高三一轮复习专题训练：函数的图像与性质

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11 [答案 ] (1)A (2) 0， 6
(1 求函数定义域的类型和相应方法： ①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，
只需构建并解不等式 组 即可 .
②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义
x2－ 4x＝ 5，
由 f(x) ＝5 得 x≥0，
(2)解析： ∵f(x) ＝－ f x＋ 2 ， 3
∴f x＋2 ＝－ f(x＋ 3)＝－ f(x)，
∴f (x)＝ f(x＋ 3)，
∴f (x)是以 3 为周期的周期函数． 则 f(2 014) ＝ f(671× 3＋ 1)＝f (1)＝ 3. 答案： 3 (3)解析：因为函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称， 所以该函数是偶函数． 又 f(1) ＝0，所以 f(－
f
π 4
＝________.
解析： ∵f
π 4 ＝－ tan
π 4＝－ 1，
∴f
f
π 4
＝ f(－ 1)＝ 2× ( －1)3＝－ 2.
答案： － 2 (2)若函数 f(x)＝ ( x＋a)( bx＋2a)(常数 a，b∈ R )是偶函数，且它的值域为 (－∞， 2]，则该 函数的解析式 f(x)＝ ________. 解析： 由题意知： a≠ 0， f(x)＝ (x＋ a)(bx＋ 2a)＝ bx2＋ (2a＋ ab)x＋ 2a2 是偶函数，则其图
设 x<0，则－ x>0. ∵当 x≥ 0 时， f(x)＝ x2－ 4x， ∴f (－ x)＝ (－ x)2－ 4(－ x)．
∵f (x)是定义在 R 上的偶函数，
∴f (－ x)＝ f(x)，
∴f (x)＝ x2＋ 4x(x<0) ，
x2－ 4x，x≥ 0， ∴f (x)＝
x2＋ 4x， x<0.
又因为 t ∈[0,2] ，
所以 t＝ 1 是 g(t)的极大值点．
由
g
(0)
＝
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0
，
g
(1)
＝
1 3
－
5 2＋
4
＝
11 6，
g
(2)
＝
1 3
×
2
3－
5 2
×
2
2＋
4
×
2＝
2 3，得当
t∈ [0,2] 时， g(t)
11 ∈ 0， 6 ，
11 即 g(1＋ sin x)的值域是 0， 6 .
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函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法．
(2)函数的奇偶性
①奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于
y 轴对称．
②确定函数的奇偶性，务必先判定函数的定义域是否关于原点对称．
③对于偶函数而言，有 f(－ x)＝ f(x)＝ f(|x|)．
三、预测押题不能少 3．(1) 定义在 R 上的偶函数 f(x)，当 x≥ 0 时， f(x)＝ 2x，则满足 f(1－ 2x)<f (3)的 x 的取值 范围是 ( )
A ． (－ 1,2)
B ．( －2,1)
C．[ －1,2]
D． (－ 2,1]
3 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) ＝－ f x＋2 ，且 f(1)＝ 3，则 f(2 014) ＝ ________.
(3)设函数 f(x)的图像关于 y 轴对称，又已知 f(x)在(0，＋∞ )上为减函数，且 f(1) ＝ 0，则
x≤0，
解得
∴－3<x≤ 0.
x>－ 3，
(2)设 t ＝1＋ sin x，易知 t∈ [0,2] ，所求问题等价于求 g( t)在区间 [0,2] 上的值域．
由
g
(t)
＝
1 3t
3－
5 2
t
2＋
4t
，得
g′ (t )＝ t2－ 5t＋ 4＝ (t－ 1)( t－ 4)．
由 g′ (t)＝ 0，可得 t ＝1 或 t＝ 4.
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函数的图像与性质
一、基础知识要记牢
(1) 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系 相同的两个函数是同一函数．
(2)求函数的值域的常用方法有观察法、不等式法、图像法、换元法、单调性法等． 二、经典例题领悟好
[例 1] (1)(2013 山·东高考 )函数 f(x)＝ 1－ 2x＋ 1 的定义域为 (
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函数图像判断类试题的基本方法 .
