上海市复旦附中2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题
上海市复旦大学附中2018届高三上学期10月月考数学试题
绝密★启用前 上海市复旦大学附中2018届高三上学期10月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．集合2{|,}A y y x x R ==∈，{2,1,1,2}B =--，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)A B ⋃=+∞ B ．()(,0]R C A B =-∞U C ．[0,)R A C B =+∞I D ．(){2,1}R C A B =--I 2．在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为（ ） A ．-3 B ．-0.5 C ．3 D ．6 3．已知0a b >>，且1ab =，如果把4b a 、()2a b -+、4a b 按从小到大的顺序排列，那么排在中间的数是（ ） A ．4b a B ．()2a b -+ C ．4a b D ．不能确定 4．已知定义是R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递增，记函数()()g x xf x =，对于如下两个命题：①存在函数()f x ，使函数()g x 在R 上递增；②存在函数()f x ，使函数()g x 在R 上递减.下列判断正确的是（ ） A ．①与②均为真命题 B ．①与②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 6．函数211y x =+的值域是______. 7．程4220x x --=的解为______. 8．已知球的表面积是2484cm π，则该球的体积是______3cm （结果中保留π）9．函数212log (43)y x x =-+-的单调递增区间是 .10．在五个数字1、2、3、4、5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是 .11．设函数213,0()2log ,01x x f x x x -≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩的反函数为1()y f x -=，则1(2)f --=________．12．已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的正半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos 2β=______.14．已知函数()22x x x af x x x a ⎧--≤=⎨->⎩，若函数()f x无最大值，则实数a 的取值范围为______.15．若对于任意x R ∈，不等式1234x ax -≤+--≤恒成立,则实数a 的值为______. 16．已知定义在R 上函数()f x 满足，对一切实数x 、y ，均有()()22223f x y y f x y ++≥+，且()100100f =，则()200f =______.三、解答题17．已知函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++.（1）求()f x 的最小正周期；…………线………………线……（2）已知ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，且()2f A =，求()cos B C +的值. 18．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点.（1）求异面直线EF 与BC 所成的角； （2）求三棱锥11C B D F -的体积. 19．甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x +-元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 20．已知a R ∈，函数()24log 2a x f x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. （1）求实数a 的值，使得()f x 为奇函数； （2）若关于x 的方程()()2log 2175f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦有两个不同实数解，求a 的取值范围； （3）若关于x 的不等式()()2log 21f x x a >-+对任意[]3,6x ∈恒成立，求a 的取值范围. 21．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”． （1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”； （2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【解析】因为2{|,}[0,)A y y x x R ==∈=+∞，{2,1,1,2}B =--，所以(){}2,1R C A B ⋂=--，故选D.2．A【解析】【分析】 把612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得展开式的通项公式6161()2r r r r T C x x -+=-，根据通项公式可求解．【详解】 将612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开得通项公式66216611()=22rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 含4x ，则令624r -=，得1r =， 所以4x 的系数为：116132C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．3．B【解析】【分析】 0a b >> ，且1ab =，则1b a=，可得22222222a a b b b b b a b ⋅>⋅>⋅>⋅⋅．化简即可得出结论【详解】 由0a b >> ，且1ab =，有10>>>a b ，1b a= 222222222=2a a b b b b b b a b b ⋅>⋅>⋅>⋅⋅⋅即22222=22a a b a b b a b +⋅>⋅>⋅，即22111222a a b ba b +<<⋅⋅ 21124a a b a =⋅⋅ ，21124b b a b =⋅⋅ 所以有1424a ab b b a +<< 所以按从小到大的顺序排列，()2a b -+排在中间.故选：B【点睛】本题考查了不等式的性质及其应用和指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．A【解析】【分析】根据g()x 的奇偶性可知只需判断g()x 在[0,)+∞的单调性即可，令2()f x x =可判断①，根据()1(0)x f x ex -=--≥可判断②．【详解】 g()()()()x xf x xf x g x -=--=-=-，则()g x 为奇函数,所以()g x 在[0,)+∞上的单调性与在R 上的单调性相同．(1) 若2()f x x =，则3()g x x =，显然()g x 在上是增函数，所以①为真命题.(2) 若当0x ≥时，若1()(0)x f x e x --=-≥，则()x g x xe x -=--1()11x x xx g x e xe e ---'=-+-=- 2()x x g x e -''= 当02x ≤<时，()0g x ''>，当2x >时，()0g x ''<所以()g x '在[0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减. 所以21()(2)10g x g e ''≤=-< 所以g()x 在[0,)+∞上单调递减，又()g x 为奇函数且g(0)0=，所以函数()g x 在R 上递减.故选：A【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．5．{}12－，【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 6．(]0,1【解析】【分析】根据2x 的范围可直接求出函数211y x =+的值域。
2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)-学生版+解析版
2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 （用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 ． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为 ．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 ．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 ．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 ．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 ．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 ． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）． 【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=， 今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<， 求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =， 故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32； 最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟． 故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ． 【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=． 故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+． 用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >， 故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则 对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =； 对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =． 综上，①②④正确， 故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<， 若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立， 若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立， 故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件， 故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”， 则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<， 综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题， 反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个， 故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+， 故选：C ． 三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件， 所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈； 当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…． 解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟， 易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==． 直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ， 则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围． 【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…， 即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立． （3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<， 因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立 即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…． 因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+， 当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去； 当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω． 综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω． （2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<， 则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+． 由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <， 我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立． 假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >， 记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾． 即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解． 假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数． 一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
上海市2018-2019学年复旦附中高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
上海市2018-2019学年复旦附中高三上学期第一次月考一、选择题（本大题共4小题）1. 设集合A ={x|x−1x−a ≥0}，集合B ={x||x −2|>1}，且B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 ( ) A. a ≤1 B. a ≤3C. 1≤a ≤3D. a ≥3 2. 条件甲：函数f(x)满足f(−x)f(x)=1；条件乙：函数f(x)是偶函数，则甲是乙的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3. 关于函数f(x)=x|x|+4x(x ∈R)的反函数，正确的是( )A. 有反函数f −1(x)={√x +4+2,x ≥0√4−x −2,x <0 B. 有反函数f −1(x)={√x +4−2,x ≥02−√4−x,x <0 C. 有反函数f −1(x)={√x +4−2,x ≥0√4−x +2,x <0D. 无反函数 4. 定义“正对数”：ln +x ={lnx,x ≥10,0<x<1，现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln +(ab)=ln +a +ln +b ；②若a >0，b >0，则ln +a b =bln +a③若a >0，b >0，则ln +(a b )≥ln +a −ln +b④若a >0，b >0，则ln +(a +b)≤ln +a +ln +b +ln +2则所有真命题的序号为( ) A. ①②③B. ①②④C. ③④D. ②③④二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知全集U =R ，A ={x|x 2−3x <0}，B ={x|x >2}，则A ∩∁U B =______．6. 在复数集上，方程x 2+2x +2=0的根是______．7. 方程lg(5⋅2x −5)=lg(4x −1)的解是x =______．8. 已知AB 为抛物线x 2=y 的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是y =−x +3，则弦AB 所在直线的方程是______．9. 函数y =√|x −1|的递增区间是______．10. 设a 、b ∈R +，则n →∞lim a n(a+b)n =______．11. 若函数f(x)=log 2(4x +1)+kx 偶函数，则实数k 的值是______．12. 正方体的体对角线与面对角线所成的角α的集合是______．13. 某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是______(用分数作答)．14.观察下列等式：12=112−22=−312−22+32=612−22+32−42=−10…照此规律，第n个等式可为______．15.已知二次函数y=f(x)的图象为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f(1−x)=f(1+x).若向量a⃗=(√m,−1)，b⃗ =(√m,−2)，则满足不等式f(a⃗⋅b⃗ )>f(−1)的m的取值范围为______．16.某班共有50名学生，已知以下信息：①男生共有33人；②女团员共有7人；③住校的女生共有9人；④不住校的团员共有15人；⑤住校的男团员共有6人；⑥男生中非团员且不住校的共有8人；⑦女生中非团员且不住校的共有3人．根据以上信息，该班住校生共有______人.三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知集合P n={x|2n<x<2n+1且x=7m+3,m,n∈N∗}．(1)用列举法写出集合P4；(2)是否存在自然数n，使得2019∈P n，若存在，求出n的值，并写出此时集合P的元素个数；若不存在，请说明理由．18.设函数y=f(x)是由曲线C：x2−y2=1(xy≥0)确定的．4(1)写出函数y=f(x)，并判断该函数的奇偶性；(2)求函数y=f(x)的单调区间并证明其单调性．19.中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受.如图(1)为一花窗；图(2)所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．(1)试用x，y表示L；(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)？20.定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0,2)时，f(x)=2x4+1．(1)判断并证明f(x)在(0,2)上的单调性，并求f(x)在[−2,2]上的解析式；(2)当λ为何值时，关于x的方程f(x)=λ在[2,6]上有实数解？21.已知f(x)=√x√x +√x+1x+1及g(x)=√x√x√x+1x+1．(1)分别求f(x)、g(x)的定义域，并求f(x)⋅g(x)的值；(2)求f(x)的最小值并说明理由；(3)若a=√x2+x+1 , b=t√x , c=x+1，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．。
上海市复旦附中2018-2019学年上学期高二10月数学月考试题( 精品解析)
