投资组合的决策分析原理

一、一种无风险资产与一种风 险资产的组合
假设无风险资产具有正的期望收 益，且其方差为0。
例3-2
A女士考虑投资M公司的股票。并且， A女士可以按无风险利率进行借入或贷 出。有关参数如下：
M公司股票 无风险资产
预期收益率 14%
MV组合未必是最理想组合。有些投资 者可能愿意多冒些风险以换取更高收益， 比如图3-3中的组合2（60%A + 40%B， 预期收益率和标准差为16.0%、 0.115）。
因此，虽然整段曲线被称为“可行集”， 但投资者只考虑从MV到A这段曲线，从 而该段曲线被称为“有效集”或“有效边 界”。
四、三种资产组合的收益-风险可能组合
>0，则反弓曲线可能出现也可能不出 现。
反弓曲线只出现一段，随着高风险资 产投资比例的提高，组合的标准差终 将上升。
图3－3：将图3-1局部放大
收益 E(Rp)
20%
18%
16%
14%
12%
10% 8%
8%
MV 1 B
10%
A
2
wA =0.05
wB =0.95
12%
wA =0.6
wB =0.4
风险
只要组合中证券的两两项之间相关 系数<1，组合的多元化效应将发生 作用。
但是要解决一个重要问题，在组合 内部，构成组合的风险资产之间的 权重比例关系应该是多少，即应如 何进行资产组合？
三、两种资产组合
下面我们以两种资产组合为例，列举 改变权数时资产组合的预期收益率-标 准差（收益-风险）的集合。
➢ 分散投资的合理性为基金管理提供理论依 据。单个资产的风险并不重要，重要的是 组合的风险。
➢ 从单个证券的分析，转向对资产组合的分 析。
2、缺点 ➢ 当证券的数量较多时，计算量非常
大，使模型应用受到限制。 ➢ 解的不稳定性。 ➢ 重新配置的高成本。
所以马克维茨及其学生夏普就寻 求更为简便的方法，这就是资本资 产定价模型（CAPM）。
任何人都不可能选择收益超过该阴 影区的组合；任何人也不可能选择收 益低于该阴影区的组合。
——资本市场防止了自我伤害的投资 者去投资一项肯定会造成损失的组合。
任何人都不可能选择风险超过该阴 影区的组合；也不可能选择风险低于 该阴影区的组合。
——若投资组合为市场上的所有证券， 则最低风险就是不能由多元化消除的 市场风险（系统风险）。
最小方差组合的权数及最小方差。
组合方差最小的股票A权数
w*A A2B2 B2A2B AB A2B2 B2 A2BAABBAB
10%2 0.515%10% 15%2 10%2 20.515%10%
14.3%
w B * 1 w * A 1 1.3 % 4 8.7 % 5
组合最小方差：
P *w * AA 2 w B *B 2 2 w * Aw B * AA BB1 /2
第三章 投资组合分析
第一节 马柯维茨的资产组合理论 1952年，哈里·马柯维茨发表的一篇 里程碑式的论文，被认为是现代资产 组合理论的开端，从此，投资组合分 析就成为金融投资理论的重要组成部 分。
一、资产组合理论的前提条件
1、假设证券市场是有效的。 2、假设投资者都是风险厌恶者。 3、假设投资者根据证券的预期收益率和标准 差选择证券组合。 4、假设多种证券之间的收益都是相关的。 5、马科维茨的理论中构成组合的资产都是风 险资产，也就是关于风险证券组合的选择。
（二）多种资产组合的有效集
有效组合：给定风险水平下的具有最 高收益的组合或者给定收益水平下具 有最小风险的组合。每一个组合代表 一个点。
可能集中，有一部分投资组合从风 险水平和收益水平这两个角度来评价， 会明显地优于另外一些投资组合，我 们把满足均方准则（同种风险水平最 大预期收益或同种收益水平最小风险） 的资产组合，称之为有效资产组合。
风险偏好程度由无差异曲线的陡峭程 度来反映。无差异曲线越陡峭，投资者越 厌恶风险。
（三）最优组合的确定
图3-6
图3-6中，最优资产组合位于无差异 曲线I2与有效集相切的切点Ｏ处。 蓝色的无差异曲线与有效集相切与G 点。由G点可见，对于更害怕风险的投 资者，他在有效边界上的点具有较低的 风险和收益。
0 .0982
若ρ=-1，wA*和σP*又是多少？
（三）反弓曲线
从股票B到最小方差（MV）组合间有 段“反弓曲线”：组合的预期收益率上 升、标准差却下降——这一令人惊奇的 发现是由于组合的多元化效应。 （增加高风险资产——股票A所占比例， 组合的风险不升反降！）
ρAB≤0，反弓曲线肯定出现；ρAB
➢ 投资者不能获得曲线上方的任意 一点，且预期收益率再高也高不过 股票A的20%。
➢ 投资者也不能（也不愿）获得曲 线下方的任意一点，且预期收益率 再低也不会比股票B的10%低。
曲线的形状——直线或曲线
若组合中的证券的相关系数 ρAB
<1，则其各种可能的组合就将是一条 曲线；
若ρAB = 1，则两种证券的各种可能
10%
方差最
小组合
5%
股票A wA =0.8 wB =0.2
股票B
风险
0%
σp
0%
5%
10%
15%
20%
（一）可能集
上图3－1中的曲线代表一个投资者考 虑投资于由股票A和股票B所构成的各 种可能组合，即面临着投资的“机会 集”或“可能集（feasible set）”。
注意：
投资者可以通过合理地构建这两种证 券的组合（视其个人的风险厌恶程度） 而获得曲线上的任意一点。
六、最优风险资产组合
