工程力学扭转详解
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G：材料剪切弹性模量（切变模量），量纲与 相同，通过实
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
4）
Tmax WP[ ]
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp
Ip
2dA
（2）实验后：
Me
①圆筒沿轴线及周线长度
不变；
Me
②纵向线变成斜直线；
（3）结论： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是
绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
微小矩形单元体如图所示： ① 横截面和包含轴线的纵向 截面上无正应力 ② 横截面上各点处，只产生
解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩
在BC段内，以T I表示截面I—I 上的扭矩，由平衡方程
在CA 段内 在AD 段内
§9.3 薄壁圆筒的扭转—纯剪切
一、纯剪切概述
薄壁圆筒：壁厚 1 r （r：为平均半径）
10
δ
r
（1）实验前 ① 画纵向直线，横向圆周线； ② 施加一对外力偶 Me。
三、扭矩图
表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
平行于轴线的坐标表示横截面的位置 垂直于轴线的坐标表示相应截面扭矩的大小
T
x
传动轴如图所示，主动轮A 输入功率 P A = 36 000W，从动轮B、 C、D 输出功率分别为PB = PC = 11000W，P D = 14000W，轴的 转速为n = 300r/min。试画出轴的扭矩图。
dA
τp dθ
截面上的扭矩：T M e A dA
O
A
2G
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
令 I p A 2dA
—横截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，只与横截面的尺寸有
关，无物理意义，单位m4或mm4。
则
T
GI p
d
dx
所以
d
dx
T GIp
G
d
dx
T
Ip
——横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
当=R时，得最大切应力为：
max
TR Ip
令
Wt
Ip R
——抗扭截面系数，单位m3或mm3。
max
T Wt
（4） 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。
②适用于实心圆截面杆和空心圆截面杆，IP值不同。
(5) 圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
max [ ]
对于等截面圆轴： 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
四、剪切胡克定律
Me
l
Me
：互相垂直的两个棱边夹角的改变量，称为切应变或角应变。
：圆筒两端的相对扭转角。
二者的关系：
l r r
l
纯剪切实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 时（弹性范围内)，切应力τ与切应变γ成正比关系——剪切胡 克定律。
G
二、扭矩及扭矩图
n
（1） 采用截面法求横截面上的内力
Mx 0
T Me 0 T Me
Me n Me n
x T
Me n
（2） 扭矩（T）：构件受扭时，横截面上分布合力系的内
力偶矩。
（3） 扭矩的符号规定： mI T
Im T
I
T
I
mI T
Im T
T
I
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示 扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正， 反之为负。 （T矢量指向离开截面时为正，反之为负）
´
a
b
dy
´
c
d
垂直于半径的切应力 。
dx
由于δ很小，可认为沿筒壁厚度τ
δ
大小不变；
同一圆周各点情况完全相同， τ
r
也相同，即均匀分布。
纯剪切：横截面上只有沿圆周均匀分布的切应力而没有正应力。
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
Mx 0
A dAr Me 0
r AdA r2 r Me
2M2rMe2r
③静力学方面
（1） 横截面变形后仍为平面，形状和大小不变；
（2） 半径仍保持直线；
（3） 相邻梁截面间距离不变。
pq
Me
pq
Me
（1）变形几何关系
取一楔形体，根据平面假设，q-q横截面相对于p-p横截
面绕轴线旋转了dψ。
p
q
距圆心为 任一点处的为：
G2
tg
G1G dx
d
dx
p
q
d ——扭转角沿长度方向变化率，同一截面为一常量。
dx
表明：距圆心为 任一点处的与该点到圆心的距离成正比。
（2）物理关系
胡克定律 G
Hale Waihona Puke 和ddxG
G
d
dx
表明：横截面上任意点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。
ρ =0，τρ=0
ρ =R，τρ最大
切应力互等定理，纵向截 面和横向截面上的切应力
沿半径分布
（3）静力平衡关系
横截面内有 dA dd
工程力学
第九章 扭 转
§9.1 扭转的概念和实例
扭转
受力特点 杆件两端垂直于杆轴线平面内作用一对大小相等、 方向相反的外力偶
变形特点 杆件的形状大小未变，任意两个横截面绕轴线发 生相对转动，称为扭转变形。
