(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

2002-2003第一学期

一．计算及推导（5*8）

1．已知* 3.141,x x π==，试确定*x 近似x 的有效数字位数。 2．有效数

***1233.105,0.001,0.100

x x x =-==，试确定

***

123

x x x ++的相对误差限。

3．已知

3

()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f 4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。 5．推导中矩形求积公式

''31()()()()()224b a

a b f x dx b a f f b a η+=-+-⎰ 6．试证明插值型求积公式

()()

n

b

i i a

i f x dx A f x =≈∑⎰

的代数精确度至少是n 次。

7．已知非线性方程()x f x =在区间[],a b

内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。

8．用三角分解法求解线性方程组

123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

要用二次插值多项式计算(0.63891)f 的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程ln 0x x +=在(0,1)内有一实根α

（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)

x ∈迭代法都

收敛，并证明其收敛性。 （2）

00.5

x =试用构造的迭代公式计算α的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤。

四． 设有方程组

112233131232a x b a x b a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

当参数a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题 '2 (00.2)(0)1x y y x y y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩ 取h=0.1，小数点后保留5位。（8分）

六．证明求解初值问题 '00

(,)

()y f x y y x y ⎧=⎨

=⎩的如下单步法

12121(,)11(,)22n n n n n n y y K K hf x y K hf x h y K +⎧⎪=+⎪

=⎨

⎪⎪=++⎩ 是二阶方法。（10分）

七．试证明复化梯形求积公式

1

01

()(()2()()) 2n b

i n a

i h b a

f x dx f x f x f x h n -=-≈++=

∑⎰

对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。（6分）

2003-2004第一学期

一．填空（3*5）

1．近似数*

0.231x =关于真值0.229x =有_____-位有效数字。

2

*x 的相对误差的_______倍。

3．设()f x 可微，求()x f x =根的牛顿迭代公式______。

4．插值型求积公式

()()

n

b

i i a

i f x dx A f x =≈∑⎰

的代数精确度至少是______次。

5．拟合三点(1,0),(1,3)A B ==和(2,2)C =的常函数是 ________。 二．已知()f x 有如下的数据

试写出满足插值条件()()

i i P x f x =以及'(2)'(2)P f =的插值多项式()P x ，并写出

误差的表达形式。

三．（1）用复化辛浦森公式计算1

x

e dx

⎰为了使所得的近似值有6位有效数字，问

需要被积函数在多少个点上的函数值？

（2）取7个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算7

21lg x xdx

⎰，小数点

后至少保留4位。

四．曲线3

y x =与1y x =-在点（0.7，0.3）附近有一个交点(,)x y ，试用牛顿迭

代公式计算x 的近似值

n

x ，要求

3

110n n x x ---≤

五． 用雅可比方法解方程组

123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

是否对任意的初始向量(0)

x 都收敛，为什么？取(0)

(0,0,0)T x

=，求出解向量的近

似向量，要求满足(1)()6

13max 10k k i i i x x +-≤≤-≤。

六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题

'2+1 (0)0y y y ⎧=⎨

=⎩

的解函数在0.6x =处的近似值，要求写出计算格式。（步长0.3h =,小数点后保留5位有效数字）

七．设有求解初值问题'00

(,)

()y f x y y x y ⎧=⎨

=⎩的如下格式

11(,)

n n n n n y ay by chf x y +-=++

如假设11(),()

n n n n y y x y y x --==问常数,,a b c 为多少时使得该格式为二阶格式？