基于数学分析模型弹簧振子运动分析与

基于数学分析模型的弹簧振子运动分析与探析

【摘要】本文系统地探讨了以恒定速度牵引弹簧振子时弹簧振子的运动规律，给出了弹簧振子运动速度的解析解，静摩擦因数大于动摩擦因数导致弹簧振子做滑阻运动。

【关键词】弹簧振子；摩擦；滑阻运动

【abstract】the motion of spring oscillator with constant traction speed is discussed systematically in this paper. the analytical solutions of the velocity are obtained， while the static coefficient of friction is greater than the dynamic friction factor which leadings to the stick slip motion of spring oscillator.

【key words】spring oscillator； friction； stick slip motion

弹簧振子是大学物理的重要组成部分，也是一个重要的物理模型。在一般大学物理的教学中都会讲授静摩擦因数和动摩擦因素，并且在处理和求解问题的过程中都近似认为最大静摩擦力等于滑

动摩擦力，即静摩擦因数等于动摩擦因数。一般而言，静摩擦因数大于动摩擦因素，然而这种差别对物体运动的影响，在教学过程并没有得到详细的阐述。本文以水平面上放置的弹簧振子为例，系统的分析了摩擦力对弹簧振子运动规律的影响。

如图1所示，水平放置一个弹簧，以恒定速度v0向右运动。

图1

建立右向为正方向的x轴，设零时刻弹簧处于原长状态，弹簧振子的坐标为零，速度为零。弹簧振子的质量为m，弹簧的倔强系数为k。

若地面光滑，根据受力分析，由牛顿第二定律得

m■+k（x-v■t）=0

令ω2=k/m，则

■+ω2x-ω2v■t=0

利用初始条件t=0，x=0，v=0，a=0求得微分方程的解为

x=v■t-■sinωt

弹簧振子的速度为

v=v■（1-cosωt）

若地面有摩擦力，且动摩擦因数μ等于静摩擦因数μ0时，由于t=0时，弹簧处于原长，所以在t=0到t=gμ/ω2v0这段时间内，弹簧振子处于静止状态。

此后时刻，弹簧振子开始运动，对其受力分析，由牛顿第二定律得

m■+k（x-v■t）+mgμ=0

同上可化为

■+ω2x-ω2v■t+gμ=0

利用初始条件t=gμ/ω2v0，x=0，v=0，a=0求得微分方程的解为

x=v■（t-■）-■sinω（t-■），t≥■

则弹簧振子的速度为

v=v■[1-cosω（t-■）]，t≥■

由此式可看出，当静摩擦因数等于动摩擦因数时，弹簧振子运动的速度与地面光滑的情形相比，只不过相差一个初相位，其运动规律相同。

而当地面有摩擦力，其静摩擦因数大于动摩擦因数时（μ0>μ），弹簧振子的运动比较复杂。初始时刻（t=0），弹簧振子的速度为零，在t=gμ/ω2v0时，弹簧振子受到最大静摩擦力，弹簧振子开始运动。在其开始运动瞬时，弹簧振子受到的摩擦力发生突变，由最大静摩擦力突变为滑动摩擦力，对弹簧振子受力分析，由牛顿第二定律得，其当弹簧振子的速度再次为零之前，弹簧振子的运动速度为v=v■-acosω（t-t02-t03）

其中a=■■，t■=-■arctan■

在t=t02+t03+■arccos■时，弹簧振子运动速度为零，由于静摩擦系数大于动摩擦系数，在此后δt=2g（μ0-μ）/ω2v0时间间隔内，弹簧振子再次保持静止。弹簧振子运动速度的解析解为

v=0，t≤t■v=v■-acosω[t-nt■-nt■-（n-1）△t]，t■+（n-1）（t■+■arccos■）+（n-1）△t

利用数值计算，下图给出了弹簧振子的速度图像。

图2

当静摩擦因数大于动摩擦因数，由弹簧振子运动速度的解析解和其运动的图像可知，弹簧振子在整个运动过程做滑阻运动。弹簧振子的振幅a大于未受摩擦力或静摩擦因数等于动摩擦因数时的振幅v0。当静摩擦因数等于动摩擦因数时，弹簧振子静止的时间为零，由此可见，静摩擦因数大于动摩擦因数导致弹簧振子做滑阻运动。另外，弹簧振子静止的时间也与弹簧振子的质量，弹簧的倔强系数以及牵引速度v0有关。

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[责任编辑：杨扬]