说明：
（1）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的， 所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的名称。 （2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。 （3）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点 的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内
力。
FN A
轴向拉伸和压缩
对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截 面上。
max
FN max A
习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应 力。 通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生 最大工作应力的点称为危险点。
对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大
的截面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。
轴向拉伸和压缩
二、 轴向拉压杆的强度计算
1.强度条件 σmax≤[σ]
max
FN A
σmax是杆件的最大工作应力，可能是拉应力，也可能是
压应力。 对于脆性材料的等截面杆，其强度条件式为：
t max t c max c
式中：σtmax及[σt] 分别为最大工作拉应力和许用拉应力
轴向拉伸和压缩
FN l l ——胡克定律。 EA
若将上式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于是
得


E
或 E
表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。比例
系数即为材料的弹性模量E。
轴向拉伸和压缩
例 一矩形截面钢杆，其截面尺寸b×h=3mm×80mm， 材料的E=200GPa。经拉伸试验测得：在纵向100mm的长度 内，杆伸长了0.05mm，在横向60mm的高度内杆的尺寸缩小 了0.0093mm，试求：⑴ 该钢材的泊松比；⑵ 杆件所受的轴 向拉力FP。 解：（1）求泊松比。 求杆的纵向线应比ε
轴向拉伸和压缩
根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，
可推断：
轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。 由此可知：横截面上只有正应力σ。 假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两 个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间 的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应 力σ都相同。
所以该柱满足强度要求。
轴向拉伸和压缩
例 已知钢筋混凝土组合屋架受到竖直向下的均布荷载 q=10kN/m，水平钢拉杆的许用应力[σ]=160MPa。试按要求 设计拉杆AB的截面。⑴ 拉杆选用实心圆截面时，求拉杆的 直径。⑵ 拉杆选用二根等边角钢时，选择角钢的型号。
q
钢拉杆 8.4m
FAy 解 （1）整体平衡求支反力

s
ns

b
nb
选取安全系数的原则是：在保证构件安全可靠的前提下， 尽可能减小安全系数来提高许用应力。 确定安全系数时要考虑的因素，如：材料的均匀程度、荷 载的取值和计算方法的准确程度、构件的工作条件等。 塑性材料 nS取1.4～1.7； 脆性材料 nb取2.5～3。 某些构件的安全系数和许用应力可以从有关的规范中查到。
；σcmax及[σc] 分别为最大工作压应力和许用压应力。
轴向拉伸和压缩
⒉ 强度条件在工程中的应用
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 1、强度校核： 2、设计截面：
FN max A
FN A
3、确定许可载荷：
FN A
轴向拉伸和压缩
例 正方形截面阶梯形砖柱。已知：材料的许用压应力 [σC]=1.05MPa，弹性模量E=3GPa，荷载FP=60kN，试校核 该柱的强度。 解（1）画轴力图如图b所示。 （2）计算最大工作应力 需分段计算各段的应力，然后选 最大值。
a
A FP
FP
FP
a D
B
CD梁段横截面上
C
只有弯矩,而没有剪力，
这种平面弯曲称为纯 弯曲。
FQ
FP M FPa
ACBaidu NhomakorabeaDB 梁段横截
面上不仅有弯矩还伴 有剪力，这种平面弯
曲称为横力弯曲。
弯曲应力
一、纯弯曲时梁横截面上的正应力
与圆轴扭转同样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究
方法是：
σ与ε物理关系 静力学关 系 应力计算公式
A 393.8 A1 mm 2 196.9mm 2 2 2
选用两根36×3的3.6号等边角钢。
轴向拉伸和压缩
36×3的3.6号等边角钢的横截面面积 A1=210.9mm2 故此时拉杆的面积为 A=2×210.9mm2=421.8mm2＞393.8mm2 能满足强度要求，同时又比较经济。
FP

FN
轴向拉伸和压缩
通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力——
正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横
截面上正应力的计算公式为
FN A
式中 A—拉（压）杆横截面的面积； FN—轴力。 当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
轴向拉伸和压缩