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝3．（3分）＝4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）18．数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，其前n项的和S n满足S n2＝a n（S n﹣）（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝．24．（3分）已知数列{a n}的首项a1＝1，对任意n∈N*，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b2n＝﹣1 25．（3分）已知数列{a n}满足a n＝nk n（n∈N*，0＜k＜1），下面命题：①当k＝时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝130．【分析】设公差为d，则d＝＝，而a60＝a45+（60﹣45）d，代入可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d＝＝，故a60＝a45+（60﹣45）d＝90+15×＝130，故答案为：130【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝11【分析】根据条件，即可得出：，从而得出n＝11．【解答】解：∵a1＝1，公比为q，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5；∴；∴n＝11．故答案为：11．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的通项公式．3．（3分）＝【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝（﹣）或（）【分析】运用向量的模长计算和单位向量的求法可解决此问题．【解答】解：根据题意得＝＝5∴同向单位向量＝（﹣3，4）＝（﹣，），同理反向单位向量（，﹣）故答案为（﹣，）或（，﹣）【点评】本题考查向量模长的运算和单位向量的求法．5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为（5，﹣4）【分析】直接利用分点坐标公式求出结果．【解答】解：点P分线段P1P2的比为﹣2，所以λ＝﹣2．根据分点的坐标公式：x＝＝，，所以：点P的坐标为（5，﹣4）．故答案为：（5，﹣4）．【点评】本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【分析】由题意算出＝（﹣1，1）且＝（2，k）．根据∠ABC为钝角，通过向量的数量积小于0，夹角不是180°，即可得到实数k的取值范围．【解答】解：∵A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），∴＝（﹣1，1）且＝（2，k）．∵∠ABC为钝角，∴＜0且、不平行，可得，解之得k＜2且k≠﹣2．则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．【点评】本题给出三点A、B、C的坐标，在B为锐角的情况下求参数k的值．着重考查了向量的坐标运算和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为【分析】根据题意即可得出（50+a）2＝（100+a）（20+a），从而求出a＝25，q＝，这样对前n项和S n求n 趋向无穷大时的极限即可．【解答】解：根据题意，（50+a）2＝（100+a）（20+a）；解得a＝25；∴；∴．故答案为：．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的求法．8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第16天，两马相逢．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝193，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m＝193m++97m+＝290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣4800≥0，解得m≥，取m＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为﹣3【分析】因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径．又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴||＝2，所求投影为||cos150°＝﹣3．【解答】解：因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴∠ACB＝30°，∴||＝||cos30°＝4×＝2，向量在向量上的投影为：||cos（180°﹣30°）＝2×（﹣）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（﹣3，1）．，可得a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），【分析】S n＝（﹣1）n﹣1•n，可得：a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1对n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．【解答】解：∵S n＝（﹣1）n﹣1•n，∴a1＝S1＝1．＝（﹣1）n﹣1•n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n＝1时也成立，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1∴a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．∴，解得﹣3＜p＜1．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣【分析】由已知中a n＝1﹣+﹣+…+﹣，我们依次给出a1，a2，…，a n，a k的表达式，分析变化规律，即可得到a k+1的表达式．【解答】解：∵a n＝1﹣+﹣+…+﹣，∴a1＝1﹣，a2＝1﹣+﹣，…，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，a k＝1﹣+﹣+…+﹣，所以，a k+1＝a k+﹣．故选：D．【点评】本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在【分析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n＝，可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…，可知数列是摆动数列，所以数列没有极限．故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力；13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．【分析】根据投影的概念列式：＝﹣可求得．【解答】解：依题意得：＝﹣，∴•＝﹣×3＝﹣故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．【分析】（1）根据条件即可求出，从而可求出，从而得出；（2）根据（3）⊥（k）即可得出，进行数量积的运算即可求出k的值．【解答】解：（1）||＝1，||＝2，且与的夹角为120°；∴；∴＝9+12+16＝37；∴；（2）∵；∴；解得．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量长度的求法．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．【分析】（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可；（2）据题意可知，，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）；∵A、B、C三点共线；∴共线；∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0；∴；（2）根据题意，；∴；解得；∴，且；∴；∴．【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件．17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n ﹣5a n ﹣85，n ∈N * （1）证明：{a n ﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n }的通项公式．请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）【分析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85，求出a 1﹣1＝﹣15，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，从而6a n ＝5a n ﹣1+1，由此能证明{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．（2）由a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，得S n ＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由此能求出n ＝15时，S n 取得最小值． 【解答】证明：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85， 解得a 1＝﹣14，则a 1﹣1＝﹣15．∵当n ≥2时，S n ﹣1＝（n ﹣1）﹣5a n ﹣1﹣85， ∴a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，∴6a n ＝5a n ﹣1+1，即a n ﹣1＝（a n ﹣1﹣1），∴{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．解：（2）∵a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，∴S n ＝n ﹣5[1﹣15•（）n ﹣1]﹣85＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由a n ＝1﹣15•（）n ﹣1＞0，即15•（）n ﹣1＜1，解得n ＞log +1≈15.85．∴当n ≤15时，a n ＜0；当n ≥16时，a n ＞0． 故n ＝15时，S n 取得最小值．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n 项和的求法，考查前n 项和取最小值时项数n 的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2＝a n （S n ﹣） （1）求S n 的表达式；（2）设b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n ，求．【分析】（1）因为n ≥2，由s n ﹣s n ﹣1＝a n ，代入已知等式中求出s n ，然后利用做差法得出为等差数列即可求出通项公式，化简可得s n ；（2）要求T n 的极限，先要求出T n 的通项公式而T n 为数列{b n }的前n 项和，所以先求b n 的通项，可利用第一问中s n 的通项代入到b n ＝中，化简得出b n 后，利用做差法得到T n ，求出极限即可．【解答】解：（1）n ≥2，s n 2＝（s n ﹣s n ﹣1）（s n ﹣）∴s n ＝即﹣＝2（n ≥2）∴＝2n ﹣1故s n ＝（2）b n ＝＝＝（﹣）T n ＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）∴T n ＝【点评】此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．19．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，且数列{a n }的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n }满足，记数列{b n }的前n 项和为S n ，（1）写出数列{a n }的通项公式； （2）求S n ；（3）证明：当n ≥6时，．【分析】（1）由题意知．（2），，，用错位相减法可以求出．（3），由此能够求出当n ≥6时，．【解答】解：（1）；即；（2），，，两式相减，得，所以，；（3），当n≥6时，2n＝（1+1）n＝∁n0+∁n1+∁n2++∁n n﹣2+∁n n﹣1+∁n n≥2+2n+n（n﹣1）+≥2+2n+n2﹣n+n＞n2+2n，所以，当n≥6时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0]．【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则＝（﹣x，﹣y），＝（3，0），∴•＝﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标表示以及应用问题，也考查了函数的最值问题，是基础题目．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为3．【分析】由题意，，从而化简可得（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），从而可得＝3，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：，，∵M，N，G三点共线，∴＝x，∴﹣＝x（﹣），∵点G是△ABC的重心，∴＝（+），∴（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），∴，解得，（1﹣3λ）（1﹣3μ）＝1，可得＝3．λ+4μ＝（λ+4μ）（）＝≥＝＝3．（当且仅当，即λ＝1，μ＝时，等号成立），故λ+4μ的最小值为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是②③④⑤．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．【分析】由＝++，得出++＝，P是△ABC的重心，判断①错误；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），＝（+），判断③正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），•＝0，判断④正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且＝λ（+），⊥，判断⑤正确．【解答】解：对于①，动点P满足＝++，∴＝+，∴++＝，∴P是△ABC的重心，∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；对于②，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+）；过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B＝|sin C＝AD，∴＝（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），∴•＝λ（+）＝λ（||﹣||）＝0，∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；对于⑤，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），设＝，则E为BC的中点，则＝λ（+），由④知（+）•＝0，得•＝0，∴⊥；∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．故正确的命题是②③④⑤．故答案为：②③④⑤．【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．23．（3分）数列{a n }中，若a 1＝1，（n ∈N *），则＝．【分析】由，求出a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2n ﹣1+a 2n ，然后求得极限．【解答】解：由，得（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键．24．（3分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，对任意n ∈N *，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b 2n ﹣1＝ （3n ﹣1）（3n ﹣2）【分析】根据题意，由根与系数的关系分析可得a n +a n +1＝3n ，变形可得a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），两式相减可得a n +1﹣a n ﹣1＝3，分析求出a 2的值，据此可得数列{a n }的通项公式，再结合根与系数的关系可得b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ，计算可得答案．【解答】解：根据题意，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根， 则a n +a n +1＝3n ，①则有a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），② ①﹣②可得：a n +1﹣a n ﹣1＝3，且当n ＝1时，有a 1+a 2＝3，又由a 1＝1，则a 2＝2，则a n ＝，又由a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ＝[]×[﹣1]＝（3n ﹣1）（3n ﹣2）；故答案为：（3n ﹣1）（3n ﹣2）．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a n }的通项公式，属于基础题． 25．（3分）已知数列{a n }满足a n ＝nk n （n ∈N *，0＜k ＜1），下面命题： ①当k ＝时，数列{a n }为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是③④．【分析】①当时，作差a n﹣a n+1═≥0，n＝1时取等号，a1＝a2，即可判断出单调性．②当时，作商＝，由于＜＜1+＜2k，即可判断出结论．③当时，作商，即可得出数列{a n}的单调性．④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，因此数列{a n}必有两项相等的最大项．【解答】解：①当时，a n＝n，则a n﹣a n+1═n﹣（n+1）＝≥0，n ＝1时取等号，因此数列{a n}不是递减数列，不正确；②当时，＝＝，∵＜＜1+＜2k，∴因此数列{a n}一定有最大项，不正确；③当时，＝＝≤1，∴a n＞a n+1，因此数列{a n}是递减数列，正确；④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，∴数列{a n}必有两项相等的最大项，正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性，考查了作差与作商方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年上海复旦附中高三上学期第一次月考数学试题
2019-2020学年上海复旦附中高三上学期第一次月考数学试题一、填空题1. 若集合，集合，则 ．2.—个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以为半径的圆，则该几何体的体积是 ．3.已知是虚数单位，则的平方根是 ．4.函数的反函数是 ．5.设满足约束条件，则的最小值是 ．6.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上、下底面上其余十六个点，则的不同值的个数为 ．7.数列满足，其前项和记为，若，那么．8.若是展开式中项的系数，则 ．9.设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则 ．10.已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的{}23A x x =-<30x B xx -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭A B ⋃=a i 2-()()210f x x x =+<x y 、2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩2z x y =+AB ()1,2,,16i P i =()1,2,,16i AB AP i ⋅={}n a ()1213,5n n n a a a n a --=-≥=n n S 89S =100S =n a ()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈2x 2323222lim nx na a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()()2sin ,f x x x R ωϕ=+∈0,ωϕπ><5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 2πϕ=()2,12,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩a R ∈x ()2x f x a ≥+R a取值范围是 ．11.函数绕原点逆时针旋转，每旋转得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是 ． 12.已知两正实数，满足，则的最大值为 ．二、选择题13. 若为实数，则成立的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 14. 已知是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（ ）A. 如果，则一定有；B. 如果，则一定有；C. 如果，则一定有；D. 如果，则一定有。
上海复旦附中2018-2019年自招真题数学试卷（含答案）
上海复旦附中2018-2019年自招真题数学试卷（含答案）复旦附中自招题1. 已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值是（） A .恒正 B .恒负 C .可正可负 D .非负解：选B222222444222a c c b b a c b a ---++2222224)(c b c b a ---=)2)(2(222222bc c b a bc c b a ---+--=])(][)([2222c b a c b a +---=))()()((c b a c b a c b a c b a --+++--+=∵a 、b 、c 是一个三角形的三边，∴0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++c b a ，0<--c b a ，∴0))()()((<--+++--+c b a c b a c b a c b a2. 设m ，n 是正整数，满足mn n m >+，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1；② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④m ，n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（）A .① B .② C .③D .④解：选D由mn n m >+得()()111<--n m若m ，n 均大于1，则,11,11≥-≥-n m ()()111≥--n m ，矛盾，∴m ，n 至少有一个等于1。
3. 已知关于x 的方程a x a x +=+2有一个根为1，则实数a 的值为（）A .251+-B .251--C .251±- D .以上答案都不正确解：选A将1=x 代入，得12+=+a a ，两边平方，得012=++a a ，251±-=a ，当251--=a 时，1=x 不是原方程的根，舍∴251+-=a4. 已知a ，b ，c 是不完全相等的任意实数，若c b a x +-=2，cb a y 2-+=，c b a z ++-=2，则关于x ，y ，z 的值，下列说法正确的是（）A .都大于0B .至少有一个大于0C .都小于0D .至多有一个大于0 解：选B0=++z y x ，若x ，y ，z 均小于0，则0<++z y x ，矛盾；故至少有一个大于0。
上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期期中数学试题
