第二章行波波动方程

y A cos( t
2

x a )
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t ) y( x , t )
x ut
y
t
u
ut
o
●
x
●
x x
●
x
y A cos( t
2

x a )
3. 沿负向传播的平面简谐波的表达式
y A o -A → u
2

x a )
t
λ λ
x
波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值 等于波的振幅，表示质元离开平衡位置的最大位移。 波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离 等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。
施力面积相互错开而引起的材料角度的变化 ф， 叫切变的应变。 d D
F
⑵ 切变
S
F
S
d

D
F
F
在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。
F d G G S D
G 称作切变弹性模量。由材料的性质决定。
⑶ 体变
P
V
V P K V
一块物质周围受到的压强改变时， 其体积也会发生改变，如图， 以 ΔV∕ V 表示相应体积的相对变化， 即应变，则有
P 点振动的位相 t 时刻 P点质元振动的表达式：
2

x
y A cos( t
2

x a )
y
x
o
●
u
P
●
x
2
y A cos( t

x a )
因为P点是任选的，上式就是 x 轴上任意质元 的振动表达式，即平面简谐波的波函数 利用关系 2 ，u
y A cos( t
2

x a )
2) 当 t 一定时，即对于某一确定时刻（ t ＝ t0 ）。
y A cos( t 0
2

x a )
波函数给出了t0 时刻各个质元离开平衡位置的位移 3) 当x、t 变化时，
波函数给出了任意 x 处质元在任意 t 时刻 离开平衡位置的位移
以 V 表示原体积，ΔP 表示压强的改变，
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“ － ”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源
媒质
作机械振动的物体——波源
传播机械振动的物体
在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。

T
u


表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4.
波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质， (1) 固体中的横波 (2) 固体棒中的纵波
u
G

u
E

G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
o
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
●
x
u
o
●
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同）， 它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。 因此，对于平面波来说只需知道 x 轴上各质元的 振动状态就可以了。 即:平面波的波函数给出的是 x 轴上各质元 的振动表达式
T
T
波函数还有其它形式
2 y A cos( t x a ) ，u T T
2
x y A cos( ( t ) a ) u y A cos(2 ( t x

) a )
令 k
t x y A cos(2 ( ) a ) T
⑴ 线变
l
l
F
F
S
一段固体棒，当在其两端沿轴的方向 加以方向相反大小相等的外力时， 其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方向而定。 以F 表示力的大小，以S 表示棒的横截面积，
则叫F∕S 叫做应力，以 l 表示棒的长度，
以 Δl 表示在外力 F 作用下的长度变化。
则 Δl∕l 叫相对长度变化，又叫应变
u
y
u
●
o
x
已知平面简谐波沿 x 轴正向传播，
x 轴上质元离开平衡位置的位移用 y 表示 设 t 时刻位于原点 o 的质元的振动表达式为：
x0
y0 A cos( t a )
y
u
●
o
P
●
x
x0
y0 A cos( t a )
由假设，在振动传播过程中，媒质并不吸收 振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。 则当 o 点质元的振动以波速 u 传到任一点P 时 P 点质元将以相同的振幅和频率， 重复 o 点质元的振动，
机械振动在媒质中的传播称为机械波。 如声波、水波、地震波等 变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。
如无线电波、光波、等
虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律， 但在形式上它们也具有许多共同的特征。 如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播， 都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。
§2.1 行波
2.
波长 λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质 元之间的距离叫做波长。记作 λ
λ
λ
纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。 相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长
横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了 一个“完整波”——包含了全部振动状态， 因此 一个波长就是一个“完整波”的长度。
3.
周期 T、频率 ν 与波长 λ 的关系
于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
(4) 在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离 存在同相质元----质元的振动状态相同
5.
波的几何描述 波的传播是振动的传播而非质元的迁移， 由于振动状态常用位相来表示， 所以振动状态的传播也可以用位相的传播来说明。
为了形象直观地表示媒质中各质元的位相的关系 以及波传播的方向，常用几何图形加以描述。
球面波
二．描述波的物理量
1.
周期 T、频率 ν
波是机械振动的传播，在传播的过程中， 媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性， 即每隔一定的时间，媒质中各质元的 振动状态都将复原。 媒质中振动状态复原时所需的最短时间， 也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。
实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。
⑴ 线变
l
l
F
F
S
胡克定律
在弹性限度内，应力和应变成正比。
F l E S l
E 为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，
叫杨氏模量。
⑵ 切变
F
S
F
S
d

