信号与系统第一讲例题

h( n) p
n


h( n)
n 0

1 n2

1 02
11 2
所以系统不稳定。
（2）当n<0时，h(n)=0，所以系统是因果的。 因为
n
h(n)
n 0


1 n!
1 1 11 2 1 3 2 1
2 0 N
，则x(n)的周期为N； ，（P、Q为互素的
（2）当 2 0 为有理数时，如 整数，则x(n)的周期为P； （3）当 2 0
2 0 P Q
为无理数时 ，则x(n)为非周期序列。
解：（1）由
x(n) A cos( 37 n ) 8
可得
2 0 2
1 H a ( j) 2 0
3 3
现有两个输入 x1 (t ) cos(2 t ); x2 (t ) cos(5 t ) ，输出信号 y1 (t ), y2 (t ) 有无失真？为什么？
分析： 要想时域抽样后能不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大 于2倍信号谱的最高频率 ，即满足
解：由
y(n) [ x(n)]2
y1 (n) T[ x1 (n)] [ x1 (n)]2， y2 (n) T[ x2 (n)] [ x2 (n)]2
可得
ay1 (n) by2 (n) [ax1 (n)]2 [bx2 (n)]2
而
T [ax1 (n) bx2 (n)] [ax1 (n) bx2 (n)]2 [ax1 (n)]2 [bx2 (n)]2 2abx1 (n) x2 (n)
fs 2 fh
解：根据奈奎斯特定理： 由 x1 (t ) cos 2 t ，频谱中最高角频率 h1 2 3 无失真。 由 x2 (t ) cos 5 t ，频谱中最高角频率 h1 5 3 有失真。 ，所以 y2 (t )
，所以 y1 (t )
y(n) N nn0

例2、判断下列序列是否周期性的，若是周期性的，确定其周期。 （1）
x(n) A cos( 37 n ) 8
（2） 分析：
x(n) e
j 58n
的周期性判断方法
x(n) A cos(0 n )
为整数时，如
（1）当 2 0
解：
y (n) x(n) h(n)
m


x(m)h(n m）
（1）当 n n0
时，y(n)=0。 两序列部分重叠。因而
（2）当 n0 n n0 N 1
y ( n)
m n0

n
x ( m) h( n m)
m n0

n0
n
mn nm
第一章
例题
y(n) x(n) h(n)
例1、 直接计算下面两个序列的卷积和
n h( n) 0 0 n N 1 其他n
n n0 x ( n) 0
用公式表示。
n0 n n n0
分析：1、卷积求和式中m是哑元(n看作参量)，结果中n是变量。 2、分为四步：翻褶(－m)，移位(n)，相乘，相加。求得一个n的y(n)值。 3、在n的不同时间段上求和范围不同，要分段求解。
1 0! 1 1!
1 1 1 11 3 2 4 8
所以系统是稳定的。 （3）当n<0时，h(n)=0，所以系统是因果的。 因为
n


h(n) 3n 30 31 32
n 0

所以系统不稳定。
（4）当n<0时，h(n) 0，所以系统是非因果的。 因为
即
T[ax1 (n) bx2 (n)] ay1 (n) by2 (n)
所以，系统不是线性系统。
又因为
T [ x(n m)] [ x(n m)]2 , y(n m) [ x(n m)]2
即
T [ x(n m)] y(n m)
所以系统是移不变系统。
例4、对系统
n


3 h(n) 3 3 3 3 2 n
n 0 1 2
0
所以系统是稳定的。
（5）当n<0时，h(n) 0，所以系统是非因果的。 因为
n


h( n)
n
(n 3) 1

所以系统是稳定的。
例6、有一理想抽样系统，抽样角频率为 s 6 ，抽样后经理想低通滤波 器 Ha ( j) 还原，其中
y(n) k x n k , 其中 0 , 1 ,, N 1为常数.
k 0
N 1
求其单位抽样响应h(n),并判断系统是否稳定？稳定的条件是什么？
分析 （1）当线性移不变系统的输入为δ(n)， 其输出h(n)称为单位抽样响应， 即 h(n)=T[δ(n)]
（2）已知线性移不变系统的单位抽样响应，可用 来判断稳定性。
n


h( n) p
根据单位抽样序列的性质，可得
n h(n) 0
S
0 n N 1 其它
N 1 n0
由此得
n


h( n) n
因为 0 ,1,, N 1为常数.
所以系统是稳定的。
例5、以下序列是系统的单位抽样响应h(n)，判断该系统是否因果的、稳定的。
例3、判断系统
y(n) [ x(n)]2
是否为线性系统、是否为移不变系统。
分析：利用定义来判断：
（1）线性：满足可加性和比例性：
T[a1x1 (n) a2 x2 (n)] a1T [ x1 (n)] a2T [ x2 (n)]
（2）移不变性：输入和输出的移位相同：
T [ x(n m)] y(n m)
n
m n N 1

n
x m h n m
m n N 1


m n0

nm

n0
n
m n N 1

n

m

n
n0


n N 1



n 1
1


n 1 n0 N
N N
3 7
14 3
所以x(n)是周期性的，周期为14。
（2）由
x ( n) e
可得
j 58n
cos( 58n )＋jsin( 58n )
5 8
cos( 58n ) jsin( 58n )
2 0 2 8 5
是无理数， 所以x(n)是非周期序列。
0

n n0
m n0
0

n

m

n
0


n0


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n 1
1
n 1 n n 1 n

y(n) nn0 (n 1 n0 )

当 n n0 N 1
时，两序列全重叠，因而
y ( n)
1
（1） n2
（5）
u(n)
（2） n! u (n)
1
（3）
3n u(n)
（4） 3n u(n)
(n 3)
n
分析：已知线性移不变系统的单位抽样响应，可用 来判断稳定性。 h(n) 0, n 0 ，判断因果性。 用 解： （1）当n<0时，h(n)=0，所以系统是因果的。 因为