绝密★启用前上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若平面中两条直线12,l l 的方向向量分别是,a b ，则12l l //是//a b 的（ ）. A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要2．已知定义域为R 的奇函数()y f x =有反函数()-1y fx =，那么必在函数()11y f x -=+图像上的点是（ ）.A ．()(),1f t t ---B ．()()1,f t t -+- C ．((t)1,)f t ---D ．()()1,f t t -+-3．已知数列{}n a 的通项公式为()()*11n a n N n n =∈+，其前n 项和910n S =，则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为（ ） A ．y x = B ．y x = C ．y = D ．y x = 4．已知定义在0,+∞上的函数f x 满足2f x f x x +=+，且当0,2x ∈时,()8f x x =-，则()93f =（ ）.A ．2019B ．2109C ．2190D ．2901第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．20191lim 12019n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.6．若复数z 满足:()()211z i i ⋅+=-(i 为虚数单位)，则z =____________.7．已知向量()()2,1,3,1a b =-=-，()2,c y =，且()a b c -⊥，则y =____________. 8．若集合12A x y lg x ⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，{}B y y arcsinx ==，则A B =____________. 9．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，3x 的系数是____________. 10．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若3,3a b π===，则角C的大小为____________.11．若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成角为34arctan ，则该圆锥的体积为____________.12．若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a = ，公比为32a -，且l i m n x S a →∞= ，则a =_____．13．某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为________14．已知,a b ∈R ，且22425a b ≤+≤，则22a b ab ++的取值范围是____________. 15．已知函数()f x asinx bcosx c =++的图像经过()0,5,,52A B π⎛⎫⎪⎝⎭两点，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()10f x ≤，则实数c 的取值范围是____________.16．定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足:①当[)1,2x ∈时，()1222f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②对任意[0,)x ∈+∞都有()()22f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为123,x ,,,x x ⋅⋅⋅若1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则122n x x x ++⋅⋅⋅+=____________. 三、解答题17．已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且124a a a 、、成等比数列. (1) 求数列{}n a 的通项公式n a ；(2) 设数列{}n b 满足()21n na n nb a =+-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T . 18．已知函数()22f x sinxcosx x x R =+∈. (1)求函数()31y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；(2)已知ABC △中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A 满足26A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭7a =， sinB sinC +=,b c 的长. 19．某饮料生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，饮料的年销售量x 万件与年促销费t 万元间满足311t x t +=+.已知2017年生产饮料的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用，若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则该年生产的饮料正好能销售完．(1)将2017年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数； (2)该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，点,n S n n⎛⎫⎪⎝⎭都在函数()2n a f x x x =+的图象上.(1)求123,,a a a ，归纳数列{}n a 的通项公式(不必证明).()78910,,,,a a a a (){}111213141515,,,,,a a a a a a ，()1718,a a ，()192021,,a a a ，各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求6100b b +的值.(3)设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积，若不等式()32n a A f a a +<-对一切*n N ∈都成立，其中0a >，求a 的取值范围.21．已知函数()2327mx n h x x +=+为奇函数，()13x mk x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，其中m n R ∈、.(1)若函数()h x 的图像过点()1,1A ，求实数m 和n 的值；(2)若3m =，试判断函数()()()11f x h x k x =+在[3,)x ∈+∞上的单调性并证明； (3)设函数()()(),39,3h x x g x k x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩若对每一个不小于3的实数1x ，都恰有一个小于3的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】平面中两条直线1l ，2l 的方向向量分别是a ，b ，可得12l l //⇒//a b ，反之不成立，可能重合． 【详解】平面中两条直线1l ，2l 的方向向量分别是a ，b ，则12l l //⇒//a b ，反之不成立，可能重合．12//l l ∴是//a b 的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查了线面位置关系、平面向量的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2．C 【解析】 【分析】由()()f t f t -=-得1(())f f t t --=-，再由函数图象的平移规律得出答案． 【详解】()f x 定义在R 上的奇函数，()()f t f t ∴-=-，1(())f f t t -∴-=-，即(()f t -，)t -在1()y f x -=的图象上，1(1)y f x -=+图象是由1()y f x -=的图象向左平移1个单位得到的， (()1f t ∴--，)t -在1(1)y f x -=+图象上．故选：C ． 【点睛】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键． 3．C【解析】试题分析：根据数列的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前项和910n S =，那么可知n 1111n S n n =-=++，可知n=9,那么根据2211x y n n-=+可知a=10,b= 3,故可知双曲线2211x y n n -=+的渐近线方程为31010y x =±，选C. 考点：数列的求和，双曲线的性质点评：主要是考查了数列的通项公式和双曲线的性质的运用，属于基础题。
2018-2019学年上海市复旦附中高三(上)期中数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高三（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.4分）n→∞(1+12019n)2019=___ ．2.（填空题.4分）若复数z满足z•（1+i）=（1-i）2（i为虚数单位）.则|z|=___ ．3.（填空题.4分）已知向量a⃗ =（-2.1）. b⃗⃗ =（3.-1）. c⃗ =（2.y）.且（a⃗ - b⃗⃗）⊥ c⃗ .则y=___ ．4.（填空题.4分）若集合A={x|y=lg（x- 12）}.B={y|y=arcsinx}.则A∩B=___．5.（填空题.4分）在(x−2x2)6的二项展开式中.x3的系数是___ ．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别是a.b.c.若a=3.b= √6，A=π3.则角C的大小为___ ．7.（填空题.4分）若圆锥侧面积为20π.且母线与底面所成角正切为34.则该圆锥的体积为___ ．8.（填空题.4分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n.首项a1=1.a2=a- 32 .且n→∞S n =a.则a=___ ．9.（填空题.4分）某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考.已知每门学科考A+得70分.考A得67分.考B+得64分.该生每门学科均不低于64分.则其总分至少为207分的概率为___ ．10.（填空题.4分）已知a.b∈R.且4≤a2+b2≤25.则a2+b2+ab的取值范围是___ ．11.（填空题.6分）已知函数f（x）=a sinx+bcos x+c的图象经过A（0.5）.B（π2.5）两点.当x∈[0. π2]时.|f（x）|≤10.则实数c的取值范围是___ ．12.（填空题.6分）定义在[0.+∞）上的函数f（x）满足：① 当x∈[1.2）时. f(x)=1 2sin(2πx+π2)；② 对任意x∈[0.+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x1.x2.x3.…x n.….若a∈(12，1) .则x1+x2+…+x2n=___ ．13.（单选题.5分）若平面中两条直线l1.l2的方向向量分别是a⃗ . b⃗⃗ .则l1 || l2是a⃗ || b⃗⃗的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.5分）若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f-1（x）.那么必在函数y=f-1（x+1）图象上的点是（）A.（-f（t-1）.-t）B.（-f（t+1）.-t）C.（-f（t）-1.-t）D.（-f（t）+1.-t）15.（单选题.5分）已知数列{a n}的通项公式为a n= 1n(n+1)（n∈N*.其前n项和S n= 910.则双曲线x2 n+1 - y2n=1的渐近线方程为（）A. y=±2√23xB. y=±3√24xC. y=±3√1010xD. y=±√103x16.（单选题.5分）已知定义在[0.+∞）上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+x.且当x∈[0.2）时.f（x）=x-8.则f（93）=（）A.2019B.2109C.2190D.290117.（问答题.14分）已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1.且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{b n}满足b n=2a n+（-1）n a n.T n为数列{b n}的前n项和.求T2n．18.（问答题.14分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2 √3 cos2x- √3 .x∈R．（1）求函数y=f（-3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（2）已知△ABC中的三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若锐角A满足f（A2 - π6）= √3 .且a=7.sinB+sinC= 13√314.求b.c的长．19.（问答题.14分）某饮料生产企业为了占有更多的市场份额.拟在2013年度进行一系列促销活动.经过市场调查和测算.饮料的年销售量x 万件与年促销费t 万元间满足x= 3t+1t+1 .已知2013年生产饮料的设备折旧、维修等固定费用为3万元.每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用.若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和.则该年生产的饮料正好能销售完．（1）将2013年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数； （2）该企业2013年的年促销费投入多少万元时.企业的年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费.生产成本=固定费用+生产费用）20.（问答题.16分）设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意n∈N *.点 (n ，S nn ) 都在函数 f (x )=x +a n2x的图象上． （1）求a 1.a 2.a 3.归纳数列{a n }的通项公式（不必证明）．（2）将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项、5项循环地分为（a 1）.（a 2.a 3）.（a 4.a 5.a 6）.（a 7.a 8.a 9.a 10）.（a 11.a 12.a 13.a 14.a 15）.（a 16）.（a 17.a 18）.（a 19.a 20.a 21）.….分别计算各个括号内各数之和.设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }.求b 6+b 100的值． （3）设A n 为数列 {a n −1a n} 的前n 项积.若不等式 A n √a n +1＜f (a )−a n +32a对一切n∈N *都成立.其中a ＞0.求a 的取值范围．21.（问答题.18分）已知函数h （x ）= mx+n 3x 2+27 为奇函数.k （x ）=（ 13 ）|x-m|.其中m 、n∈R ． （1）若函数h （x ）的图象过点A （1.1）.求实数m 和n 的值；（2）若m=3.试判断函数f （x ）= 1ℎ(x ) + 1k (x ) 在x∈[3.+∞）上的单调性并证明； （3）设函数 g (x )={ℎ(x )，x ≥39k (x )，x ＜3若对每一个不小于3的实数x 1.都恰有一个小于3的实数x 2.使得g （x 1）=g （x 2）成立.求实数m 的取值范围．2018-2019学年上海市复旦附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.4分）n→∞(1+12019n )2019=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：利用数列的极限的运算法则.化简求解即可．【解答】：解：n→∞(1+12019n )2019 = lim n→∞(1+C 20191•12019n+C 20192(12019n)2+⋯+C 20192019(12019n )2019) =1．故答案为：1．【点评】：本题考查数列的极限的运算法则的应用.考查计算能力．2.（填空题.4分）若复数z 满足z•（1+i ）=（1-i ）2（i 为虚数单位）.则|z|=___ ． 【正确答案】：[1] √2【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘除运算化简.利用复数模的计算公式求解．【解答】：解：由z•（1+i ）=（1-i ）2=-2i. 得z=−2i1+i=−2i (1−i )(1+i )(1−i )=−1−i .∴|z|= √2 ． 故答案为： √2 ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础的计算题． 3.（填空题.4分）已知向量 a ⃗ =（-2.1）. b ⃗⃗ =（3.-1）. c ⃗ =（2.y ）.且（ a ⃗ - b ⃗⃗ ）⊥ c ⃗ .则y=___ ． 【正确答案】：[1]5【解析】：可求出 a ⃗−b ⃗⃗=(−5，2) .根据 (a ⃗−b ⃗⃗)⊥c ⃗ 即可得出 (a ⃗−b ⃗⃗)•c ⃗=0 .进行数量积的坐标运算即可求出y ．【解答】：解：a⃗−b⃗⃗=(−5，2)；∵ (a⃗−b⃗⃗)⊥c⃗；∴ (a⃗−b⃗⃗)•c⃗=−10+2y=0；∴y=5．故答案为：5．【点评】：考查向量坐标的减法和数量积运算.以及向量垂直的充要条件．4.（填空题.4分）若集合A={x|y=lg（x- 12）}.B={y|y=arcsinx}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（12，π2]【解析】：先求出集合A.B.由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=lg（x- 12）}={x|x＞12}.B={y|y=arcsinx}={x|- π2≤x≤ π2}.∴A∩B={x| 12＜x≤π2）=（12，π2]．故答案为：（12，π2]．【点评】：本题考查交集的求法.考查交集定义等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（填空题.4分）在(x−2x2)6的二项展开式中.x3的系数是___ ．【正确答案】：[1]-12【解析】：在二项展开式的通项公式中.令x的幂指数等于3.求出r的值.即可得到x3的系数．【解答】：解：在(x−2x2)6的二项展开式中.它的通项公式为 T r+1= C6r•（-2）r•x6-3r.令6-3r=3.求得r=1.故x3的系数为C61•（-2）=-12.故答案为：-12．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项展开式的通项公式.二项式系数的性质.属于基础题．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别是a.b.c.若a=3.b= √6，A=π3.则角C的大小为___ ．【正确答案】：[1] 5π12【解析】：先由正弦定理求出sinB.然后通过a＞b判断出B为锐角.求出B.最后利用三角形内角和为π.求出C．【解答】：解：在三角形ABC中.由正弦定理得：asinA = bsinB.即3sinπ3= √6sinB.解得：sinB= √22.又b＜a.∴B＜A.∴B= π4 .∴C=π- π3- π4= 5π12.故答案为：5π12【点评】：本题考查了正弦定理．属基础题．7.（填空题.4分）若圆锥侧面积为20π.且母线与底面所成角正切为34.则该圆锥的体积为___ ．【正确答案】：[1]16π【解析】：根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长.利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．【解答】：解：∵设圆锥的母线长是l.底面半径为r.母线与底面所成角正切为34 .即余弦为45．可得rl = 45①∵侧面积是20π.∴πrl=20π. ②由① ② 解得：l=5.r=4.故圆锥的高h= √l2−r2 = √25−16 =3.则该圆锥的体积为：13×πr2×3=16π.故答案为：16π．【点评】：本题考查了圆锥的有关计算.解题的关键是正确的进行圆锥与扇形的转化．8.（填空题.4分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n.首项a1=1.a2=a- 32 .且n→∞S n =a.则a=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由已知得11−(a−1.5)=a.由此能求出a．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n}的前n项和为S n.首项为1.公比为a-1.5.∴S n= 1−(a−1．5)n1−(a−1.5).∵n→∞S n =a.∴ 11−(a−1.5)=a.解得a=2．故答案为：2．【点评】：本题考查等比数列的公比的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意等比数列的性质的合理运用．9.（填空题.4分）某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考.已知每门学科考A+得70分.考A得67分.考B+得64分.该生每门学科均不低于64分.则其总分至少为207分的概率为___ ．【正确答案】：[1] 427【解析】：先求出基本事件总数n=3×3×3=27.其总分至少为207分包含的基本事件个数m= C33+C32C11 =4.由此能求出其总分至少为207分的概率．【解答】：解：某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考.每门学科考A+得70分.考A得67分.考B+得64分.该生每门学科均不低于64分.基本事件总数n=3×3×3=27.其总分至少为207分包含的基本事件个数：m= C33+C32C11 =4.∴则其总分至少为207分的概率p= mn =427．故答案为：427．【点评】：本题考查概率的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．10.（填空题.4分）已知a.b∈R.且4≤a2+b2≤25.则a2+b2+ab的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][2. 752]【解析】：由题意可令a=rcosα.b=rsinα（2≤r≤5）.代入a2+b2+ab.结合三角函数的性质可求．【解答】：解：∵4≤a2+b2≤25.令a=rcosα.b=rsinα（2≤r≤5）.则a2+b2+ab=（rcosα）2+（rsinα）2+r2cosαsinα=r2（1+sinαcosα）=r2（1+ 12sin2α）.