l 0.05 5 104 l 100
求杆的横向线应变ε ′ ' 求泊松比μ
a 0.0093 1.55 104 a 60
' 1.55 104 0.31 4 5 10
轴向拉伸和压缩
（2）计算杆受到的轴向拉力
由虎克定律σ=ε· E 计算图示杆件在FP作用下任一横截面 上的正应力
第二节 轴向拉（压）杆的应力
问题提出：
FP
FP
FP
FP
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度 (1)内力在截面分布集度应力； (2)材料承受荷载的能力。
轴向拉伸和压缩
二、拉（压）杆横截面上的应力
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。
AB
FNAB 60 103 MPa 0.96MPa AAB 250 250
BC
FNBC 180 103 MPa 0.72MPa ABC 500 500
轴向拉伸和压缩
比较得：最大工作应力为压应力，产生在AB段。 即|σmax|=0.96Mpa。 （3）校核强度 σmax=0.96MPa＜[σC] =1.05MPa
FBy
FAy FBy 42kN
轴向拉伸和压缩 q =10kN/m （2）求拉杆的轴力。
FCy FCx
用截面法取左半个屋架为 研究对象，列平衡方程
ΣMC =0
l l FAy 4.2 q FNAB 1.4 0 2 4
FN
钢拉杆
FAy
（3）设计拉杆的截面。
FNAB 63kN
轴向拉伸和压缩
例 图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN； 斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方 截面杆。 A 1 45° C 2 B F 解：1、计算各杆件的轴力。 用截面法取节点B为研究对象
FN 1
FN 2 45°
y
B F
x
轴向拉伸和压缩
FN 1
FN 2
观察变形
应力分布
弯曲应力
1.
几何变形方面
b
观察纯弯曲梁变形现象
z
O x
o
z
1
2
y
y
o1 a
1 2
o2
b
弯曲应力 M
o x z
M
y
M
1
2
M
O
z
o1 a1
1
o2 b1
2
y
所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸边的
纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。 横向线仍为直线但转过了一个角度； 矩形截面的上部变宽下部变窄。
（A）1为钢，2为铸铁
（C）1为铸铁，2为钢
（B）两杆均为钢
（D）两杆均为铸铁
轴向拉伸和压缩
第四节
轴向拉（压）杆的变形及胡克定律
一、拉压杆的变形及应变
FP a1 l l1 a FP
纵向变形 横向变形
l l1 - l
长度量纲
a a1 - a
轴向拉伸和压缩
为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆
max
FNAB [ ] A
轴向拉伸和压缩
FNAB 63 103 A mm2 393.8mm2 [ ] 160 2 d 当拉杆为实心圆截面时 A 393.8mm 2 4 4 393.8 d mm 22.39mm 取d=23mm。 3.14
当拉杆用角钢时，查型钢表。每根角型的最小面积应为
第八章
弯曲应力、应变
平面弯曲
工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T 形、十字形、槽形等
它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所 组成的平面通常称为纵向对称平面 。
平面弯曲 纵向对称面
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内
•弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
弯曲应力
第一节 梁的正应力及正应力强度计算
第六节 许用应力、安全系数和强度计算
一、许用应力和安全系数 任何一种材料都存在一个能承受应力的上限，这个上 限称为极限应力，常用符号σo表示。 极限应力

塑性材料 脆性材料
S
0
0 b

n —安全系数
0
n

—许用应力。

轴向拉伸和压缩
塑性材料的许用应力 脆性材料的许用应力
轴向拉伸和压缩
总应力分解为
正应力σ 剪应力τ
与截面垂直 与截面相切
工程中应力的单位常用Pa或MPa。 p 1Pa=1N/m2 1MPa=1N/mm2



K
另外，应力的单位有时也用kPa和GPa，各单位的换算 情况如下： 1kPa=103Pa， 1GPa=109Pa=103MPa 1MPa=106Pa
弯曲应力
平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且
仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤 维之间无挤压。
单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，
σ=ε· E=5×10-4×200×103=100MPa
又按照应力的计算公式
FN A
可求得在FP作用下，杆件横截面上的轴力 FN=σ· A=100×3×80=24×103 =24kN 该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即 FN=FP，所以该杆受到的轴向外力FP=24kN。
轴向拉伸和压缩
45°
y
B F
Fy 0
x
FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
Fx 0
FN1 cos45 FN 2 0
FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
FN 1 28.3 103 1 90 MPa A1 202 4
FN 2 20 103 2 89MPa 2 A2 15
第七章
轴向应力、应变
轴向拉伸和压缩
第一节 平面应力问题 一、应力的概念
受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。 总应力：
FR K
FR dFR p lim A0 A dA
A
总应力p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂
直，也不与截面相切。 为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截 面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。
如图，阶梯杆受三个集中力F，AB、BC、CD三段截面面 积分别为A、2A、3A，则三杆的截面上有 。 （A）轴力相等，应力不等；（B）轴力不等，应力相等； （C）轴力应力都相等； （D）轴力应力都不等。 1 2
现有钢、铸铁两种棒材，其直径相同，从承载能力和经 济效益方面考虑，图示结构合理的选材方案为（ ）。