D
F
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的 大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变， 如图， 这种形式的形变叫切变。 外力F 和施力面积 S 之比，为切变的应力
波线： 用带箭头的线表示波传播的方向。 波面： 媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。 波前： 波源开始振动后，在同一时刻，振动到达的 各点构成的面,显然是一个同位相面， 由于这一波面在波传播方向的最前方， 所以又叫做波前或波阵面。
根据波前的形状不同，
波可分为平面波，球面波，柱面波。
波面
波 线
平面波
x
x0
y0 A cos( t a )
P 点振动的位相要比 o 点落后 x2π ∕ λ
t 时刻o 点质元的振动位相：
t 时刻 P 点质元的振动位相：
t a
t a
2

x
y
x
o
●
u
P
●
x
x0
y0 A cos( t a )
t
a
结果： t 时刻 P点质元振动的振幅和频率与o 点相同，
y
x
o
●
u
P
●
x
x a )
y A cos( t
2

二．波动曲线
y A cos( t
2

x a )
根据波动表达式 以 t 时刻，质元的平衡位置 x 为横坐标， 以质元离开平衡位置的位移y 为纵坐标，
画出的曲线，叫t 时刻波形曲线。
y o → u
t
x
y A cos( t
在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离，
媒质的质元的振动状态在各时刻都相同
----质元的振动同相 表明波具有空间上的周期性。 引入波长的概念来描述波在空间上的周期性。
λ
2.
波长 λ
λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间
的距离叫做波长。记作 λ 从外形上看， 横波的一个波长中有一个波峰和一个波谷， 相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源
媒质
作机械振动的物体——波源
传播机械振动的物体
在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。 什么是物质的弹性？
2.3 物体的弹性变形
物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时， 形状或体积都会发生或大或小的变化。 这种变化统称为形变 当外力不太大因而引起的形变也不太大时， 去掉外力，形状或体积仍能复原。 这个外力的限度称作弹性限度。 在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系， 由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下 几种基本方式： 线变 切变 体变
波的时间上的周期性和空间上的周期性 是密切联系的，这种联系就表现在： 在一个周期的时间内，某一确定的振动状态，也即 某一确定的位相，所传播的距离正好是一个波长。 如果以 u 表示振动状态或振动相的传播的速度， 则这一联系可用公式表示为
u
ห้องสมุดไป่ตู้

T

这是表示波的基本特征的重要公式
u
将上式改写
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
2.
机械波的传播
按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为 3. 纵波和横波 横波 振动方向与波传播方向垂直的波。 如细绳中传播的波 纵波 振动方向与波传播方向在一条直线上的波。 如弹簧中传播的波以及声波
波传播是由于质元的形变，
对横波、纵波来说， 质元发生形变情形是什么样的呢？
x /m 6 3
o
x1
2 4
6
t
/s
1、写出上图简谐振动的函数表达式
2、画出振动在t=0 s时的旋转矢量图
第二章
§2.1 行波
波动学基础
一．机械波的产生 二．描述波的物理量
§2 .2 平面简谐波
一．波函数 二．波动曲线
§2 .3 波动方程
作业：21.3，21.6，21.7，
第二章
波动学基础
振动在空间的传播过程叫做波动
横波
从图上可以明显看出在横波中各质元发生切变， 外形有波峰波谷之分
横波只能在弹性固体中传播
纵波
在纵波中，各质元发生长变或体变， 因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同， 所以纵波也叫疏密波。
纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播
4.
波的特征
(1) 不管是横波还是纵波，在波传播的过程中， 媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动， 质元本身并不迁移，质元并未“随波逐流” 。 (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻
(3) 弹性绳上的横波
(4) 流体中的声波
u
T

u
k
0
T— 绳的初始张力, — 绳的线密度
k—体积模量, 0 —无声波时的流体密度
理想气体:
u
RT
= Cp/Cv , — 摩尔质量
§2.2 简谐波
如果媒质中所传播的是简谐振动，
则媒质中各质元均作简谐振动， 则相应的波称作简谐波，又叫正弦波。 平面简谐波：波面是平面的简谐波。 球面简谐波：波面是球面的简谐波。
2



u
y A cos( t kx a )
波数
y A cos( t
2

x a )
讨论
1. 平面简谐波波函数的物理意义 即对于某一确定位置（ x＝x0 ）的质元。
1) 当 x 一定时，
y A cos( t
2

x0 a )
波函数给出了x＝x0 处质元作简谐振动的表达式
但 P 点振动的位相要比 o 点落后。
y
x
o
●
u
P
●
x
x0
y0 A cos( t a )
由于沿波传播方向每隔一个波长 λ ，
位相就要落后 2π ，每隔单位长度位相落后 2π∕λ
设 P 点距 o 点的距离为 x，
P 点振动的位相要比 o 点落后 x 2π ∕λ
y
x
o
●
u
P
●
一．平面简谐波的波函数（波的表达式） 波函数的含义：
与简谐振动表达式对比说明
是简谐振动质点的运动方程
x =Acos ( t o )
表示时刻 t 质点离开平衡位置
的位移，取决于位相 t o
一．平面简谐波的波函数（波的表达式）
给出一个能够描述媒质中所有质元的 波函数 波的表达式 运动状态的方程，即振动表达式 应表示出所有质元在时刻 t 的位移， 除了取决 t o 外， 还应与质元的位置坐标有关