∵ 1 2≤1+ 12sin2α≤ 32.∴2≤ 12r2≤ r2（1+ 12sin2α）≤3r22≤752.故答案为：[2. 752]．【点评】：本题以不等式为载体.主要考查了不等式的性质及三角函数性质的简单应用．11.（填空题.6分）已知函数f（x）=a sinx+bcos x+c的图象经过A（0.5）.B（π2.5）两点.当x∈[0. π2]时.|f（x）|≤10.则实数c的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][20-5 √2 .20+15 √2 ]【解析】：先求出a=b=5-c.再化简函数f（x）=（5-c）√2 sin（x+ π4）+c.由x的范围和正弦函数的图象与性质.求出f（x）的最值.由条件和恒成立列出不等式.求出实数a的取值范围．【解答】：解：∵已知函数f（x）=a sinx+bcos x+c的图象经过A（0.5）.B（π2.5）两点.∴{0+b+c=5a+0+c=5.∴a=b=5-c．∴函数f（x）=a sinx+bcos x+c=（5-c）（sinx+cosx）+c=（5-c）√2 sin（x+ π4）+c.当x∈[0. π2 ]时.x+ π4∈[ π4. 3π4].sin（x+ π4）∈[ √22.1].∴ √2 sin（x+ π4）∈[.1 √2 ].当sin（x+ π4）=1时.f（x）= √2（5-c）+c；当sin（x+ π4）= √22时.f（x）=5．∵当x∈[0. π2]时.|f（x）|≤10恒成立.∴| √2（5-c）+c|≤10.∴-10≤（1- √2）c+5 √2≤10.求得-5 √2≤c≤20+15 √2 .则实数c的取值范围是[-5 √2 .20+15 √2 ].故答案为：[-5 √2 .20+15 √2 ]．【点评】：本题考查正弦函数的图象与性质.三角恒等变换中的公式.函数的单调性.以及恒成立与存在性问题的转化.考查转化思想.换元法、分离常数法.化简、变形能力.属于难题．12.（填空题.6分）定义在[0.+∞）上的函数f（x）满足：① 当x∈[1.2）时. f(x)=1 2sin(2πx+π2)；② 对任意x∈[0.+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x1.x2.x3.…x n.….若a∈(12，1) .则x1+x2+…+x2n=___ ．【正确答案】：[1]6×（2n-1）【解析】：① 当x∈[1.2）时. f(x)=12sin(2πx+π2)；② 对任意x∈[0.+∞）都有f（2x）=2f（x）．x∈[2.4）时. 12x∈[1.2）．可得f（x）=2f（12x）=sin (πx+π2) .…….画出图象.设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x1.x2.x3.…x n.….同理.则a∈(12，1) .F （x）=f（x）-a在区间（2.3）和（3.4）上各有1个零点.分别为x1.x2.且满足x1+x2=2×3=6.依此类推：x3+x4=2×6=12.x5+x6=2×12=24….x2n-1+x2n=2×3×2n-1．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】：解：① 当x∈[1.2）时. f(x)=12sin(2πx+π2)；② 对任意x∈[0.+∞）都有f（2x）=2f（x）．x∈[2.4）时. 12x∈[1.2）．∴f（x）=2f（12x）=sin (πx+π2) .…….画出图象.设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x1.x2.x3.…x n.….同理.则a∈(12，1) .F（x）=f（x）-a在区间（2.3）和（3.4）上各有1个零点. 分别为x1.x2.且满足x1+x2=2×3=6.依此类推：x3+x4=2×6=12.x5+x6=2×12=24….x2n-1+x2n=2×3×2n-1．∴当a∈(12，1) .时.x1+x2+…+x2n-1+x2n=6×（1+2+22+…+2n-1）=6× 1−2n=6×（2n-1）.1−2故答案为：6×（2n-1）．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质、等比数列的通项公式与求和公式.考查了数形结合方法、推理能力与计算能力.属于中档题．13.（单选题.5分）若平面中两条直线l1.l2的方向向量分别是a⃗ . b⃗⃗ .则l1 || l2是a⃗ || b⃗⃗的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：平面中两条直线l1.l2的方向向量分别是a⃗ . b⃗⃗ .可得l1 || l2⇒ a⃗ || b⃗⃗ .反之不成立.可能重合．【解答】：解：平面中两条直线l1.l2的方向向量分别是a⃗ . b⃗⃗ .则l1 || l2⇒ a⃗ || b⃗⃗ .反之不成立.可能重合．∴l1 || l2是a⃗ || b⃗⃗的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查了线面位置关系、平面向量的性质、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（单选题.5分）若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f-1（x）.那么必在函数y=f-1（x+1）图象上的点是（）A.（-f（t-1）.-t）B.（-f（t+1）.-t）C.（-f（t）-1.-t）D.（-f（t）+1.-t）【正确答案】：C【解析】：由f（-t）=-f（t）得f-1（-f（t））=-t.再由函数图象的平移规律得出答案．【解答】：解；∵f（x）定义在R上的奇函数.∴f（-t）=-f（t）.∴f-1（-f（t））=-t.即（-f（t）.-t）在y=f-1（x）的图象上.∵y=f-1（x+1）图象是由y=f-1（x）的图象向左平移1个单位得到的.∴（-f（t）-1.-t）在y=f-1（x+1）图象上．故选：C．【点评】：本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换.利用互为反函数的函数图象关系是关键．15.（单选题.5分）已知数列{a n}的通项公式为a n= 1n(n+1)（n∈N*.其前n项和S n= 910.则双曲线x2 n+1 - y2n=1的渐近线方程为（）A. y=±2√23xB. y=±3√24xC. y=±3√1010xD. y=±√103x【正确答案】：C【解析】：根据数列{a n}的通项利用裂项求和算出S n.代入题中解出n=9.可得双曲线的方程为x2 10−y29=1 .再用双曲线的渐近线方程的公式即可算出该双曲线的渐近线方程．【解答】：解：∵数列{a n}的通项公式为a n=1n(n+1)(n∈N∗) .∴ a n=1n −1n+1.可得S n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=910即1- 1n+1 = 910.解之得n=9．∴双曲线的方程为x210−y29=1 .得a= √10 .b=3因此该双曲线的渐近线方程为y= ±ba x .即y=±3√1010x．故选：C．【点评】：本题给出数列的前n项和.求项数n并求与之有关的双曲线渐近线方程．着重考查了数列的通项与求和、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识.属于中档题．16.（单选题.5分）已知定义在[0.+∞）上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+x.且当x∈[0.2）时.f（x）=x-8.则f（93）=（）A.2019B.2109C.2190D.2901【正确答案】：B【解析】：有f（x+2）=f（x）+x得f（x+2）-f（x）=x.利用累加法进行求解即可得到结论．【解答】：解：由f（x+2）=f（x）+x得f（x+2）-f（x）=x.则f（3）-f（1）=1.f（5）-f（3）=3.f（7）-f（5）=5.….f（93）-f（91）=91.=2116.两边同时相加得f（93）-f（1）=1+3+5+…+91= (1+91)×462∴f（93）=f（1）+2116.∵当x∈[0.2）时.f（x）=x-8.∴f（1）=-7.则f（93）=f（1）+2116=-7+2116=2109.故选：B．【点评】：本题主要考查函数值的计算.根据条件.利用累加法进行求解是解决本题的关键．17.（问答题.14分）已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1.且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{b n}满足b n=2a n+（-1）n a n.T n为数列{b n}的前n项和.求T2n．【正确答案】：【解析】：（1）由已知列式求得公差.代入等差数列的通项公式得答案；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=2a n+（-1）n a n.分组后利用等差数列与等比数列前n项和公式求解．【解答】：解：（1）由题意可得.d＞0.a1=1.且a1a4=a22 .即a1(a1+3d)=(a1+d)2 .解得d=1．∴a n=a1+（n-1）d=n；（2）b n=2a n+（-1）n a n=2n+（-1）n n．则T2n=(21+22+⋯+22n)+ [-1+2-3+4-…-（2n-1）+2n]= 2(1−22n)1−2+n =22n+1+n-2．【点评】：本题考查等差数列的通项公式.考查等比数列的性质.训练了等差数列与等比数列前n项和的求法.是中档题．18.（问答题.14分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2 √3 cos2x- √3 .x∈R．（1）求函数y=f（-3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（2）已知△ABC中的三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若锐角A满足f（A2 - π6）= √3 .且a=7.sinB+sinC= 13√314.求b.c的长．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角恒等变换化简f（x）.求出y=f（-3x）+1的解析式.再求y的最小正周期和单调减区间；（2）根据题意求出A的值.再利用正弦定理和余弦定理求出b、c的值．【解答】：解：（1）∵ f(x)=2sinxcosx+√3(2cos2x−1)=sin2x+ √3 cos2x=2sin（2x+ π3）；…（2分）∴y=f（-3x）+1=2sin（-6x+ π3）+1=-2sin（6x- π3）+1；∴y=f（-3x）+1的最小正周期为T=2π6=π3；…（3分）由2kπ−π2≤6x−π3≤2kπ+π2得：1 3kπ−π36≤x≤13kπ+5π36.k∈Z.∴y=f（-3x）+1的单调递减区间是[1 3kπ−π36，13kπ+5π36] .k∈Z；…（6分）（2）∵ f(A2−π6)=√3 .∴ 2sin(A−π3+π3)=√3 .∴ sinA=√32.…（7分）∵ 0＜A＜π2 .∴ A=π3；由正弦定理得：sinB+sinC=b+casinA .即13√314=b+c7×√32.∴b+c=13；…（9分）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得：a2=（b+c）2-2bc-2bccosA.即49=169-3bc.∴bc=40；…（11分）解得b=5.c=8或b=8或c=5．…（12分）【点评】：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题.也考查了三角恒等变换的应用问题.是综合性题目．19.（问答题.14分）某饮料生产企业为了占有更多的市场份额.拟在2013年度进行一系列促销活动.经过市场调查和测算.饮料的年销售量x万件与年促销费t万元间满足x= 3t+1t+1.已知2013年生产饮料的设备折旧、维修等固定费用为3万元.每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用.若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和.则该年生产的饮料正好能销售完．（1）将2013年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（2）该企业2013年的年促销费投入多少万元时.企业的年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费.生产成本=固定费用+生产费用）【正确答案】：【解析】：（1）确定饮料的售价.即可通过x 表示出年利润y.化简代入整理即可求出y 万元表示为促销费t 万元的函数；（2）根据已知代入（1）的函数.分别进行化简.利用关于t 的方程必须有两正根建立关系式.可求出最值.即促销费投入多少万元时.企业的年利润最大．【解答】：解：（1）当年销量为x 万件时.成本为3+32x （万元）． 饮料的售价为3+32x x ×150%+ 12 × tx（万元/万件） 所以年利润y=（3+32x x ×150%+ 12 × tx）x-（3+32x+t ）（万元） 把x= 3t+1t+1 代入整理得到y=−t 2+98t+352t+2.其中t≥0．（2）y= −t 2+98t+352t+2 .去分母整理得到：t 2+2（y-49）t+2y-35=0．该关于t 的方程在[0.+∞）上有解． 当2y-35≤0.即y≤17.5时.必有一解． 当2y-35＞0时.该关于t 的方程必须有两正根所以 {4(y −49)2−4(2y −35)≥0−2(y −49)＞02y −35＞0解得：17.5＜y≤42．综上.年利润最大为42万元.此时促销费t=7（万元）． 所以当促销费定在7万元时.企业的年利润最大．【点评】：本小题主要考查函数模型的选择与应用、方程根的分布等基础知识.考查学生分析问题和解决问题的能力.强调对知识的理解和熟练运用.属于中档题．20.（问答题.16分）设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意n∈N *.点 (n ，Snn ) 都在函数 f (x )=x +a n2x的图象上． （1）求a 1.a 2.a 3.归纳数列{a n }的通项公式（不必证明）．（2）将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项、5项循环地分为（a 1）.（a 2.a 3）.（a 4.a 5.a 6）.（a 7.a 8.a 9.a 10）.（a 11.a 12.a 13.a 14.a 15）.（a 16）.（a 17.a 18）.（a 19.a 20.a 21）.….分别计算各个括号内各数之和.设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }.求b 6+b 100的值． （3）设A n 为数列 {a n −1a n} 的前n 项积.若不等式 A n √a n +1＜f (a )−a n +32a对一切n∈N *都成立.其中a ＞0.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得S n =n 2+ 12 a n .分别令n=1.2.3.进而归纳出数列{a n }的通项公式；（2）写出几个循环数.可得每一次循环记为一组.由每一个循环含有5个括号.故b 100是第20组中第5个括号内的数之和.每一个循环中含有15个数.20个循环具有300个数.计算可得所求和；（3）由题意可得原不等式即为（1- 1a 1 ）（1- 1a 2 ）…（1- 1a n） √2n +1 ＜a- 32a对一切n∈N *都成立.设g （n ）=（1- 1a 1 ）（1- 1a 2 ）…（1- 1a n） √2n +1 .则只需g （n ）max ＜a- 32a.判断数列g （n ）的单调性.可得最大值.解不等式即可得到所求a 的范围．【解答】：解：（1）由点 (n ，S n n ) 都在函数 f (x )=x +an2x 的图象上. 可得 S n n =n+ a n 2n .即S n =n 2+ 12 a n .当n=1时.a 1=1+ 12a 1.即a 1=2. n=2时.a 1+a 2=4+ 12 a 2.可得a 2=4. n=3时.a 1+a 2+a 3=9+ 12 a 3.可得a 3=6. 由此猜想a n =2n.n∈N*； （2）由a n =2n.n∈N*.将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项、5项循环地分为（2）.（4.6）.（8.10.12）.（14.16.18.20）.（22.24.26.28.30）；（32）.（34.36）.（38.40.42）.….每一次循环记为一组.由每一个循环含有5个括号. 故b 100是第20组中第5个括号内的数之和. 每一个循环中含有15个数.20个循环具有300个数.b 100=（2+4+…+600）-（2+4+…+590）=592+594+596+598+600=2980. 又b 6=32.则b 100+b 6=3012； （3）由a n −1a n =1- 1a n.故A n =（1- 1a 1）（1- 1a 2）…（1- 1a n）.则A n √a n +1 =（1- 1a 1）（1- 1a 2）…（1- 1a n） √2n +1 .又f （a ）-a n +32a =a+ a n 2a - a n +32a =a- 32a. A n √a n +1＜f (a )−a n +32a对一切n∈N *都成立.即为（1- 1a 1）（1- 1a 2）…（1- 1a n） √2n +1 ＜a- 32a对一切n∈N *都成立. 设g （n ）=（1- 1a 1）（1- 1a 2）…（1- 1a n） √2n +1 .则只需g （n ）max ＜a- 32a .由g (n+1)g (n ) =（1- 1a n+1 ）• √2n+3√2n+1= √4n 2+8n+3√4n 2+8n+4 1.即g （n+1）＜g （n ）.可得g （n ）递减.即有g （n ）的最大值为g （1）= √32 . 由a- 32a＞ √32.又a ＞0.可得a ＞ √3 . 可得a 的取值范围是（ √3 .+∞）．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法.注意运用归纳法.考查新数列的构造和求和.注意分析规律.考查数列不等式恒成立问题解法.注意运用数列的单调性和转化思想.考查化简整理的运算能力.属于难题．21.（问答题.18分）已知函数h （x ）= mx+n3x 2+27 为奇函数.k （x ）=（ 13 ）|x-m|.其中m 、n∈R ． （1）若函数h （x ）的图象过点A （1.1）.求实数m 和n 的值； （2）若m=3.试判断函数f （x ）= 1ℎ(x ) + 1k (x )在x∈[3.+∞）上的单调性并证明；（3）设函数 g (x )={ℎ(x )，x ≥39k (x )，x ＜3若对每一个不小于3的实数x 1.都恰有一个小于3的实数x 2.使得g （x 1）=g （x 2）成立.求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）运用奇函数的定义可得n=0.再由h （x ）图象经过点（1.1）.解方程可得m ； （2）f （x ）=x+ 9x +3x-3在[3.+∞）递增．运用单调性的定义.结合因式分解和指数函数的单调性.即可得证；（3）求得当x≥3时.g （x ）=h （x ）=mx 3x 2+27 = m3x+27x；当x ＜3时.g （x ）=9k （x ）=9•（ 13）|x-m|．分别讨论m≤0.0＜m ＜3.m≥3.运用基本不等式和单调性.求得m 的范围．【解答】：解：（1）函数h （x ）= mx+n3x 2+27 为奇函数. 可得h （-x ）=-h （x ）.即 −mx+n 3x 2+27 =- mx+n3x 2+27 .则n=0. 由h （x ）的图象过A （1.1）.可得h （1）=1.即 m+n30=1. 解得m=30.n=0；（2）m=3.可得f （x ）=x+ 9x +3x-3.f （x ）在[3.+∞）递增． 理由：设3≤x 1＜x 2.则f （x 1）-f （x 2）=x 1+ 9x 1+3x 1-3-x 2- 9x 2-3x 2-3=（x 2-x 1）•9−x 1x 2x 1x 2+3x 1-3-3x 2-3. 由3≤x 1＜x 2.可得x 2-x 1＞0.x 1x 2＞9.3x 1-3-3x 2-3＜0. 则f （x 1）-f （x 2）＜0.即f （x 1）＜f （x 2）. 可得f （x ）在[3.+∞）递增；（3）当x≥3时.g （x ）=h （x ）= mx3x 2+27 =m 3x+27x；当x ＜3时.g （x ）=9k （x ）=9•（ 13 ）|x-m|． ① m≤0时.∀x 1≥3时.g （x 1）=h （x 1）=m3x 1+27x 1≤0；∀x 2＜3时.g （x 2）=9k （x 2）=9•（ 13 ）|x 2-m|．＞0不满足条件.舍去； ② 当0＜m ＜3时.∀x 1≥3时.g （x 1）=h （x 1）=m3x 1+27x 1∈（0. m18 ].∀x 2＜3时.|x 2-m|≥0.g （x 2）=9k （x 2）=9•（ 13 ）|x 2-m|∈（0.9]. 由题意可得（0. m 18 ]⊆（0.9].可得 m18 ≤9.即m≤162； 综上可得0＜m ＜3；③ 当m≥3时.∀x 1≥3时.g （x 1）=h （x 1）=m3x 1+27x 1∈（0. m18 ].∀x 2＜3时.|x 2-m|＞m-3≥0.g （x 2）=9k （x 2）=9•（ 13 ）|x 2-m|∈（0.9•（ 13 ）m-3）. 由题意可得（0. m18 ]⊆（0.9•（ 13 ）m-3）.可得 m 18＜35-m .可令H （x ）=35-x - x 18.则H （x ）在R 上递减.H （6）=0. m18 ＜35-m .可得m ＜6.即3≤m ＜6. 综上可得0＜m ＜6．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用.考查分类讨论思想方法和化简整理的运算能力.属于难题．。
上海市复旦大学附属中学2019学年第一学期高三年级开学摸底考试数学试题 含答案
（2）若 PB = PA，求实数 的取值范围；
（3）若射线 BO 交椭圆 C 于点 M（O 为原点），求 VABM 面积的最大值.
21.
已知函数 h ( x) =
mx 3x2
+n + 27
为奇函数，
k
(
x
)
=
1 3
x−m
，其中 m、 n R.
（1）若函数 h ( x) 的图像过点 A(1,1)，求实数 m 和 n 的值；
②若 sin A PA + sin B PB + sin C PC = 0 ，则点 P 为 ABC 的____________；
③若 sin 2A PA + sin 2B PB + sin 2C PC = 0 ，则点 P 为 ABC 的____________.
回答以下两个小问：
（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上
（3）若 fmin ( x) = m, gmin ( x) = n ，则 Fmin ( f ( x), g ( x)) = F (m, n) ；
（4）若 f ( x) 、 g ( x) 都是周期函数，则函数 F ( f ( x), g ( x)) 是周期函数.
其中正确命题的个数为（ ）
A. 1 个
B. 2 个
A. 重心
B. 外心
C. 内心
（2）请你证明结论②
D. 垂心
第3页
20.
