抛物线30条经典性质及其证明

AB
2p sin2
、 SAOB
p2 2sin
得证.
20． SABC
p2 sin2
证明： SABC
1 2
|
AB
| | PF
|
1 2
2p
1
1 k2
p2(
y1 2
y2 ) 2
p
1
1 k2
p2
(
p k
)2
p 2(1
1 k2
)
p2 sin2
21. AB 2 p ；
证明：由
AB
2p sin2
得证.
2 px,
y1y2
2
pm,
2
px1
2
px2 4
4 pm
2 px,
x
x1
x2 4
2m
.
所以点 M 的横坐标为 x
x1 x2 2m 4
. 点 M 是 PC 的中点.
28.设点 A、B 在准线上的射影分别是 A1，B1，则 PA 垂直平分 A1F， PB 垂直平分 B1F，从而 PA 平
分 A1AF ，PB 平分 B1BF
y1)
p(x2 x1)
y12 y22 2
y22 2
y12 2
y12 y22 2
0
10.
AF
P 1 cos
；
BF
P 1 cos
；
关注公众号“品数学”，获取更多干货
证明：作 AH 垂直 x 轴于点 H，则 |
AF
||
AA || KF
| | FH
|
p |
AF
| cos ,|
AF
|
p 1 cos
22. kAB 2 p ； y1 y2
证明：由点差法得证.
23. tan y1 y2 ;
x1
P 2
x2
P 2
证明：作 AA2 垂直 x 轴于点 A2,在 AA2F 中， tan
AA2 FA2
x1
y1
p 2
,
同理可证另一个.
24. AB 2 4 AF BF ;
证明：
AB 2
4
AF
BF
p3 p2
)
p y1
p y1
p y1
0
tan FAP tan PAA1, FAP PAA1. 同理可证另一个 29. PFA PFB 证明： PAA1 PAF PFA PA1A,同理：PFB PB1B , 只需证PA1A PB1B ,
易证：| PA1 || PF || PB1 |,PA1B1 PB1A1, PA1A PB1B,
.
得证.
18. SAOB
p2 2sin
；
证明： SAOB
SOFA SOFB
1 2
p 2
(y1 y 2 )2 4y1y 2
p 4
(
2p k
)
2
4p
2
p2 2
(
1 k
)2
1
p2 2
1 cot2
p2 2sin
.
关注公众号“品数学”，获取更多干货
19.
S
2 AOB
AB
p 2
3
（定值）；
证明：由
, k AA1
0,
tan FAP tan PAA1
kAF kAP 1 kAF kAP
kAP kAA1 1 kAP kAA1
2 py1 y12 p2
1
2 py1 y12 p2
p
y1
p y1
p y1
1
p y1
0 0
2
py1 y12
p y1
( y12
p
p2 2p2
2)
p y1
py12 y1 ( y12
y2 2 pty 2 pm 0, y1 y2 2 pt, y1y2 2 pm ，
又由
PA PB
: :
y1 y y2 y
p(x x1) ，相减得( p(x x2)
y1
y2 )
y
y12 2
y22 2
,
y
y1
2
y2
,
代入 y1 y
p(x x1) 得，
y12 y1 y2 2
px
x1x2
y12 2p
y22 2p
p4 4 p2
p2 4
.
17.
AB
x1 x2
p
2p sin2
证明：
AB
AF
FB
x1
p 2
x
2
p 2
x1
x2
p,
| AB |
1
1 k2
( y1 y2) 2 4 y1y2
1
1 k2
( 2kp) 2 4 p 2
2p
1
1 k2
2p
1 cot 2
2p sin2
证明： C(
x1
x2 2
,
y1
2
y2
), C (
p 2
,
y1
2
y2
),CC中点横坐标为 x1
x2 4
p
,
把y
y1 y2 2
代入 y2
2 px ，得
y12 y22 2y1 y2 4
2 px,
2
px1
2 px2 4
2p2
2 px,
x
x1
x2 4
p
.