三、预测押题不能少
2． (1) 函数
y＝
x3 3x －
1
的图像大致是
(
)
解析： 选 C 因为函数的定义域是非零实数集， 所以 A 错；当 x<0 时， y>0，所以 B 错； 当 x→＋∞时， y→ 0，所以 D 错．
B．e
－ x－ 1
D. e
(2)函数 f(x)的图像是如图所示的折线段 OAB，其中 A(1,2) ，B(3,0)，函
数 g(x) ＝ xf(x)，那么函数 g(x)值域为 ( )
A ． [0,2]
9 B. 0， 4
3 C. 0， 2
D ．[0,4]
[解析 ] (1)曲线 y＝ ex 关于 y 轴对称的曲线为 y＝ e－x，将 y＝e－ x 向左平移 1 个单位长度
－ x2＋ 3x， 1<x≤ 3.
当 0≤x≤ 1 时， g( x)＝ 2x2∈ [0,2] ；
当 1<x≤3 时， g(x)＝－ x2＋3x＝－
3 x－2
2＋
9 4
，显然，当
3 x＝ 2时，取得最大值
9 4；
当 x＝ 3 时，取得最小值 0. 9
综上所述， g(x)的值域为 0， 4 . [答案 ] (1)D (2)B
函数与不等式的交汇
函数与不等式的交汇是高考的热点， 函数与不等式交汇涉及函数性质与不等式解法、 恒
成立问题、求参数范围等方面，题目一般有一定难度．
一、经典例题领悟好 [例 1] (2013 ·四川高考 )已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x≥ 0 时， f(x)＝ x2－ 4x，那 么，不等式 f (x＋ 2)＜ 5 的解集是 ________．
∴5＋ f(lg(lg 2)) ＝8，
∴f (lg(lg 2)) ＝ 3. [答案 ] (1)C (2)C
(1)判断函数单调性的一般规律： 对于选择、 填空题若能画出图像一般用数形结合法；
而对于由基本初等函数通过加、 减
运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；
对于解析式为分式、 指数
.
2 求函数值时应注意：
形如 f g x 的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值
解不等式
问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解； 对具有周期性的函数求值要用好其周期性 .
三、预测押题不能少
2x3，x<0， 1． (1) 已知函数 f(x)＝ － tan x， 0≤ x<π，
2
则f
像关于 y 轴对称，所以 2a＋ ab＝ 0， b＝－ 2.所以 f(x)＝－ 2x2＋ 2a2，因为它的值域为 (－ ∞ ，
2] ，所以 2a2＝ 2.
所以 f(x)＝－ 2x2＋ 2. 答案： － 2x2＋ 2
函数的图像 一、基础知识要记牢 函数的图像包括作图、识图、用图，其中作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二 是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 二、经典例题领悟好
C 符合要求．
①＋②得 f(x)＋ f(－ x)＝ 8.③
又∵lg(log 210)＝ lg
1 lg 2
＝ lg(lg 2) －1＝－ lg(lg 2) ，
∴f (lg(log 210))＝ f(－ lg(lg 2)) ＝ 5.
又由③式知 f(－ lg(lg 2)) ＋ f(lg(lg 2)) ＝ 8，
f －x ＋f x
1)＝ 0.又已知 f(x)在 (0，＋ ∞ )上为减函数，所以 f( x)在 (－ ∞， 0)上为增函数 .
x
<0 可
化为 xf(x)<0，所以当 x>0 时，解集为 { x|x>1} ；当 x<0 时，解集为 { x|－ 1< x<0} ．综上可知，
不等式的解集为 (－ 1,0)∪ (1，＋ ∞ )． 答案： (－ 1,0)∪ (1，＋∞ )
1 解决“由式作图”问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图像相联 系，通过各种图像变换得到要求的函数图像 .另外，还要善于借助解析式，发现函数的性质 如单调性、奇偶性、对称性、周期性等 ，以此帮助分析函数的图像特征 .