已知椭圆 C : x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的右焦点为 F (1, 0) ，短轴长为
2，过定点
P(0,2)的直线
l
交椭圆
C 于不同的两点 A、B（点 B 在点 A，P 之间）. （1）求椭圆 C 的方程；
2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)第一次综合测试数学试卷(10月份)
2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）第一次综合测试数学试卷（10月份）一、填空题[第16题每题4分，第7-12每题5分，共54分）1. 已知P：“角α的终边在第一象限”，q：“sinα>0”，则p是q的________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分非必要【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由“sinα>0”，可以推出“角α的终边在第一，第二象限以及y轴正半轴“；由此即可判断．【解答】若：“角α的终边在第一象限”，则“sinα>0”成立；所以p是q的充分条件；若“sinα>0”，则“角α的终边在第一，第二象限以及y轴正半轴”；所以p不是q的必要条件；2. 函数f(x)＝x2−1(x<0)的反函数f−1(x)＝________−√x+1（________>−1）．【答案】,x【考点】反函数【解析】求出值域值域为(−1, +∞)，根据得出x=−√y+1，转化变量求解反函数即可．【解答】∵函数f(x)＝x2−1(x<0)，∴值域为(−1, +∞)，y＝x2−1，∴反函数f−1(x)=−√x+1(x>−1)，3. 记不等式x2+x−6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x−a)的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．【答案】(−∞, −3]【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】由x2+x−6<0得−3<x<2，即A(−3, 2)，由x−a>0，得x>a，即B＝(a, +∞)，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤−3，4. 设f(x)＝1g1−axx−1为奇函数，则a＝________．【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)＝0，即1g1−axx−1+1g1+ax−x−1=lg1−a2x21−x2=0，分析可得a的值，验证f(x)的奇偶性即可得答案．【解答】根据题意，f(x)＝1g1−axx−1为奇函数，则f(x)+f(−x)＝0，即1g1−axx−1+1g1+ax−x−1=lg1−a2x21−x=0，必有1−a 2x21−x2=1，解可得a＝1或−1，若a＝1，f(x)＝1g1−xx−1=lg(−1)，没有意义，舍去；若a＝−1，f(x)＝1g1+xx−1，为奇函数，符合题意；故a＝−1；5. 已知a>1，则不等式a+2a−1的最小值为________．【答案】1+2√2．【考点】基本不等式【解析】由基本不等式可得a+2a−1=a−1+2a−1+1≥1+2√2，检验取等号的条件．【解答】解：∵a>1,∴a−1>0,∴a+2a−1=a−1+2a−1+1≥1+2√2，当且仅当a−1=2a−1，即a=1+√2时等号成立．∴不等式a+2a−1的最小值为1+2√2．故答案为1+2√2．6. 已知集合A＝{−2, −1, 0}，B＝{−1, 0, 1, 2}，则集合{a−b|a∈A, b∈B}的子集个数为________．【答案】64【考点】 子集与真子集 【解析】可以求出集合{a −b|a ∈A, b ∈B}＝{1, 0, −1, −2, −3, −4}，从而子集个数为26． 【解答】a ∈A ，b ∈B ，∴ a −b ＝−1，−2，−3，−4，0，1，∴ 集合{a −b|a ∈A, b ∈B}＝{1, 0, −1, −2, −3, −4}； ∴ {a −b|a ∈A, b ∈B}的子集个数为：26＝64．7. 已知sin α+cos α=−713，α∈(−π2,0)，则tan α＝________．【答案】−125【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sin αcos α的值，进而判断出sin α−cos α的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sin α−cos α的值，联立求出sin α与cos α的值，即可确定出tan α的值． 【解答】 把sin α+cos α=−713①，两边平方得：(sin α+cos α)2＝1+2sin αcos α=49169， ∴ 2sin αcos α=−120169，∵ α∈(−π2, 0)，∴ sin α<0，cos α>0，即sin α−cos α<0，∴ (sin α−cos α)2＝1−2sin αcos α=289169，即sin α−cos α=−1713②， 联立①②，解得：sin α=−1213，cos α=513，则tan α=−125．8. 已知正数a ，b 满足b a ＝4，且a +log 2b ＝3，则a +b ＝________．【答案】 4或5 【考点】指数式与对数式的互化 【解析】将b a ＝4等号两边取以2为底的对数，结合已知条件，转化为关于a 和log 2b 的方程，求出a 和log 2b ，即可得到所求． 【解答】 ∵ b a ＝4，∴ log 2b a =log 24，即a log 2b ＝2①，又a +log 2b ＝3②，联立①②得{a =1log 2b =2 或者{a =2log 2b =1 ，即{a =1b =4 或者{a =2b =2 ， ∴ a +b ＝4或者a +b ＝5，9. 已知函数f(x)=2x−1x−1的定义域是(−∞, 0]∪[3, +∞)，则f(x)的值域是________．【答案】[1,2)∪(2,52]【考点】函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 【解析】分x ≤0及x ≥3两种情况，利用不等式的性质求解． 【解答】 f(x)=2(x−1)+1x−1=2+1x−1，当x ≤0时，x −1≤−1,−1≤1x−1<0,1≤2+1x−1<2，当x ≥3时，x −1≥2,0<1x−1≤12,2<2+1x−1≤52， 综上，函数f(x)在(−∞, 0]∪[3, +∞)的值域为[1,2)∪(2,52]．10. 对于函数f(x)，若存在正实数M ，对于任意x ∈(1, +∞)，都有|f(x)|≤M ，则称函数f(x)在(1, +∞)上是有界函数．下列函数：①f(x)=xx−1；②f(x)=xx 2+1；③f(x)=x−1x+1；④f(x)＝x sin x ；其中在(1, +∞)上是有界函数的序号为________． 【答案】 ②③ 【考点】函数的值域及其求法 【解析】分析求出当x ∈(1, +∞)时，给定四个函数的值域，进而判断是否存在正实数M ，对于任意任意x ∈(1, +∞)，都有|f(x)|≤M ，进而得出结论． 【解答】对①，函数f(x)=xx−1=x−1+1x−1=1+1x−1，其在(1, +∞)上为减函数，且值域为(1, +∞)，故不是有界函数； 对②，函数f(x)=x x 2+1=1x+1x(x >1)，由于x +1x >2(x >1)，故0<f(x)<12，则|f(x)|<12，即存在M =12，故是有界函数； 对③，函数f(x)=x+1−2x+1=1−2x+1(x >1)，由于0<1x+1<12，0<2x+1<1，故0<1−2x+1<1，则|f(x)|<1，即存在M＝1，故是有界函数；对④，函数f(x)＝x sin x在(1, +∞)上的值域为R，故不是有界函数．11. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝21og2x、y＝log2x、y＝k log2x(k为常数，0<k<1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是________12．【答案】12【考点】对数函数的图象与性质【解析】设A(t, 21og2t)(t>1)，则B(t2, 21og2t)，D(t, log2t)，C(t2, 2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，解出即可．【解答】设A(t, 21og2t)(t>1)，由AB平行x轴得B(t2, 21og2t)，由AD平行y轴得D(t, log2t)，又BC平行y轴，∴C的坐标为(t2, 2k log2t)，∵四边形ABCD为矩形，∴有log2t＝2k log2t，由于log2t>0，故2k＝1，即k=12．12. 已知函数g(x)的定义域为R，对任何实数m，n，都有g(m+n)＝g(m)+g(n)−3，且函数f(x)=x√1−x2x2+1+g(x)的最大值为p，最小值为q，则p+q值为________．【答案】6【考点】函数的最值及其几何意义【解析】根据题意，可令m＝n＝0，从而求出g(0)＝3，然后令m＝−n可得出函数g(x)−3是奇函数，并且y=x√1−x2x2+1是奇函数，从而可得出f(x)−3是奇函数，从而得出p−3+q−3＝0，从而可求出p+q的值．【解答】∵g(x)的定义域为R，对任何实数m，n，都有g(m+n)＝g(m)+g(n)−3，∴令m＝n＝0得，g(0)＝g(0)+g(0)−3，∴令m＝−n得，g(0)＝g(−n)+g(n)−3＝3，∴[g(−n)−3]+[g(n)−3]＝0，∴g(x)−3是R上的奇函数，且函数y=x√1−x2x2+1是R上的奇函数，∴f(x)−3是R上的奇函数，根据奇函数最大值和最小值互为相反数得，p−3+q−3＝0，∴p+q＝6．二、选择题（每题5分，共20分）设a∈(0, +∞)，b∈(0, +∞)，则“a<b“是“a−1a <b−1b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】将a−1a −b+1b化简成(a−b)(1+1ab)，由此来判断a，b的大小关系；即可求解．【解答】∵a−1a −b+1b=(a−b)(1+1ab)，a∈(0, +∞)，b∈(0, +∞)，∴ ①若“a<b“，则a−1a −b+1b<0，即a−1a<b−1b；所以具有充分性；②若a−1a <b−1b，则(a−b)(1+1ab)<0，即a<b；所以具有必要性；设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πa2B.73πa2 C.113πa2 D.5πa2【答案】B【考点】球内接多面体【解析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为R=√(a2)2+(a2sin60∘)2=√712a2，球的表面积为S=4π⋅7a 212=73πa2.故选B.函数f(x)的定义域为[−1, 1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[−1, 2]，图象如图2所示．A ＝{x|f(g(x))＝0}，B ＝{x|g(f(x))＝0}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】 C【考点】 交集及其运算函数的图象与图象的变换 【解析】结合图象，分别求出集合A ，B ，再根据交集的定义求出A ∩B ，问题得以解决． 【解答】 由图象可知，若f （g(x)）＝0， 则g(x)＝0或g(x)＝1，由图2知，g(x)＝0时，x ＝0，或x ＝2， g(x)＝1时，x ＝1或x ＝−1 故A ＝{−1, 0, 1, 2}， 若g （f(x)）＝0，由图1知，f(x)＝0，或f(x)＝2（舍去）， 当f(x)＝0时，x ＝−1或0或1， 故B ＝{−1, 0, 1}，所以A ∩B ＝{−1, 0, 1}，则A ∩B 中元素的个数为3个．设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +2)＝2f(x)，且当x ∈(0, 2]时，f(x)=x +1x −94．若对任意x ∈(−∞, m]，都有f(x)≥−23，则m 的取值范围是( )A.(−∞,215] B.(−∞,163]C.(−∞,184]D.(−∞,194]【答案】 D【考点】已知函数的单调性求参数问题 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】先利用函数f(x)的单调性，求出其在x ∈(0, 2]时的最值，然后根据递推关系可知， 当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，即可分析出何时f(x)min ≥−23． 【解答】解：当x ∈(4, 6]时，f min =f(5)=−1(1)所以要对任意x ∈(−∞, m]，都有f(x)≥−23，∵x∈(4, 5)时，函数f(x)递减，x∈(5, 6]时，函数f(x)递增，所以当m最大时，m∈(4, 5)，且f(x)min=f(m)=2f(m−2)=4f(m−4)=4[m−4+1m−4−94]≥−23，解得m≤194，故m的取值范围是(−∞, 194]．故选D.三、解笞题（共76分）三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且√2sin B=√3cos B．(1)若cos A=13，求sin C的值；(2)若b=√7，sin A=3sin C，求三角形ABC的面积．【答案】解：(1)由√2sin B=√3cos B，两边平方得2sin2B=3cos B，即2(1−cos2B)=3cos B，解得：cos B=12或cos B=−2（舍去），又B为三角形内角，∴B=π3，∵cos A=13，且A为三角形内角，∴sin A=√1−cos2A=2√23，则sin C=sin(B+A)=sin(π3+A)=√32cos A+12sin A=√3+2√26；(2)∵sin A=3sin C，由正弦定理可得a=3c，∵cos B=12，b=√7，∴由余弦定理知：b2=a2+c2−2ac cos B，即7=9c2+c2−3c2，解得：c=1，a=3c=3，则S△ABC=12ac sin B=3√34．【考点】余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简求出cos B的值，即可确定出B的度数；（2）利用正弦定理化简sin A＝3sin C，得到a＝3c，利用余弦定理列出关系式，将b，cos B，以及a＝3c代入求出c的值，进而求出a的值，再由sin B的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：(1)由√2sin B =√3cos B ，两边平方得2sin 2B =3cos B ， 即2(1−cos 2B)=3cos B ，解得：cos B =12或cos B =−2（舍去）， 又B 为三角形内角， ∴ B =π3，∵ cos A =13，且A 为三角形内角， ∴ sin A =√1−cos 2A =2√23， 则sin C =sin (B +A)=sin (π3+A) =√32cos A +12sin A =√3+2√26； (2) ∵ sin A =3sin C ，由正弦定理可得a =3c ， ∵ cos B =12，b =√7，∴ 由余弦定理知：b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，即7=9c 2+c 2−3c 2，解得：c =1，a =3c =3， 则S △ABC =12ac sin B =3√34．如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD // BC ，AB ⊥AD ，BC =2√33，AB ＝1，BD ＝PA ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（2）求二面角A −PD −C 的余弦值． 【答案】∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AD ．又AD ⊥AB ，故分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD =√3，所以B(1, 0, 0)，D(0, √3, 0)，C(1, 2√33, 0)，P(0, 0, 2)． 从而BD →=(−1, √3, 0)，PC →=(1, 2√33, −2)． 设异面直线BD ，PC 所成角为θ，则cos θ＝|cos <BD →，PC →)>|=|BD →⋅PC →|BD →||PC →||=(−1,√3,0)⋅(1,2√33,−2)2×√193=√5738， 即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为√5738； ∵ AB ⊥平面PAD ，∴ 平面PAD 的一个法向量为AB →=(1, 0, 0)． 设平面PCD 的一个法向量为n →=(x, y, z)， 由n →⊥PC →，n →⊥PD →，PC →=(1, 2√33, −2)，PD →=(0, √3, −2)，得{x +2√33y −2z =0√3y −2z =0，令z ＝3，得n →=(2, 2√3, 3)．设二面角A −PD −C 的大小为φ，且为锐角， 则cos φ＝cos <AB →，n →>=AB →⋅n→|AB →||n →|=(1,0,0)⋅(2,2√3,3)1×5=25，即二面角A −PD −C 的余弦值为25．【考点】二面角的平面角及求法 异面直线及其所成的角 【解析】（1）以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，所求值即为BD →与PC →夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）所求值即为平面PAD 的一个法向量与平面PCD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可． 【解答】∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AD ．又AD ⊥AB ，故分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD =√3，所以B(1, 0, 0)，D(0, √3, 0)，C(1, 2√33, 0)，P(0, 0, 2)． 从而BD →=(−1, √3, 0)，PC →=(1, 2√33, −2)． 设异面直线BD ，PC 所成角为θ，则cos θ＝|cos <BD →，PC →)>|=|BD →⋅PC →|BD →||PC →||=(−1,√3,0)⋅(1,2√33,−2)2×√193=√5738， 即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为√5738； ∵ AB ⊥平面PAD ，∴ 平面PAD 的一个法向量为AB →=(1, 0, 0)． 设平面PCD 的一个法向量为n →=(x, y, z)， 由n →⊥PC →，n →⊥PD →，PC →=(1, 2√33, −2)，PD →=(0, √3, −2)，得{x +2√33y −2z =0√3y −2z =0，令z ＝3，得n →=(2, 2√3, 3)．设二面角A −PD −C 的大小为φ，且为锐角， 则cos φ＝cos <AB →，n →>=AB →⋅n→|AB →||n →|=(1,0,0)⋅(2,2√3,3)1×5=25，即二面角A −PD −C 的余弦值为25．某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y ＝mf(x)，其中f(x)={x4+2(0<x ≤4)6x−2(x >4)，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m 的值． 【答案】因为m ＝4，所以y ＝m ⋅f(x)={x +8(0<x ≤4)24x−2(x >4) ； 所以，当0<x ≤4时，x +8≥4显然成立，当x >4时，24x−2≥4，得4<x ≤8；综上知，0<x ≤8；所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．由y＝m⋅f(x)={mx4+2m(0<x≤4)6mx−2(x>4)知，在区间(0, 4]上单调递增，即2m<y≤3m，在区间(4, 7]上单调递减，即6m5≤y<3m，综上知，6m5≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要6m5≥4，且3m≤10即可，即m=103；所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为103．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由m＝4，且y＝m⋅f(x)，可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4（即y≥4）时，要分区间去求解．