所以点 M 的横坐标为 x
x1 x2 4
（3）过点 A 的切线方程为 y-y1=2 x1（x-x1）与直线 y=-c 相交于点 Q， 将 y=-c 代入 y-y1=2 x1（x-x1），可得-c-x12=2 x1（x-x1）即 x1x2-x12=2 x1（x-x1） 所以点 Q 的横坐标为 x1 x2 ，即点 P 为线段 AB 的中点。（2）的逆命题成立。
解这个关于 k 的一元二次方程（它的差别式也恰为 0）得： k
y1 2 x1
p y1
, 得证.
证法二：（求导） y2 2 px 两边对 x 求导得 2 yy 2 p,
y
p y
,
y | xx1
p y1
,
得证.
13.AC’是切线，切点为 A；BC’是切线，切点为 B；
证明：易求得点 A 处的切线为 y1 y p(x x1 ) ，点 B 处的切线为 y2 y p(x x2 ) ，解得两切线的交
2
该题的命题思路就是借助于性质 3 而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切
线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命
制的题。 例 2：（2006 全国高考卷Ⅱ21 题）抛物线 x2=4y 的焦点 F，A、B 是抛物线上两动点，
且 AF FB ，过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。
p2 4
y1 y2
t
( y1
y2
)
t
2
p2 2
y12 y22 4
t2
p2 2
(y1 y2 )2 2y1 y2 4
t2
p2 2
4t 2
2p2 4
t2
0,
PQ1 PQ2.
15.A、O、 B 三点共线；B、O、 A 三点共线；
证明：A、O、 B 三点共线 kOA
kOB x1y2
（1） 证明： FM AB 为定值；
（2） 设△ABM 的面积为 S，写出 S=f（λ）的表达式，并求出 S 的最小值。
30． | FA | | FB || PF |2
证明：| AF | | BF | (x1
p 2
)(
x2
p 2
)
x1x2
p 2
(
x1
x2
)
p2 4
y12 y22 4 p2
y12
4
y22
p2 4
,
P(
y1 y2 2p
,
y1
2
y2
),
|
PF
|2
y1 y2 2p
p 2
2
y1 y2 2
2
y12y22 4 p2
y12
4
y22
p2 4
,
得证.
关注公众号“品数学”，获取更多干货
例 1：（2007 江苏高考第 19 题）如图，过 C（0，c）（c>0）作直线与抛物线 y=x2 相交
于 A、B 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线 y+c=0 交y 于 P、Q。
（1）若 OAOB =2，求 c 的值； （2）若 P 为线段 AB 的中点，
抛物线的 30 条经典性质及证明
已知抛物线 y2 2 px( p 0) ，AB 是抛物线的焦点弦，点 C 是 AB 的中点. AA’垂直准线于 A’， BB’
垂直准线于 B’， CC’垂直准线于 C’，CC’交抛物线于点 M，准线交 x 轴于点 K. 求证：
1.| AF | x1
p 2
,|
BF
.
同ห้องสมุดไป่ตู้可证另一个.
11. 1 1 2 ; AF BF P
证明：由
AF
P 1 cos
；
BF
P 1 cos
；得证.
12. 点 A 处的切线为 y1 y p(x x1) ;
证明：（方法一）设点 A 处切线方程为 y y1 k (x x1) ，与 y2 2 px 联立，得
ky2 2 py 2 p( y1 kx1) 0, 由 0 2x1k 2 2 y1k p 0,
| y1 y 2 |2 4(x1
p)(x 2
2
p) 2
y12 y22 2y1 y2 4x1x2 2 px1 2 px2 p2 2y1 y2 4x1x2 p2 ，
由 y1 y2
p2 ， x1 x2
p2 4
得证.
25. 设 CC’交抛物线于点 M，则点 M 是 CC’的中点；
点为 C(
p 2
,
y1
2
y2
)
,得证.
14. 过抛物线准线上任一点 P 作抛物线的切线，则过两切点 Q1、Q2 的弦必过焦点;并且 PQ1 PQ2 .
