线性代数课件-正交矩阵

１ 正交的概念 当 ( x, y) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
一般地，可将线性无关组a1，a2 as如下正交化：
b1 a1
b2
a2
(b1,2 )
(b1, b1 )
b1
施密特正交化方法
b3
3
(b1, 3 ) (b1, b1 )
b1
(b2 , (b2 ,
3 ) b2 )
b2
br
r
(b1,r )
(b1, b1 )
b1
(b2 (b2
,r
, b2
) )
b2
(br1,r )
(br1 , br1 )
br 1
.
即利用施密特正交化方法
可得到与线性无关组1，2 r等价的正交向量组b1，b2， ，br .
(2)
单位化 ,
取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1,e2 ,L ,er为一个规范正交向量组 .
例2 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
令 b1 a1 ，b2 a2 kb1 , 选择适当的 k ,使
b1, b2 0 , 即 b1, a2 kb1 b1, a2 k b1, b1 0 ,
k
b1, b1,
a2 b1
,
b2
a2
b1，a2 b1, b1
b1
.
又如：已知a1
,
a2，a3线性无关
，求正交向量组b 1
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0,
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
如：a1 1，0，0，a2 0，1，0，a3 0，0，1
b1 1，0，0，b2 1，1，0，b3 1，1，1
两两正交.
解 a2 ,a3应满足方程a1T x 0,即 x1 x2 x3 0.
它的基础解系为
1
0
1 0 , 2 1 .
1
1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a2 1,
a3
2
[ 1, 2] [ 1, 1]
1.
其中[1, 2] 1,[1,1] 2,于是得
1
0 1 1
正交向量组 线性无关向量组 线性无关向量组/ 正交向量组
但是任何一组线性无关的向量组
a1, a2， ，ar 都可以通过适当的方法 化为一正交向量组b1 ，b2， br , 且 b1 ，b2， br 与a1 , a2， ，ar等价.
例3 已知a1 , a2线性无关 ，求正交向量组b1，b2， 且b1 ，b2与a1 , a2等价.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 为正交矩阵 .
2. 性质 1 A1 AT,
2 A 1 ,
3 AT , A1, AB也是正交方阵
4 A 为正交矩阵 A的行列向量组
注： (a, b) aT b bTa.
内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 :
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z; (4) x, x 0,且当 x 0 时有x, x 0.
二、向量的长度及性质
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
1 2
,
1 2
Biblioteka Baidu
,
1 2
,
1 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3
14
0,
2 , 14
1 , 14
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
例3 已知 1 1,1,1T , 求非零向量 2 , 3使1, 2 , 3
§3 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵
一、内积的定义及性质
定义1 设有n维向量 (a1, a2 , , an )T, (b1, b2 , , bn )T, 则 a1b1 a2b2 anbn 称为向量 与 的内积， 记为 (, )，即 ( , ) a1b1 a2b2 anbn T .
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos ( x, y)
|| x || || y ||
称为n维向量x与y的夹角 .
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
，b2，b3
且b 1
，b2，b3与a1
,
a2，a3等价.
令 3 3 k11 k22 , 为使
1, 3 2, 3 0 , 则 可推出
k1
3 , 1,
1 1
,
k2
3 , 2 ,
2 2
,
于是
3
3
3 , 1,
1 1
1
3 , 2 ,
2 2
2
,
1, 2 , 3 是与1, 2 , 3 等价的正交向量组 .
1.定义2 令
x ( x, x) x12 x22 L xn2 ,
称 x 为n维向量 x的长度或范数 . (norm)
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 x 时, x 0;当 x 时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
2. 单位向量及n维向量间的夹角
解 正交化， 取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
都是标准正交向量组.
1
证
设
A
2
n
AT
T 1
T 2
T n
,则