（2）由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最佳净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4, 10]内即可，从而解出m的值．【解答】因为m＝4，所以y＝m⋅f(x)={x+8(0<x≤4)24x−2(x>4)；所以，当0<x≤4时，x+8≥4显然成立，当x>4时，24x−2≥4，得4<x≤8；综上知，0<x≤8；所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．由y＝m⋅f(x)={mx4+2m(0<x≤4)6mx−2(x>4)知，在区间(0, 4]上单调递增，即2m<y≤3m，在区间(4, 7]上单调递减，即6m5≤y<3m，综上知，6m5≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要6m5≥4，且3m≤10即可，即m=103；所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为103．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+a，其中a是常数．（1）求f(x)(x∈R)的解析式；（2）求实数m的值，使得函数ℎ(x)＝2f（x）+1++m⋅2x−2m，x∈[0, 1]的最小值为14；（3）已知函数g(x)(x≥1)满足：对任何不小于1的实数x，都有f(log2x)＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]，其中k为不小于2的正整数常数，求证：g(1)+g(2)+...+g(k−1)>g(k+1)+g(k+2)+...+g(2k−1)．【答案】∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+a，则有f(0)＝0−log2(1+1)+a＝0，∴a＝1．∴当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+1，令x>0，则−x<0，f(x)＝−f(−x)＝−[−x−log2(1+2x)+1]＝x+log2(1+2x)−1∴f(x)={x−log2(1+2−x)+1,x≤0x+log2(1+2x)−1,x>0；当x∈[0, 1]时，函数ℎ(x)＝2f（x）+1++m⋅2x−2m＝2x+log2(1+2x)+m⋅2x−2m＝2x（(1+2x)+m⋅2x−2m＝(2x)2+(1+m)⋅2x−2m令2x＝t，t∈[1, 2]，ℎ(x)＝G(t)＝t2+(1+m)t−2m，t∈[1, 2]，①当−1+m2≥2，即m≤−5时，函数ℎ(x)最小值为G(2)＝6≠14，不符合题意；②当−1+m2≤1，即m≥−3时，函数ℎ(x)最小值为G(1)＝2−m=14，解得m=74，不符合题意；③当−5<m<−3时，函数ℎ(x)最小值为G(−1+m2)=−m2−10m−14=14，即m2+10m+2＝0，∵{(−5)2+10×(−5)+2<0(−3)2+10×(−3)+2<，∴方程m2+10m+2＝0在(−5, −3)无解；综上，m=74．∵x≥1，∴log2x≥0，则f(log2x)＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]⇔log2x+log2(x+1)−1＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]⇔log2(x+1)x＝log2[x⋅g(x)−k2]⇔x(1+x)＝x⋅g(x)−k2⇔g(x)＝x+k2x+1．(x≥1, k≥2, k∈N)．g(x1)−g(x2)=(x1x2−k2)(x1−x2)x1x2，令x1＝k−n，x2＝k+n，n∈N•，n≤k−1，则0<x1<k<x2，且x1x2<k2∴g(x1)>g(x2)，亦即g(k−n)>g(k+n)，∴g(1)>g(2k−1)，g(2)>g(2k−2)，……，g(k−1)>g(k+1)，∴g(1)+g(2)+...+g(k−1)>g(k+1)+g(k+2)+...+g(2k−1)．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由f(0)＝0−log2(1+1)+a＝0，可得a＝1．当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+1，令x>0，则f(x)＝−f(−x)＝−[−x−log2(1+2x)+1]＝x+log2(1+2x)−1即可求解．（2）当x∈[0, 1]时，函数ℎ(x)＝2f（x）+1++m⋅2x−2m＝2x+log2(1+2x)+m⋅2x−2m＝2x（(1+2x)+m⋅2x−2m＝(2x)2+(1+m)⋅2x−2m令2x＝t，t∈[1, 2]，ℎ(x)＝G(t)＝t2+(1+m)t−2m，t∈[1, 2]，分类讨论即可．（3）可得0<x1<k<x2，且x1x2<k2时，则g(x1)>g(x2)，令x1＝k−n，x2＝k+n，n∈N•，n≤k−1，则g(k−n)>g(k+n)，由此即可得证．【解答】∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+a，则有f(0)＝0−log2(1+1)+a＝0，∴a＝1．∴当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+1，令x>0，则−x<0，f(x)＝−f(−x)＝−[−x−log2(1+2x)+1]＝x+log2(1+2x)−1∴f(x)={x−log2(1+2−x)+1,x≤0x+log2(1+2x)−1,x>0；当x∈[0, 1]时，函数ℎ(x)＝2f（x）+1++m⋅2x−2m＝2x+log2(1+2x)+m⋅2x−2m＝2x（(1+2x)+m⋅2x−2m＝(2x)2+(1+m)⋅2x−2m令2x＝t，t∈[1, 2]，ℎ(x)＝G(t)＝t2+(1+m)t−2m，t∈[1, 2]，①当−1+m2≥2，即m≤−5时，函数ℎ(x)最小值为G(2)＝6≠14，不符合题意；②当−1+m2≤1，即m≥−3时，函数ℎ(x)最小值为G(1)＝2−m=14，解得m=74，不符合题意；③当−5<m<−3时，函数ℎ(x)最小值为G(−1+m2)=−m2−10m−14=14，即m2+10m+2＝0，∵{(−5)2+10×(−5)+2<0(−3)2+10×(−3)+2<，∴方程m2+10m+2＝0在(−5, −3)无解；综上，m=74．∵x≥1，∴log2x≥0，则f(log2x)＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]⇔log2x+log2(x+1)−1＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]⇔log2(x+1)x＝log2[x⋅g(x)−k2]⇔x(1+x)＝x⋅g(x)−k2⇔g(x)＝x+k2x+1．(x≥1, k≥2, k∈N)．g(x1)−g(x2)=(x1x2−k2)(x1−x2)x1x2，令x1＝k−n，x2＝k+n，n∈N•，n≤k−1，则0<x1<k<x2，且x1x2<k2∴g(x1)>g(x2)，亦即g(k−n)>g(k+n)，∴g(1)>g(2k−1)，g(2)>g(2k−2)，……，g(k−1)>g(k+1)，∴g(1)+g(2)+...+g(k−1)>g(k+1)+g(k+2)+...+g(2k−1)．若定义在R上，且不恒为零的函数y＝f(x)满足：对于任意实数x和y，总有f(x+y)+ f(x−y)＝2f(x)f(y)恒成立，则称f(x)为“类余弦型”函数．（1）已知f(x)为“类余弦型”函数，且f(1)=54，求f(0)和f(2)的值；（2）证明：函数f(x)为偶函数；（3）若f(x)为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有f(t)>1，设有理数x1，x2满足|x1|<|x2|，判断f(x1)和f(x2)的大小关系，并证明你的结论．【答案】令x＝1，y＝0，得f(1)+f(1)＝2f(1)f(0)，∴f(0)＝1；令x＝y＝1得f(2)+f(0)＝2f2(1)，∴f(2)＝2f2(1)−f(0)，∴f(2)＝2×(54)2−1=178．令x＝0，得f(y)+f(−y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，∴f(−y)＝f(y)，即f(−x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．∵f(x+y)+f(x−y)＝2f(x)f(y)，又∵t≠0时f(t)>1，∴2f(x)f(y)>2f(y)，即f(x+y)−f(y)>f(y)−f(x−y)∴令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]，则f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]>...>f(x)−f(0)>0，∴对于k为正整数，总有f[(k+1)x]>f(kx)成立．∴对于m，n为正整数，若n<m，则有f(nx)<f[(n−1)x]<...<f(mx)成立．∵x1，x2为有理数，所以可设|x1|=q1p1，|x2|=q2p2，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，则|x1|=q1p2p1p2，|x2|=q2p1p1p2，令x=1p1p2，t＝q1p2，s＝p1q2，则t，s为正整数．∵|x1|<|x2|，∴t<s，∴f(tx)<f(sx)，即f(|x1|)<f(|x2|)．∵函数f(x)为偶函数，∴f(|x1|)＝f(x1)，f(|x2|)＝f(x2)，∴f(x1)<f(x2)．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）令x＝1，y＝0计算f(0)，再令x＝y＝1计算f(2)；（2）令x＝0，得f(y)+f(−y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(−y)＝f(y)，即f(−x)＝f(x)，即可得出f(x)的奇偶性．（3）由t≠0时，f(t)>1，则f(x+y)+f(x−y)＝f(x)f(y)>2f(y)，即f(x+y)−f(y)>f(y)−f(x−y)令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]，再由递推即可得到对于k为正整数，总有f[(k+1)x]>f(kx)成立，即有n<m，则有f(nx)<f(mx)成立，可设||x1|=q1p2p1p2，|x2|=q2p1p1p2，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论，即可得到大小．【解答】令x＝1，y＝0，得f(1)+f(1)＝2f(1)f(0)，∴f(0)＝1；令x＝y＝1得f(2)+f(0)＝2f2(1)，∴f(2)＝2f2(1)−f(0)，∴f(2)＝2×(54)2−1=178．令x＝0，得f(y)+f(−y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，∴f(−y)＝f(y)，即f(−x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．∵f(x+y)+f(x−y)＝2f(x)f(y)，又∵t≠0时f(t)>1，∴2f(x)f(y)>2f(y)，即f(x+y)−f(y)>f(y)−f(x−y)∴令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]，则f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]>...>f(x)−f(0)>0，∴对于k为正整数，总有f[(k+1)x]>f(kx)成立．∴对于m，n为正整数，若n<m，则有f(nx)<f[(n−1)x]<...<f(mx)成立．∵x1，x2为有理数，所以可设|x1|=q1p1，|x2|=q2p2，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，则|x1|=q1p2p1p2，|x2|=q2p1p1p2，令x=1p1p2，t＝q1p2，s＝p1q2，则t，s为正整数．∵|x1|<|x2|，∴t<s，∴f(tx)<f(sx)，即f(|x1|)<f(|x2|)．∵函数f(x)为偶函数，∴f(|x1|)＝f(x1)，f(|x2|)＝f(x2)，∴f(x1)<f(x2)．。
上海市复旦附中高三(上)9月月考数学试卷(解析版)
上海市复旦附中高三（上）9月月考数学试卷一.填空题1．不等式的解为．2．已知集合A={y|y=x2﹣1，x∈R}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B=．3．定义在R上的奇函数f（x），若当x＜0时，f（x）=x2+x，则当x＞0时，f（x）=．4．函数，x∈[1，4]的值域为．5．若lgx+lgy=2，则的最小值为．6．若z是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0（m∈R）的一个虚根，且|z|=2，则实数m的值为．7．设集合A={x|x4﹣1=0，x∈C}，z=2﹣3i，若x∈A，则|x﹣z|的最大值是．8．若二项式（n∈N*）展开式中含有常数项，则n的最小取值是．9．已知方程x2+px+4=0（p∈R）有两个虚根α，β，则α2+β2的取值范围是．10．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，则k=．11．已知命题p：x＜﹣1或x＞3，命题q：x＜3m+1或x＞m+2，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是．12．已知关于x的不等式组1≤kx2+2x+k≤2有唯一实数解，则实数k的取值集合．13．不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y1=x+1和y2=x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b=．14．（理）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）=f （1﹣x）恒成立．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，则实数a的取值范围是．二.选择题15．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|16．集合A={y|y=x2，x∈R}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是…（）A．A∪B=（0，+∞）B．（C R A）∪B=（﹣∞，0] C．A∩C R B=[0，+∞）D．（C R A）∩B={﹣2，﹣1}17．对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y|18．已知函数（a为常数，且a∈N*），对于定义域内的任意两个实数x1、x2，恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，则正整数a可以取的值有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个三.解答题19．设复数z=a+bi（a，b∈R），若是纯虚数，求|z﹣2|的取值范围．20．已知函数；（1）若关于x的方程f（x）﹣3x﹣m=0在x∈[1，+∞）上有解，求实数m的最大值；（2）是否存在x0＜0，使得成立？若存在，求出x0，若不存在，说明理由．21．某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．（1）写出当x∈（0，1000]时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？22．（16分）已知函数f（x）=log2（x+a）；（1）当a=1时，若，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g （x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式在R上恒成立，求实数t的取值范围．23．（18分）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，a n）为B=（b1，b2，…b n）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+a n b n．（Ⅰ）若，B=（﹣1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅲ）若数组A=（a1，a2，a3）中的“元”满足．设数组B m（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”b m1，b m2，b m3，b m4，且，求A与B m的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，B m）（m=1，2，3，…，n）的最大值．上海市复旦附中高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．不等式的解为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．【分析】移项，通分，解分式不等式即可．解：∵，∴﹣＜0，∴＞0，故x＞3或x＜0，故不等式的解集是：（﹣∞，0）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（3，+∞）．【点评】本题考查了分式不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题．2．已知集合A={y|y=x2﹣1，x∈R}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B=[﹣1，1）．【分析】由题意首先求得集合A，B，然后进行交集运算即可求得最终结果．解：由题意可得：A={y|y≥﹣1}，B={x|x＜1}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故答案为：[﹣1，1）．【点评】本题考查集合的表示方法，交集运算及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．3．定义在R上的奇函数f（x），若当x＜0时，f（x）=x2+x，则当x＞0时，f（x）=﹣x2+x．【分析】先设x＞0，则﹣x＜0，代入f（x）=x2+x并进行化简，再利用f（x）=﹣f（﹣x）进行求解．解：设x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f（x）=x2+x，∴f（﹣x）=（﹣x）2+（﹣x）=x2﹣x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+x，故答案为：﹣x2+x．【点评】本题考查了函数奇偶性的应用，即根据奇偶性对应的关系式，将所求的函数解析式进行转化，转化到已知范围内进行求解，考查了转化思想．4．函数，x∈[1，4]的值域为[﹣3，63] ．【分析】利用导函数研究其单调性，根据单调性即可求解．解：函数，那么：y′=3x2+，∵x≥1．∴y′＞0．则函数y在区间x∈[1，4]是递增函数，∴x=1取得最小值为：﹣3，x=4时取得最大值为：63．函数，x∈[1，4]的值域为[﹣3，63]．故答案为：[﹣3，63]．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．5．若lgx+lgy=2，则的最小值为．【分析】根据对数的运算性质计算已知的等式，得到xy的值，且由对数函数的定义域得到x与y都大于0，然后把所求的式子通分后，利用分子利用基本不等式变形，将xy的值代入即可求出所求式子的最小值．解：由lgx+lgy=lgxy=2，得到xy=102=100，且x＞0，y＞0，∴=≥==，当且仅当x=y时取等号，则的最小值为．故答案为：【点评】此题考查了基本不等式与对数的运算性质，可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力．要求学生掌握基本不等式，即a+b≥2（a＞0，b＞0），当且仅当a=b时取等号．6．若z是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0（m∈R）的一个虚根，且|z|=2，则实数m的值为4．【分析】设z=a+bi，（a，b∈R），则=a﹣bi也此方程的一个虚根．可得a2+b2=m，=2，解出即可得出．解：设z=a+bi，（a，b∈R），则=a﹣bi也此方程的一个虚根．∴，a2+b2=m，=2，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查了关于实系数一元二次方程有虚根的情况、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．