证明：设点 P(
p 2
,t)(t R)
为准线上任一点，过点
P
作抛物线的切线，切点为
Q(
y2 2p
,
y) ,
y2 2 px 两边对 x 求导得 2 yy 2 p,
y
p y
,
p y
K PQ
y y2 2p
t
p 2
,
y
2
2ty
p
2
0,
显然
4t 2 4 p2
0,
切点有两个，设为
Q1
(
y12 2p
,
y1
),
Q2
(
y22 2p
, y2 ), 则y1
y2
2t, y1 y2
p 2,
kFQ1 kFQ2
y1
y12 2p
p 2
y2
y22 2p
p 2
2 py1 y12 p2
PB
AO
x
求证：AQ 为抛物线的切线；
Q
（3）试问（2）的逆命题是否成立。
解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，c）
点 A 在抛物线上：y1=x12 （1）点 B 在抛物线上：y2=x22
直线 AB 经过点 C： y1 c y2 c
x1
x2
（3）
将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到 x1x2=-c，y1y2=c2
（2）
由 OA OB = x1x2+y1y2=2，得 c=2。
（2）P 为线段 AB 的中点，得点 Q 的坐标为（ x1 x2 ，-c）
2
由
AQ
的斜率
k1=
x1
y1 c x1
2
x2
2( x12 x1
x1x2 ) x2
2 x1
，过点
A
的切线的斜率为
k2=2x1。所以直
线 AQ 是抛物线的切线。
2 py2 y22 p2
关注公众号“品数学”，获取更多干货
2 py1 y12 y1 y2
2 py2 y22 y1 y2
2p y1 y2
2p y1 y2
0,
所以 Q1Q2 过焦点.
PQ1
PQ2
(
y12 2p
p 2
,
y1
t)
(
y22 2p
p 2
,
y2
t)
y12 y22 4 p2
y12 y22 4
关注公众号“品数学”，获取更多干货
证明： kPA kA1F
p y1
p 2
0 y1
(
p 2
)
p y1
(
y1 p
)
1, PA
A1F
,
又| AF || AA1 | ，所以 PA 垂直平分 A1F. 同理可证另一个.
证法二： kAF
y1
y12 2p
p 2
2 py1 y12 p2
,kAP
p y1
y12 2
,
y1y2 2 px, x m, 得证.
27. 设 PC 交抛物线于点 M，则点 M 是 PC 的中点；
证明： C(
x1
x2 2
,
y1
2
y2
),
P( m,
y1
2
y2
),PC中点横坐标为 x1
x2 4
2m
,
把y
y1 y2 2
代入 y2
2 px ，得
y12 y22 2y1 y2 4
p 2
y1
y12 2p
y2
p 2
y1
y1y2 p 2.
同理可证：B、O、 A 三点共线.
16. y1 y2
p2 ； x1 x2
p2 4
证明：设 AB 的方程为
y
k(x
p 2
)
，与
y2
2 px 联立，得 ky2
2 py kp2
0,
y1 y2
2p k
,
y1 y2 p 2,
|
1 2
|
AB || CA |,
又| AF || AA |,得证. 同理可证另一个.
8. AC 平分 AAF ， BC 平分 BBF ,A’F 平分 AFK ，B’F 平分 BFK .
证明：由 AC 垂直平分 AF 可证.
9. CF AB ；
证明： CF AB
(p,
y1
2
y2
) (x2 x1, y 2
|
x2
p 2
,
2. CC 1 AB 1 ( AA BB ) ；
2
2
3.以 AB 为直径的圆与准线 L 相切；
证明：CC’是梯形 AA’BB’的中位线，
| AB || AF | | BF || AA| | BB| 2 | CC | 2r
4. ACB 90 ；(由 1 可证)
5. AFB 90 ；
证明： AA FK ,AFK FAA, | AF || AA |,AAF AFA,
AFK
1 2
AFK
,
同理： BFK
1 2
BFK , 得证.