第三章傅里叶变换0

( t )
e( ) (t )
LTI

h( t ) （定义）
e( )h(t )
(线性时不变性)



e( ) (t )d
e( t )



e( )h(t )d
r( t )=e( t ) h( t )
分解
求响应
叠加
3
6.3信号的正交函数分解
t1 t2
例题:p331 6-1 6-2
三、正交函数集
n个函数g1 (t ), g 2 (t ), g n (t )构成一函数集, 如在区间(t1 , t 2 )内满足正交特性, 即

t2
t1 t2
g i (t ) g j (t )dt 0 g (t )dt K i
2 i
(i j )

t2
t1
[ f1 (t ) c12 f 2 (t )] dt
2
1 d t2 t1 dc12

t2
t1
2 [ f 12 (t ) 2c12 f1 (t ) f 2 (t ) c12 f 22 (t )]dt
t2 t2 1 2 2 f1 (t ) f 2 (t )dt 2c12 f 2 (t )dt t1 t1 t 2 t1
n 0,1,2, ,
19
{1, cos 1t , sin 1t , cos 21t , sin 21t ,..., cos n1t , sin n1t ,......} 三角函数集在区间 (t0 , t0 T1 )内是完备正交 函数集.其中 T1 2 , 在区间内满足
t1 t2
满足条件 x(t ) g i (t )dt 0
t1
t2
(i为任意正整数 )
则此函数集成为完备正 交函数集.
16
用完备正交函数集表示任意信号
定理1. 若{g1(t) ，…， gn(t) }在区间( t1，t2)上为 完备正交函数集，则在 ( t1，t2)上任意函数 f(t) 可用表示为：
一、二维空间的正交矢量
1. 正交矢量 矢量 A 可以用 A1方向的矢量 c1 A 表示， 1
A c1 A1 它们的差表示为： A c1 A1 Ae
Ae
A1
A
A
Ae
c1 A1
c1 A1
A1
A
Ae
c1 A1
A1
2、平面空间：若矢量 A1 A2 0
t2
g i (t ) g (t )dt 0
* j
14
6.4完备正交函数集
定义一: 如果用正交函数集 g1 (t ), g 2 (t ),... g n (t ) 在(t1 , t 2 )近似表示函数 f (t ) cr g r (t )
r 1 n
1 2 方均误差为 t 2 t1
n t2 1 2 2 [ f (t ) cr g r (t )] dt t2 t1 t1 r 1
为满足最佳近似，要求方均误差最小，即：
0 ci
2
n f (t ) c1g1 (t ) c2 g 2 (t ) cn g n (t ) cr g r (t ) r1
第六章 信号的矢量空间分析
6.3 信号的正交函数分解 6.4 完备正交函数集
信号的分解-已学过的
1
已学过的知识
信号可分解为：
直流分量+交流分量
偶分量+奇分量
实部分量+虚部分量
e(t ) e( ) (t )d 正交函数分量
脉冲分量
2

已学过的知识
时域中，利用信号分解求响应。

t2
t1
f 2 (t )dt cr2 K r
r 1

(6-81)
(6-82) （Parserval定理）

t2
t1
f (t )dt c
2 r 1

2 r
物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒 等于此信号在完备正交函数集中各分量能量 （功率)之和。
18
常用完备正交函数集
1、三角交函数集 cos(n t), sin(n t)

t2
t1
[ f (t ) cr g r (t )] dt
2 r 1
n
n t2 1 2 2 [ f (t )dt cr K r ] t 2 t1 t1 r 1
若令n趋于无限大, 有 lim 2 0
n
则此函数集称为完备正 交函数集。
定义二: 如果在正交函数集 g1 (t ), g 2 (t ),..., g n (t )之外, 不存在有限能量函数 x(t ), 即0 x 2 (t )dt
复指数函数集 {e 其中T1 2
jn1t
}(n 0,1,2,......)
在区间(t0 , t0 T1 )内是完备正交函数集.
1
, 在区间内满足
jn1t *