2 根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入 手结合给出的函数图像进行全面分析， 有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断， 这是解决
[例 2] (1)(2013 北·京高考 )函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度，所得图像与曲线 y
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＝ex 关于 y 轴对称，则 f(x)＝ ( )
x＋ 1
A．e
－ x＋ 1
C．e
x－ 1
一、基础知识要记牢
函数的性质
(1)单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性． 判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法．
(2) 函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可
以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分
( 一半 )区间上，是简化问题的一种途
得到 y＝ e－(x＋ 1)，即 f(x)＝ e－x－1.
(2)由题图可知直线 OA 的方程是 y＝ 2x；
0－ 2
而 kAB＝
＝－ 1，
3－ 1
所以直线 AB 的方程为 y＝－ (x－ 3)＝－ x＋ 3.
2x， 0≤ x≤ 1， 由题意，知 f(x)＝
－ x＋ 3， 1<x≤ 3，
2x2， 0≤ x≤ 1， 所以 g(x)＝ xf(x)＝
2)) ＝ ( )
A ．－ 5
B ．－ 1
C．3
D．4
[解析 ] (1)函数 y＝－ 3|x|为偶函数，在 (－ ∞ ，0)上为增函数．选项 A ，D 是奇函数，不
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符合；选项 B 是偶函数但单调性不符合；只有选项 (2)∵f(x)＝ ax3＋ bsin x＋ 4，① ∴f (－ x)＝ a(－x)3＋ bsin(－ x)＋ 4， 即 f(－ x)＝－ ax3－ bsin x＋ 4，②
)
x＋3
A ． (－ 3,0]
B．( －3,1] C．( －∞，－ 3)∪ (－ 3,0]
D． (－∞，－ 3)∪(－ 3,1]
(2)若
g
(x)
＝
1 3
x3－
5 2
x2＋
4x，则
g(1 ＋sin
x)的值域为
________ ．
[解析 ]
(1)由题意，自变量
1－2x≥ 0，
x 应满足 x＋ 3>0 ，
(2)设函数 f(x)( x∈ R)满足 f(－ x)＝ f( x)， f(x＋ 2)＝ f(x) ，则 y＝ f( x)的图像可能是 ( )
解析： 选 B 因为 f (x)＝ f( －x) ，所以函数 f(x)是偶函数．因为 f( x＋2)＝ f (x)，所以函数
f(x)的周期是 2，再结合选项中的图像得出正确选项为 B.
学审题
x≥0
时，
f
(
x)
＝
x2－
偶函数
4x――→
f(x)
的解析式
―→ f(x)的图像
数形结合
――――→ f(x)<5
的解
集―→ f (x＋2)<5 的解集． 用 “ 思想 ” —— 尝试用 “数形结合思想 ” 解题
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径．
二、经典例题领悟好 [例 3] (1)(2013 大·连模拟 )下列函数中，与函数
y＝－ 3|x|的奇偶性相同，且在 (－∞， 0)
上单调性也相同的是 ( )
1 A ． y＝－ x
B ．y＝ log 2|x |
C．y＝ 1－ x2
D． y＝ x3－ 1
(2)(2013 重·庆高考 )已知函数 f(x)＝ ax3＋bsin x＋ 4(a，b∈ R )，f(lg(log 2 10)) ＝ 5，则 f(lg(lg
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不等式
f
－x＋f x
x
<0
的解集为
________ ．
解析： (1)选 A 依题意得，函数 f(x) 在[0 ，＋ ∞)上是增函数，且 f(x)＝ f(|x|)，不等式 f (1
－2x)< f(3)? f(|1－ 2x|)<f (3)? |1－ 2x|<3? － 3<1 － 2x<3? － 1<x<2. 3