任意两横截面间有相对角位移，称为转角。以扭转变形 为主要变形的杆件称为轴。
§9.2 扭矩及扭矩图
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
4）
Tmax WP[ ]
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp
Ip
2dA
（2）实验后：
Me
①圆筒沿轴线及周线长度
不变；
Me
②纵向线变成斜直线；
（3）结论： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是
绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
微小矩形单元体如图所示： ① 横截面和包含轴线的纵向 截面上无正应力 ② 横截面上各点处，只产生
解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩
在BC段内，以T I表示截面I—I 上的扭矩，由平衡方程
在CA 段内 在AD 段内
§9.3 薄壁圆筒的扭转—纯剪切
一、纯剪切概述
薄壁圆筒：壁厚 1 r （r：为平均半径）
10
δ
r
（1）实验前 ① 画纵向直线，横向圆周线； ② 施加一对外力偶 Me。
三、扭矩图
表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
平行于轴线的坐标表示横截面的位置 垂直于轴线的坐标表示相应截面扭矩的大小
T
x
传动轴如图所示，主动轮A 输入功率 P A = 36 000W，从动轮B、 C、D 输出功率分别为PB = PC = 11000W，P D = 14000W，轴的 转速为n = 300r/min。试画出轴的扭矩图。
dA
τp dθ
截面上的扭矩：T M e A dA
O
A
2G
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
令 I p A 2dA
—横截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，只与横截面的尺寸有
关，无物理意义，单位m4或mm4。
则
T
GI p
d
dx
所以
d
dx
T GIp
G
d
dx
T
Ip
——横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
当=R时，得最大切应力为：
max
TR Ip
令
Wt
Ip R
——抗扭截面系数，单位m3或mm3。
max
T Wt
（4） 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。
②适用于实心圆截面杆和空心圆截面杆，IP值不同。
(5) 圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
max [ ]
对于等截面圆轴： 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
四、剪切胡克定律
Me
l
Me
：互相垂直的两个棱边夹角的改变量，称为切应变或角应变。
：圆筒两端的相对扭转角。
二者的关系：
l r r
l
纯剪切实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 时（弹性范围内)，切应力τ与切应变γ成正比关系——剪切胡 克定律。
G
二、扭矩及扭矩图
n
（1） 采用截面法求横截面上的内力
Mx 0
T Me 0 T Me
Me n Me n
x T
Me n
（2） 扭矩（T）：构件受扭时，横截面上分布合力系的内
力偶矩。
（3） 扭矩的符号规定： mI T
Im T
I
T
I
mI T
Im T
T
I
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示 扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正， 反之为负。 （T矢量指向离开截面时为正，反之为负）
´
a
b
dy
´
c
d
垂直于半径的切应力 。
dx
由于δ很小，可认为沿筒壁厚度τ
δ
大小不变；
同一圆周各点情况完全相同， τ
r
也相同，即均匀分布。
纯剪切：横截面上只有沿圆周均匀分布的切应力而没有正应力。
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
Mx 0
A dAr Me 0
r AdA r2 r Me
2M2rMe2r
③静力学方面
（1） 横截面变形后仍为平面，形状和大小不变；
（2） 半径仍保持直线；
（3） 相邻梁截面间距离不变。
pq
Me
pq
Me
（1）变形几何关系
取一楔形体，根据平面假设，q-q横截面相对于p-p横截
面绕轴线旋转了dψ。
p
q
距圆心为 任一点处的为：
G2
tg
G1G dx
d
dx
p
q
d ——扭转角沿长度方向变化率，同一截面为一常量。
dx
表明：距圆心为 任一点处的与该点到圆心的距离成正比。
（2）物理关系
胡克定律 G
Hale Waihona Puke 和ddxG
G
d
dx
表明：横截面上任意点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。
ρ =0，τρ=0
ρ =R，τρ最大
切应力互等定理，纵向截 面和横向截面上的切应力
沿半径分布
（3）静力平衡关系
横截面内有 dA dd
工程力学
第九章 扭 转
§9.1 扭转的概念和实例
扭转
受力特点 杆件两端垂直于杆轴线平面内作用一对大小相等、 方向相反的外力偶
变形特点 杆件的形状大小未变，任意两个横截面绕轴线发 生相对转动，称为扭转变形。
任意两横截面间有相对角位移，称为转角。以扭转变形 为主要变形的杆件称为轴。
§9.2 扭矩及扭矩图