设集合A={x|x4﹣1=0，x∈C}，z=2﹣3i，若x∈A，则|x﹣z|的最大值是．【分析】先解集合A，求出x的值，把x的值分别代入|x﹣z|中，求出|x﹣z|的值，可知答案．解：x4﹣1=0，可得x=±1，x=±i，则x=1时|x﹣z|=|1﹣2+3i|=，x=﹣1时|x ﹣z|=|﹣1﹣2+3i|=3，当x=i 时|x﹣z|=|i﹣2+3i|=|﹣2+4i|=．当x=﹣i 时|x﹣z|=|﹣i﹣2+3i|=|﹣2+2i|=．故答案为：．【点评】本题考查复数的模，复数的方程，复数模的几何意义，是基础题．8．若二项式（n∈N*）展开式中含有常数项，则n的最小取值是7．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求方程的解；由n，r都是正整数求出最小的n值．解：二项式（n∈N*）展开式的通项为=•（3x2）n﹣r•=3n﹣r（﹣2）r C n r；T r+1令2n﹣=0，由题意知方程有正整数解n=，当r=6时，n有最小值为7．故答案为：7．【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式特定项问题，是中档题．9．已知方程x2+px+4=0（p∈R）有两个虚根α，β，则α2+β2的取值范围是[0，8）．【分析】由题意可得：△＜0，解得p取值范围．利用根与系数的关系可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ范围．解：由题意可得：△=p2﹣16＜0，解得﹣4＜p＜4．α+β=﹣p，αβ=4．∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣8∈[0，8）．故答案为：[0，8）．【点评】本题考查了关于实系数一元二次方程有虚根的情况、根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，则k=7．【分析】，先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于k，另一个数小于k的基本事件有（k﹣1）（10﹣k），根据古典概率公式即可得到关于k的方程解得即可解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数的基本事件有=45种，取到的一个数大于k，另一个数小于k，比k的小的数有（k﹣1）个．比k的大的数有（10﹣k）个，故有=（k﹣1）（10﹣k），所以取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是P==，解得k=7故答案为：7【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是求出取到的一个数大于k，另一个数小于k的基本事件，属于基础题11．已知命题p：x＜﹣1或x＞3，命题q：x＜3m+1或x＞m+2，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是[﹣，1）或（﹣，1] ．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据p是q的充分非必要条件结合集合的包含关系得到关于m的不等式组，解出即可．解：p：x＜﹣1或x＞3，命题q：x＜3m+1或x＞m+2，若p是q的充分非必要条件，则（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）⊊（﹣∞，3m+1）∪（m+2，+∞），故“=“不同时成立，解得：﹣≤m＜1，或﹣＜m≤1，则实数m的取值范围是[﹣，1）或（﹣，1]，故答案为：[﹣，1）或（﹣，1]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．12．已知关于x的不等式组1≤kx2+2x+k≤2有唯一实数解，则实数k的取值集合{，1+} ．【分析】本题考查的知识点是类二次不等式的解法，根据不等式ax2+bx+c≤M（a ＜0）有唯一实数解⇔最大值=M；不等式ax2+bx+c≤M（a＞0）有唯一实数解⇔最小值=M可以判断实数k的取值，故本题关键是要对参数K进行分类讨论，以确定不等式的类型，在各种情况中分别解答后，综合结论即得最终结果．解：若K=0，不等式组1≤kx2+2x+k≤2可化为：1≤2x≤2，不满足条件若K＞0，则若不等式组1≤kx2+2x+k≤2，=2时，满足条件解得：k=1+若K＜0，则若不等式组1≤kx2+2x+k≤2，=1时，满足条件解得：k=故答案为：{，1+}【点评】不等式ax2+bx+c≥M（a＜0）有唯一实数解⇔最大值=M；不等式ax2+bx+c≤M（a＞0）有唯一实数解⇔最小值=M；13．不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y1=x+1和y2=x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b=﹣1．【分析】若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则y1=ax+2应为增函数，y2=x2+2b的图象顶点应在x轴下方，且函数与x负半轴交于同一点，结合a，b ∈Z，可得答案．解：类比图象法解不等式的方法，在同一坐标系中，画出y1=ax+2和y2=x2+2b的图象，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则两个函数图象应如下图所示：则，由a，b∈Z得：，∴a+b=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是类比推理，数形结合思想，转化思想，难度中档．14．（理）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）=f （1﹣x）恒成立．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，则实数a的取值范围是a=或．【分析】根据题意先求出函数的周期，要使关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，即使y=f（x）与y=ax有5个交点都是奇函数其中有一个交点肯定是原点，只需考虑（0，+∞）有两个交点即可，画出图象即可求出a的值．解：因为f（1+x）﹣f（1﹣x）=0恒成立，且f（x）是奇函数所以f（x）是周期为4的周期函数（且该函数最大值与最小值分别为2和﹣2）要使关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，即使y=f（x）与y=ax有5个交点都是奇函数其中有一个交点肯定是原点，只需考虑（0，+∞）有两个交点即可画出函数图象如下：当a=（即f（x）=ax过点（5，2））时，恰好5个交点，当a＜0时，a的范围在（k1，k2）之间，K1=﹣，k2=，即故答案为：a=或．【点评】本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了数形结合和转化能力，属于中档题．二.选择题15．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选：C．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．16．集合A={y|y=x2，x∈R}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是…（）A．A∪B=（0，+∞）B．（C R A）∪B=（﹣∞，0] C．A∩C R B=[0，+∞）D．（C R A）∩B={﹣2，﹣1}【分析】集合A={y|y=x2，x∈R}，化简为[0，+∞），则C R A=（﹣∞，0），则A ∪B={﹣2，﹣1}∪[0，+∞），C R A）∪B=（﹣∞，0]∪{1，2}，A∩C R B≠[0，+∞），C R A∩B={﹣2，﹣1}，得到结果．解：集合A={y|y=x2，x∈R}，化简为[0，+∞），则C R A=（﹣∞，0），则A∪B={﹣2，﹣1}∪[0，+∞），（C R A）∪B=（﹣∞，0]∪{1，2}，A∩C R B≠[0，+∞），C R A∩B={﹣2，﹣1}，则A、B、C均不正确，D正确．故选：D．【点评】本题考查了集合间的交、并、补集的混合运算，本题解题的关键是整理出集合的最简形式，本题属于基础题．17．对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y|【分析】根据|z﹣|=|2yi|=2|y|，可得A、C不正确，根据z2 =x2﹣y2﹣2xyi，可得B不正确，由|z|=可得D正确．解：由于复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，∴|z﹣|=|2yi|=2|y|，故（A）错误．由z2 =x2﹣y2+2xyi，故（B）错误．由|z﹣|=2|y|，不一定大于或等于2x，故（C）错误．由|z|=≤=|x|+|y|，故（D）正确．故选：D．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义，准确理解复数的模的定义，是解题的关键，属于基础题．18．已知函数（a为常数，且a∈N*），对于定义域内的任意两个实数x1、x2，恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，则正整数a可以取的值有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【分析】由条件对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）﹣f（x2）|＜1，问题可以转化为f（x）max﹣f（x）min＜1，因此求函数的最值是关键．求最值时，利用换元法求解．解：由题意，，，从而有，，∴解得，∵a∈N*，∴a=1，2，3，4，5，故选：B．【点评】解答时等价转化是解题的关键，求解函数的最值运用三角换元法，应注意参数角的范围．三.解答题19．设复数z=a+bi（a，b∈R），若是纯虚数，求|z﹣2|的取值范围．【分析】求出a2+a+b2=0，且b≠0，得到+b2=，求出﹣1≤a≤0，根据|z﹣2|=，求出其范围即可．解：复数z=a+bi（a，b∈R），===，∵是纯虚数，∴a2+a+b2=0，且b≠0，∴+b2=，故﹣1≤a≤0，∴|z﹣2|=|（a﹣2）+bi|==∴a=﹣1时，|z﹣2|最大，最大值是3，a=0时，|z﹣2|最小，最小值是2，故|z﹣2|的范围是[2，3]．【点评】本题考查了复数的定义，考查圆的性质以及绝对值问题，考查转化思想，是一道中档题．20．已知函数；（1）若关于x的方程f（x）﹣3x﹣m=0在x∈[1，+∞）上有解，求实数m的最大值；（2）是否存在x0＜0，使得成立？若存在，求出x0，若不存在，说明理由．【分析】（1）方程f（x）﹣3x﹣m=0在x∈[1，+∞）上有解等价于m=f（x）﹣3x 在x∈[1，+∞）上有解，由函数单调性求出f（x）﹣3x 在x∈[1，+∞）上的最大值可得实数m的最大值；（2）假设存在x0＜0，则0＜＜1，由得0＜＜1，求解x0的范围得矛盾，说明不存在x0＜0，使得成立．解：（1）由，得f′（x）=（x≥1），可知f（x）在[1，+∞）上单调递减，方程f（x）﹣3x﹣m=0在x∈[1，+∞）上有解等价于m=f（x）﹣3x 在x∈[1，+∞）上有解，又由f（x）﹣3x 在x∈[1，+∞）上单调递减，∴．∴m，即实数m的最大值为；（2）不存在．假设存在x0＜0，则0＜＜1，由成立，得0＜＜1，解得＜x0＜2，与x0＜0矛盾．故不存在x0＜0，使得成立．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法，是中档题．21．某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．（1）写出当x∈（0，1000]时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？【分析】（1）由已知中的折扣办法，分x∈（0，625）和x∈[625，1000]两种情况，分别求出函数的解析式，将1000代入计算实际付款额可得实际折扣率．（2）根据（1）中解析式，结合实际折扣率低于，构造关于x的不等式，结合标价在[2500，3500]，可得答案．解：（1）∵500÷0.8=625∴当x=1000时，y==0.7即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．（2）当x∈[2500，3500]时，0.8x∈[2000，2800]①当0.8x∈[2000，2500）即x∈[2500，3125）时，解得x＜3000∴2500≤x＜3000；②当0.8x∈[2500，2800]即x∈[3125，3500]时，解得x＜3750∴3125≤x≤3500；综上，2500≤x＜3000或3125≤x≤3500即顾客购买标价在[2500，3000）∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于．【点评】本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．22．（16分）已知函数f（x）=log2（x+a）；（1）当a=1时，若，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g （x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式在R上恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0，及对数的运算性质，可将不等式化为1＜＜，且2﹣2x＞0且x+1＞0，解不等式组可得x的取值范围；（2）函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），表示函数的周期为4，结合函数g（x）为奇函数，可求出x∈[﹣3，﹣1]时，函数g（x）的解析式，进而得到其反函数；（3）关于x的不等式关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，等价于g（）≥g（﹣）在R上恒成立，即u==﹣+，t ∈[﹣，]，分类讨论后，综合讨论结果，可得实数t的取值范围．解：（1）原不等式可化为0＜log2（2﹣2x）﹣log2（x+1）＜，∴1＜＜，且2﹣2x＞0，且x+1＞0，得3﹣2＜x＜．（2）∵g（x）是奇函数，∴g（0）=0，得a=1，当x∈[﹣3，﹣2]时，﹣x﹣2∈[0，1]，g（x）=﹣g（x+2）=g（﹣x﹣2）=log2（﹣x﹣1），此时g（x）∈[0，1]，x=﹣2g（x）﹣1，h（x）=﹣2x﹣1（x∈[0，1]）．当x∈（﹣2，﹣1]时，﹣x﹣2∈[﹣1，0），x+2∈（0，1]，g（x）=﹣g（x+2）=﹣log2（x+3），此时，﹣g（x）∈[﹣1，0），x=2﹣g（x）﹣3，h（x）=2﹣x﹣3．（x∈[﹣1，0））．∴h（x）=．（3）∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，∴记u=）=﹣+，∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，∴g（）≥log2=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在R上恒成立，当t+1≥0时，u∈（﹣，﹣+）=（﹣，），∴（﹣，）∈[﹣，]，解得t∈[﹣1，20]．当t+1＜0时，u∈（﹣+，﹣）=（，﹣），由g（）≥log2=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在R上恒成立，得（，﹣）∈[﹣，]，解得t∈[﹣4，﹣1）．综上所述，实数t的取值范围是[﹣4，20]．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，反函数，对数的运算性质，存在性问题，函数的最值，是函数图象和性质较为综合的应用，难度较大．23．（18分）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，a n）为B=（b1，b2，…b n）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+a n b n．（Ⅰ）若，B=（﹣1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅲ）若数组A=（a1，a2，a3）中的“元”满足．设数组B m（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”b m1，b m2，b m3，b m4，且，求A与B m的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，B m）（m=1，2，3，…，n）的最大值．【分析】（Ⅰ）依据题意中“元”的含义，可知当S=（﹣1，3）时，C（A，S）取得最大值为2．（Ⅱ）对0是不是S中的“元”进行分类讨论：①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中a，b，c三个“元”的对称性，利用平均值不等式计算C （A，S）=（a+b）的最大值，②当0不是S中的“元”时，只须计算C（A，S）=（a+b+c）的最大值即可，最后综上即可得出C（A，S）的最大值．（Ⅲ）由于B m=（b m1，b m2，b m3，b m4）满足．及b m1，b m2，b m3，b m4关系的对称性，只需考虑（b m2，b m3，b m4）与（a1，a2，a3）的关系数的情况．下面分情况讨论：当b m1=0时，当时，得出a1b m2+a2b m3+a3b m4的最大值的情况．最后综合得出C（A，B m）的最大值即可．解：（Ⅰ）依据题意，当S=（﹣1，3）时，C（A，S）取得最大值为2．（Ⅱ）①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等及B中a，b，c三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中a2+b2+c2=1．由（a+b）2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2）≤2（a2+b2+c2）=2，得．当且仅当c=0，且时，a+b达到最大值，于是．②当0不是S中的“元”时，计算的最大值，由于a2+b2+c2=1，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．≤3（a2+b2+c2）=3，当且仅当a=b=c时，等号成立．即当时，a+b+c取得最大值，此时．综上所述，C（A，S）的最大值为1．（Ⅲ）因为B m=（b m1，b m2，b m3，b m4）满足．由b m1，b m2，b m3，b m4关系的对称性，只需考虑（b m2，b m3，b m4）与（a1，a2，a3）的关系数的情况．当b m1=0时，有．==．即b m1=0，且，，时，a1b m2+a2b m3+a3b m4的最大值为．当时，，得a1b m2+a2b m3+a3b m4最大值小于．所以C（A，B m）的最大值为（m=1，2，3，…，n）．【点评】本小题主要考查函数与方程的综合运用、平均值不等式在函数极值中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．。
