高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：9.6 几何概型 Word版含答案

第六节 几何概型
几何概型
(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． (2)了解几何概型的意义．
知识点 几何概型 1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝
构成事件A 的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
易误提醒 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．
[自测练习]
1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为( )
A.34
B.13
C.12
D.23
解析：如图，将细绳八等分，C ，D 分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD 的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于1
8米(C 、D 两点除外)．由几何概型的计算公式可
得，两截的长度都大于1
8米的概率为P ＝681＝34
.
答案：A
2．在区间[－2,3]
上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )
A.45
B.35
C.25
D.15
解析：区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，因此P (X ≤1)＝3
5，选B.
答案：B
3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为2
3，则阴影区域的面
积为________．
解析：设阴影区域的面积为S ，则S 2×2＝23
，∴S ＝8
3.
答案：83
考点一 与长度(角度)有关的几何概型|
1．(2016·韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x ，则x 满足2x －1≥0的概率为( ) A.34 B.12 C.14 D.13
解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x －1≥0的只有⎣⎡⎦⎤12，2，长度为3
2，P ＝3
22＝34
. 答案：A
2．(2015·高考重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．
解析：设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，
结合0≤p ≤5，解得2
3
<p ≤1或2<p ≤5，所以所求概率P ＝
⎝⎛⎭⎫1－23＋(5－2)5＝2
3
. 答案：2
3
3.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．
解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16
.
答案：16
(1)与长度有关的几何概型：
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度
试验的全部结果所构成的区域长度.
(2)与角度有关的几何概型：
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．
考点二 与体积相关的几何概型|
在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体
ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
[解析] 由题意，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－2
3π8＝1－π
12
.
[答案] 1－π
12
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A ．0.008
B ．0.004
C ．0.002
D ．0.005
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概
型．设取出2毫升水样有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝
2
400
＝0.005. 答案：D
考点三 与面积有关的几何概型|
与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有： 1．与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题． 2．与线性规划交汇命题的问题． 3．与定积分交汇命题的问题．
探究一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题
1．(2015·湖北八校二联)记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为________．
解析：作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π
.
答案：1
2π
探究二 与线性规划交汇命题的问题
2．(2015·高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥1
2”的概
率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤1
2
”的概率，则( )
A ．p 1<p 2<p 3
B ．p 2<p 3<p 1
C ．p 3<p 1<p 2
D ．p 3<p 2<p 1
解析：x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤1
2”
表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤1
2”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，
阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.
答案：B
探究三与定积分交汇命题的问题
3．(2015·高考福建卷)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
解析：依题意知点D的坐标为(1,4) ，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影
＝4－⎠⎛
1
2
x2d x＝4－
1
3x
3|21＝4－
7
3＝
5
3，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P＝
S阴影
S＝
5
3
4＝
5
12.
答案：
5
12
求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
22.混淆长度型与面积型几何概型致误
【典例】在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为________．
[解析]设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应用
0<x<1,0<y<1,0<x＋y<1，
即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，
如图所示．
要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y>1－x －y ，1－x －y>x －y ，1－x －y>y －x ，
所以x<12，y<12，且x ＋y>1
2
，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．
因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的1
4，故这三条线段能构成三角形的概率
为14
. [答案] 1
4
[易误点评] 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． [防范措施] 解决几何概型问题的易误点：
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．
[跟踪练习] 在等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 上任意一点，则AD 的长小于AC 的长的概率为( )
A.1
2 B ．1－22
C.22
D. 2
解析：依题意得知，所求的概率等于12＝2
2
，选C. 答案：C
A 组 考点能力演练
1．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )
A.3
5 B.925 C.1625
D.25
解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部
任取一点落在M 内的概率为
25π－16π25π＝9
25
，故选B. 答案：B
2．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P
-ABC <
1
2V S -ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12
D.14
解析：当点P 到底面ABC 的距离小于3
2时，
V P -ABC <1
2V S -ABC . 由几何概型知，
所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝7
8. 答案：A
3．(2016·石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )
A.1225
B.1625
C.1725
D.1825
解析：设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是
⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤1， 确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65，
确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝17
25
，所以这两
个数之和小于65的概率是17
25
.
答案：C
4.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )
A.5
12
B.12
C.23
D.34
解析：图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04
x d x ＝23x 32| 4
0＝16
3，S 长方形
＝4×2＝8，∴所求概率P ＝S 阴
S 长方形＝1638＝23
.故选C.
答案：C
5．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4的概率为( )
A.14
B.34
C.49
D.916
解析：设AB 、AC 上分别有点D 、E 满足AD ＝34AB 且AE ＝3
4AC ，
则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝3
4BC .∵点A 到DE 的距离等于点A
到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的1
4
.当动点P 在
△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S
4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫342＝916
，故选D.
答案：D
6．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x ) cm ，由4x (12－x)>128得x 2－12x ＋32<0,4<x <8，因此所求的概率等于8－412＝1
3
.
答案：13
7．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．
解析：本题考查几何概率的计算．如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为
2π30＝π
15
. 答案：π
15
8．(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB >90°的
概率为________．
解析：如图，如果M 点位于以AB 为直径的半圆内部，则
∠AMB >90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠AMB ≤90°，所以∠AMB >90°的概率P ＝1
2×π×1222＝π
8
.
答案：π
8
9．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，求使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率．
解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|
2
≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝2
5
.
10．(2016·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .
基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．
则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16
.
(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .
基本事件空间为
Ω＝⎩⎨⎧
(x ，y )⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，
B ＝⎩⎨⎧
(x ，y )⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
⎩⎪
⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，
2x ＋y <0，
x ≠2y ，
则由图可知，P (B )＝μB μΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2
＝1
3，
即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是1
3
.
B 组 高考题型专练
1．(2015·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 1
2⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )
A.34
B.23
C.13
D.1
4
解析：由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1得log 12 2≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 12 12，所以12≤x ＋1
2≤2，解得0≤x ≤32，故事件“－1≤log 1
2⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为3
22＝34
.故选A. 答案：A
2．(2015·高考福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象
上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A.16
B.14
C.38
D.1
2
解析：依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝3
2，根据几何概型的概率求解公
式，得所求的概率P ＝S 阴影
S 矩形ABCD ＝3
26＝14
，故选B.
答案：B
3．(2015·高考陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π
解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－1
2，故满足y ≥x 的概率为14π－1
2π×12
＝
1
4
淘宝店铺：漫兮教育
－12π
，故选D. 答案：D
4．(2014·高考湖北卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，
y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.18
B.14
C.34
D.78
解析：区域Ω1为直角△AOB 及其内部，其面积S △AOB ＝12
×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODC S △AOB
＝2－142＝78.故选D. 答案：D。