t 0 T1
t0
e
jm1t
(e
T1 ) dt 0
( m n) ( m n)
21
n 0,1,2, ,
2、指数函数集
e
j nt
( t0，t0 +T ) ( t0，t0 +T )
n 0,1, 2, ,
3、抽样函数集 Sa[ t - n ] 2, , n 0,1, T
( - ， ) ( 0，1 ) 4、Walsh函数集Wal(n, t)
1 2 [ f (t ) cr g r (t )] dt t2 t1 t1 r 1
2 t2
n
2 0 ci
(6-62)
t1 f (t ) gi (t )dt 1 t2 ci t2 2 t1 f (t ) gi (t )dt Ki t1 gi (t )dt
d 0 c12 dc12
2

t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt
t2 t1

f 2 (t )dt
2
f1 (t ) c12 f 2 (t )
(t1 t t2 ) c12

t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt
t2 t1
函数正交条件：

f 2 (t )dt
2
若c12 0, 则f1 (t )内不包含f 2 (t )的分量, 称为正交. 在(t1 , t 2 )内正交的条件 : f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称这两个矢量正交。
A C1 A1 C2 A2
两个正交矢量可构成一个平面空间，此 空间任意矢量可用这两个正交矢量表示。
5
3、三维空间：
若矢量 Ai Aj 0 (i j )
i 1,2,3; j 1,2,3
则称A 、A2、A3正交。 1
A C1 A1 C2 A2 C3 A3
n t2 1 2 2 2 [ f (t )dt cr ] t 2 t1 t1 r 1
(6-67) (6-68)
13
四、复变函数的正交特性
复变函数集 {g r (t )}(r 1,2,..., n)满足 ( i j ) t1 在区间 ( t , t ) 内 1 2 t2 * t1 gi (t ) gi (t )dt K i 则此复变函数集为正交 函数集.
1 t2 2 [ f1 (t ) c12 f 2 (t )] dt t 2 t1 t1
2
d 使 最小的c12，应有 0 dc12
2 2
1 t2 2 [ f ( t ) c f ( t )] dt 1 12 2 t 2 t1 t1
2
d 2 1 d dc12 t2 t1 dc12

t 0 T1
t0 t 0 T1
1 cos n1t sin m1tdt 0
1 T ( m n 0) 2 t0 sin n1t sin m1tdt ( m n) 0 ( m n) 0 t 0 T1 T1 t0 cos n1t cos m1tdt 2 (m n 0) T (m n 0)
f(t) C1 g1(t) C2 g 2(t) Ck g k(t) Cn g n(t)
其中
Ck

t2
t1
f (t ) g k (t )dt
t2 t1


g k (t ) dt
17
2
定理2. 若f(t)可用完备正交函数集 { g1(t) ,g2(t) …，gn(t) }表示，则
在最佳近似条件下，给定项数的 2 ：
n 1 t2 2 2 [ t1 f (t )dt cr K r ] r 1 t2 t1 2
t2
(6-64)
归一化正交函数集：

t2
t1
g (t )dt K i 1
2 i t2 t1
ci f (t ) g i (t )dt
三个正交矢量可构成一个三维空间，此 空间任意矢量可用这三个正交矢量表示。
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二、正交函数
在区间(t1<t<t2)内用函数f2(t)近似表示f1(t)。 f1 (t ) c12 f 2 (t ) (t1 t t 2 ) 选取c12使得实际函数与近似函 数之间的方均
误差 2在区间t1 t t 2内为最小.
(6-55)
t1
则此函数集称为正交函 数集.
10
令任意函数f(t)在区间(t1,t2)内由这n个相互正 交的函数的线性组合近似，表示式为：
n f (t ) c1g1 (t ) c2 g 2 (t ) cn g n (t ) cr g r (t ) r1
方均误差可表示为：