2019届上海市复旦附中高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019届上海市复旦附中高三上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =->，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 （） A.1a ≤ B.3a ≤C.13a ≤≤D.3a ≥【答案】C【解析】先求出集合B ，比较a 与1的大小关系，结合B A ⊆，可求出实数a 的取值范围. 【详解】解不等式21x ->，即21x -<-或21x ->，解得1x <或3x >，{1B x x ∴=<或}3x >.①当1a =时，{}1A x x =≠，则B A ⊆成立，符合题意； ②当1a <时，{A x x a =<或}1x ≥，B A ⊄，不符合题意；③当1a >时，{1A x x =≤或}x a >，由B A ⊆，可得出3a ≤，此时13a <?. 综上所述，实数a 的取值范围是13a ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论． 2．条件甲：函数满足()1()f x f x -=；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的 （ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【详解】 条件甲:函数()f x 满足()1()f x f x -=, 即()()f x f x -=可以得到函数是一个偶函数条件乙:函数()f x 是偶函数,一定要满足()()f x f x =-, 但是不能保证两边同除以()f x 有意义, 所以条件甲是条件乙的充分非必要条件, 所以A 选项是正确的，故选A.3．关于函数()()4f x x x x x R =+∈的反函数，正确的是 （） A.有反函数()12,02,0x fx x -≥=< B.有反函数()12,020x fx x -≥=-<⎪⎩ C.有反函数()12,02,0x f x x -≥=< D.无反函数 【答案】B【解析】将函数()y f x =表示为分段函数的形式，判断该函数为增函数，然后分0x ≥和0x <解出该函数的反函数. 【详解】()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =在R 上为增函数，该函数存在反函数. 当0x ≥时，由()22424y x x x =+=+-，得2x =-当0x <时，由()22y x 4x x 24=-+=--+，得2x =. 因此， ()12,020x f x x -≥=<⎪⎩，故选：B.【点睛】本题考查反函数解析式的求解，在判断函数的存在性时，还应考查函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0a >，0b >，则()ln lnln ab a b +++=+；②若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=； ③若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭； ④若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++.则所有真命题的序号为 （） A.①②③ B.①②④C.③④D.②③④【答案】D【解析】对于①，通过举反例说明错误；对于②，由“正对数”的定义分别对a 、b 分01a <<，0b >；1a ≥，0b >两种情况进行推理；对于③④，分别从四种情况，即当01a <<，0b >时；当1a ≥，01b <<时；当01a <<，1b ≥时；当1a ≥，1b ≥时进行推理． 【详解】 对于①，当14a =，2b =时，满足0a >，0b >，而()1ln ln02ab ++==， 1ln a ln b ln ln 2ln24+++++=+=，()ln ln ln ab a b +++∴≠+，命题①错误；对于②，当01a <<，0b >时，有01b a <<， 从而()ln0ba +=，ln00b a b +=⨯=，()lnlnb a a b ++∴=；当1a ≥，0b >时，有1b a >，从而()lnln ln bba ab a +==，ln ln b a b a +=，()ln ln b a b a ++∴=.∴当0a >，0b >时，()ln ln b a b a ++=，命题②正确；对于③，由“正对数”的定义知，ln 0x +≥且ln ln x x +≥．当01a <<，01b <<时，ln ln 000a b ++-=-=，而ln 0a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；当1a ≥，01b <<时，有1ab>，ln ln ln 0ln a b a a +++-=-=，而ln ln ln ln a a a b b b +⎛⎫==- ⎪⎝⎭，ln 0b <Q ，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．当01a <<，1b ≥时，有01ab<<，ln ln 0ln ln 0a b b b +++-=-=-<，而ln 0a b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．当1a ≥，1b ≥时，ln ln ln ln lna ab a b b ++-=-=，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭． ∴当0a >，0b >时，n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++≤.当01a <<，01b <<时，有02a b <+<， 从而()lnln 2ln 2a b +++<=，ln ln ln 200ln 2ln 2a b +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，01b <<时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b a a a ++=+<+=，ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当01a <<，1b ≥时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b b b b ++=+<+=，ln ln ln 20ln ln 2ln 2a b b b +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，1b ≥时，()()lnln a b a b ++=+，()ln ln ln 2ln ln ln 2ln 2a b a b ab +++++=++=，()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥Q ，2ab a b ∴≥+，从而()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++，命题④正确．∴正确的命题是②③④．故选：D ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．二、填空题 5．已知全集，,则_________．【答案】【解析】试题分析：根据条件得到集合A ，集合B 的补集，再由集合的交集运算得到最终结果. 详解: 根据条件得到,,,则。
2019届上海市复旦附中高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
上海市2018-2019学年复旦附中高三上学期第一次月考一、选择题（本大题共4小题）1.设集合，集合，且，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：或，则或，对于A，且，时，，成立，符合题意，时，或，不会成立，不符合题意，时，或，要使成立，必有，则a的范围是，综合可得，a的取值范围为；故选：C．解可得集合B，对于A，先将转化为且，分，，三种情况讨论，求出集合A，判断是否成立，综合可得a的范围，即可得答案．本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．2.条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：条件甲：函数满足，即可以得到函数是一个偶函数条件乙：函数是偶函数，一定要满足，但是不能保证两边同除以有意义，条件甲是条件乙的充分非必要条件，故选：A．利用奇函数的定义“函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则这个函数叫做偶函数”，针对于两个条件分析得到结论．本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是对函数式要进行等价变形，本题属于基础题．3.关于函数的反函数，正确的是A. 有反函数B. 有反函数C. 有反函数D. 无反函数【答案】B【解析】解：因为，由得；由，得，，故选：B．直接就出反函数．本题考查了反函数属基础题．4.定义“正对数”：，现有四个命题：若，，则；若，，则若，，则若，，则则所有真命题的序号为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：对于，当，时，满足，，而，，，命题错误；对于，当，时，有，从而，，；当，时，有，从而，，；当，时，，命题正确；对于，由“正对数”的定义知，且．当，时，，而，则；当，时，有，，而，，则．当，时，有，，而，则．当，时，，则．当，时，，命题正确；对于，由“正对数”的定义知，当时，有，当，时，有，从而，，当，时，有，从而，，当，时，有，从而，，当，时，，，，，从而命题正确．正确的命题是．故选：D．对于，通过举反例说明错误；对于，由“正对数”的定义分别对a，b从，；，两种情况进行推理；对于，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理．本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知全集，，，则______．【答案】【解析】解：全集，，，，．故答案为：．利用题设条件，先分别求出集合A和，由此能求出B.本题考查集合的交、交、补的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答．6.在复数集上，方程的根是______．【答案】【解析】解：根据题意，：所以原方程的根为：是虚数单位整理，得，故答案为：方程的根的判别式：，再用一元二次方程的求根的公式可以得出原方程的解．本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题当根的判别式小于0时，方程有一对共轭的虚数根．7.方程的解是______．【答案】2【解析】解：，，，解得舍，，．故答案为：2．由，得，由此能求出x的值，解题时要注意验根．本题考查对数的性质和运算法则的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，易错点是容易产生增根．8.已知AB为抛物线的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是，则弦AB所在直线的方程是______．【答案】【解析】解：设，，AB的中点，则，，两式作差可得：，，即．的垂直平分线的方程是，，即，代入，得．则弦AB所在直线的方程是，即．故答案为：．设出A，B，M的坐标，把A，B的坐标代入抛物线方程，作差可得AB的斜率，再由AB的垂直平分线的方程是得M的坐标，由直线方程点斜式得答案．本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．9.函数的递增区间是______．【答案】【解析】解：函数的递增区间，即函数的增区间，结合函数的图象可得它的增区间为，故答案为：．函数的递增区间，即函数的增区间，结合函数的图象可得结论．本题主要考查根式、绝对值的性质，体现了转化思想，属于基础题．10.设a、，则______．【答案】0【解析】解：因为a、，所以，分式分子、分母同时除以，有：故答案为：0因为a、，所以，则，即得解．本题考查了极限及其运算，考查了极限思想，属简单题．11.若函数偶函数，则实数k的值是______．【答案】【解析】解：函数偶函数，的定义域为R，即有，，可得，即有恒成立，解得．故答案为：．由题意可得函数的定义域为R，且有，运用对数的运算性质，化简可得k 的值．本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是______．【答案】【解析】解：如图所示，连接AC，．则，．．平面．．体对角线与面对角线BD所成角为；设正方体的棱长为1，则，，，体对角线与面对角线AC所成角为．正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是故答案为：利用正方体的性质、线面垂直的判定与性质即可得出．本题考查正方体的性质、线面垂直的判定与性质，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．13.某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是______用分数作答．【答案】【解析】解：由题意，基本事件总数为，甲同学选上，乙同学未选上共有36种故甲同学选上，乙同学未选上的概率是故答案为：确定基本事件总数，甲同学选上，乙同学未选上的情况种数，由此即可求得概率．本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是确定基本事件总数，属于基础题．14.观察下列等式：照此规律，第n个等式可为______．【答案】【解析】解：观察下列等式：分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为．当n为偶数时，分组求和，当n为奇数时，第n个等式左边．综上，第n个等式为．故答案为：．等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．15.已知二次函数的图象为开口向下的抛物线，且对任意都有若向量，，则满足不等式的m的取值范围为______．【答案】【解析】解：不等式转化为：．函数的图象关于直线对称又开口向下又故答案为：由将不等式转化为，再由可知函数的图象关于直线对称，又开口向下，利用二次函数的图象特征求解．本题主要考查二次函数的单调性和对称性，还考查了数量积运算．16.某班共有50名学生，已知以下信息：男生共有33人；女团员共有7人；住校的女生共有9人；不住校的团员共有15人；住校的男团员共有6人；男生中非团员且不住校的共有8人；女生中非团员且不住校的共有3人．根据以上信息，该班住校生共有______人【答案】24【解析】解：女生共有人，其中住校的有9人，则不住校的有8人，而不住校的非团员共有3人，不住校的团员有5人，由女团员共有7人，住校的女团员2人；由不住校的团员共有15人，而其中女团员5人，不住校的男团员有10人，又男生中非团员且不住校的共有8人；综上可知：不住校的男团员有10人，女团员5人；不住校的男非团员8人，女非团员3人．即不住校的学生共有人，因此该班住校生共有24人．故答案为24．通过分类讨论得出如下表格即可求出答案．熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知集合且．用列举法写出集合；是否存在自然数n，使得，若存在，求出n的值，并写出此时集合P 的元素个数；若不存在，请说明理由．【答案】解：当时，且24，；，且，故，此时中最小的元素为：1029，最大的元素为：2044，，故此时P中共有元素146个．【解析】当时，且，进而可得答案；由，且，可得，求出P中元素的最值，结合各元素之间公差为7，可得元素个数．本题考查的知识点是等差数列的应用，集合的表示法，集合元素的个数，难度中档．18.设函数是由曲线：确定的．写出函数，并判断该函数的奇偶性；求函数的单调区间并证明其单调性．【答案】解：根据题意，是由曲线：确定的，其定义域为或，则，当时，，则，即函数为奇函数；的单调递增区间为、；证明：设，则，又由，则，，则，则函数为增函数；设，则，又由，则，，则，则函数为增函数；即可得证明．【解析】根据题意，分析可得函数的定义域，结合可得函数的解析式，结合函数奇偶性定义分析可得答案；根据题意，由作差法分析可得结论．本题考查函数的单调性与奇偶性的判断与证明，关键是确定函数的解析式，属于基础题．19.中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受如图为一花窗；图所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯不含长方形边框用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．试用x，y表示L；如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料不计榫卯及其它损耗？【答案】解：由题意，水平方向每根支条长为，竖直方向每根支条长为，菱形的边长为．从而，所需木料的长度之和．由题意，，即，又由可得所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当，即，时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要长的条形木料．【解析】分别求出水平方向每根支条长、竖直方向每根支条长、菱形的边长，即可用x，y表示L；换元，求导确定函数的单调性，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，．判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式；当为何值时，关于x的方程在上有实数解？【答案】本题满分16分本题共有2个小题，第1小题满分分，第2小题满分分．解：在上为减函数分证明如下：设则，，．．；在上为减函数分当时，，又为奇函数，，分当时，由分有最小正周期4，分综上，周期为4的周期函数，关于方程在上有实数解的的范围即为求函数在上的值域分当时由知，在上为减函数，，当时，分当0，时，分的值域为分时方程方程在上有实数解分第 11 页共 12 页【解析】由是上的奇函数，得再由最小正周期为4，得到和的值然后求上的解析式，通过在上取变量，转化到上，即可得到结论．根据条件把问题转化为求函数在上的值域问题即可．本题主要考查如何利用求对称区间上的解析式，特别注意端点问题，还考查了用定义证明单调性求分段函数值域问题．21.已知及．分别求、的定义域，并求的值；求的最小值并说明理由；若，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：、的定义域均为；分分，分易知函数与在上均为减函数，在上均为增函数，分，分若能构成三角形，只需恒成立分由知，，，，即分由知，，分综上，存在，满足题设条件分【解析】利用被开放数大于0可求函数的定义域，直接相乘化简即可；先考虑，再说明函数与在上均为减函数，在上均为增函数，从未求出函数的最小值．利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用的结论可确定．本题主要考查利用函数单调性求函数的最值，将是否存在性问题转化为恒成立问题时解题的关键．第 12 页共 12 页。
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上海市复旦附中2018-2019学年高三上学期第一次
月考数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合，集合，且，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
2. 条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
3. 关于函数的反函数，正确的是
A．有反函数
B．有反函数
C．有反函数
D．无反函数
4. 定义“正对数”：，现有四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则.
则所有真命题的序号为
A．①②③B．①②④C．③④D．②③④
二、填空题
5. 已知全集，,则_________．
6. 在复数集上，方程的根是______．
7. 方程的解是______．
8. 已知为抛物线的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是，则弦所在直线的方程是______．
9. 函数的递增区间是______．
10. 设、，则______．
11. 若函数是偶函数，则的值为________.
12. 正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是______．
13. 某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是___________（用分数作答）．
14. 观察下列等式:
…
照此规律, 第n个等式可为_______.
15. 已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有
．若向量，，则满足不等式
的的取值范围为________．
16. 某班共有名学生，已知以下信息：
①男生共有人；
②女团员共有人；
③住校的女生共有人；
④不住校的团员共有人；
⑤住校的男团员共有人；
⑥男生中非团员且不住校的共有人；
⑦女生中非团员且不住校的共有人．
根据以上信息，该班住校生共有______人
三、解答题
17. 已知集合且．
（1）用列举法写出集合；
（2）是否存在自然数，使得，若存在，求出的值，并写出此时集合的元素个数；若不存在，请说明理由．
18. 设函数是由曲线确定的．
（1）写出函数，并判断该函数的奇偶性；
（2）求函数的单调区间并证明其单调性．
19. 中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线
长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．
（1）试用x，y表示L；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
20. 定义在上的奇函数有最小正周期4，且时，
（1）判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式；（2）当为何值时，关于的方程在上有实数解？
21. 已知及．
（1）分别求、的定义域，并求的值；
（2）求的最小值并说明理由；
（3）若，，，是否存在满足下列条件的正数，使得对于任意的正数，、、都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由．。