由于假设投资者是风险厌恶的，因此， 最优投资组合必定位于有效集边界上， 其他非有效的组合可以首先被排除。
虽然投资者都是风险厌恶的，但程 度有所不同，因此，最终从有效边 界上挑选哪一个资产组合，则取决 于投资者的风险规避程度。
度量投资者风险偏好的无差异曲线 与有效边界共同决定了最优的投资 组合。
图3－2 ρAB取不同值的可能集
收益 E(Rp)
20
ρ= -1 ρ= -0.5 ρ= 0
14 10
B
A
ρ= 0.5 ρ= 1
10
15
风险
σp
（二）最小方差组合
由14.3%股票A和85.7%股票B构成 的组合称作最小方差（Minimum Variance, MV）组合——该组合具有 最小的风险。
最小方差组合中各资产的权数计算
（一）最优组合应同时满足
1、位于有效边界上； 2、位于投资者的无差异曲线上； 3、为无差异曲线与有效边界的切点。
（二）无差异曲线
无差异曲线是理性投资者对风险偏好 程度的描述。 同一条无差异曲线, 给投资者所提供 的效用（即满足程度）是无差异的。
无差异曲线向右上方倾斜, 高风险被 其具有的高收益所弥补。 对于每一个投资者,无差异曲线位置 越高，该曲线上对应证券组合给投资 者提供的满意程度越高。
例3-1
单项资产
预期收益率
E(R)
标准差 相关系数
σ
ρAB
股票A
20%
0.15
+0.5
股票B
10%
0.1
组合
1
2
3
4
5
6
wA
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
wB
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
E(RP) 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0%
收益 E(Rp)
wA =0.36 wB =0.13 wC =0.51
wA =0.26 wB =0.69 wC =0.05
图3－4A
wA =0.72 wB =0.21 wC =0.07
风险 σp
一般地，当资产数量增加时，要保 证资产之间两两完全正（负）相关 是不可能的，因此，一般假设其两 种资产之间是不完全相关（一般形 态）。
证券投资过程的四个阶段
1、考虑各种可能的证券组合； 2、计算这些证券组合的收益率、方差； 3、通过比较收益率和方差决定有效组 合； 4、利用无差异曲线与有效边界的切点 确定对最优组合的选择。
（四）资产组合理论的优缺点
1、优点
➢ 首次对风险和收益进行精确的描述，解决 对风险的衡量问题，使投资学从艺术迈向 科学。
第二节 引入无风险证券后的 证券组合选择
马科维茨的理论中，构成组合 的资产都是风险资产——所有构 成有效集的证券都具有风险，也 就是第一节的分析都是关于风险 证券组合的选择。
wk.baidu.com
但在现实中，投资者还有无风险资产 可供选择，并很容易能将一个风险资 产与一个无风险资产构成组合。
第二节我们分析一种风险资产与一种 无风险资产的组合的选择。
收益 E(Rp) V
MV
U
B
图3－5
A
风险 σp
有效集当中仍要做选择
马科维茨的“风险资产组合理论”为 我们回答了“如何进行投资组合”的 问题：要沿“有效边界”构建投资组 合。
但在现实工作中，随着证券种数的 增加，绘制多种资产组合的有效集愈 加困难，例如假设组合中有100种证 券，就需要估计每种证券的预期收益 和标准差，并计算其两两之间的相关
系数近5000对（C1002 = 4,950），
工程量极其浩大。
尽管该理论在上世纪50年代已经提 出，但因为计算落后而限制了其应用 ，直到近年计算机功能的增强才得以 改善。
但是，在一个有效集内选哪个组合 （在有效边界上选哪一点），则完全 取决于投资者个人的风险偏好，要对 风险与收益进行权衡。这已非电脑所 能完成的。
σ P 2 w A 2 σ A 2 w B 2 σ B 2 2 w A w B σ AB
设wA = x, wB = 1-x，则：
P2x2A 21x2B 22x1xAB
A 2B 22AB x22B 2AB xB 2
当wA = x = (σB2 - σAB)/(σA2 +σB22σAB)时，σP2有最小值。 将股票A和股票B的数值代入，计算
可能集与相关系数
当相关系数变化时，组合的收益-风 险曲线随之不同。 相关系数（程度）越低，曲线越弯， 取得同等预期收益所担的风险越小
（当ρAB = -1，弯曲度达到最大——
折断了）。
一对证券之间只存在一个相关系数， 所以现实中一对证券也只存在一个 机会集——亦即只有一条曲（直） 线，其它线只是供参照对比的假设 情形。
整个阴影区都是可能集，但投资者只 会考虑区域上方从MV到A的这段边线， 即图3-5中加粗的曲线段，这就是我们 所谓的“多种资产组合的有效集”， 又称“马科维茨有效边界”。
没有一位投资者愿意选择在有效边 界下方的点（如图3-5中的U），因 为其收益都小于有效集上相对应的 点（V）、却有相同的风险。
σP
0.1 0.098 0.104 0.115 0.131 0.15
前表计算的组合只是两种股票按一 定比例所能构建的无限多个投资组 合中有限的几个。 无限多个投资组合所形成的风险收益集合则形成如图3－1的曲线。
图3－1 股票投资组合的风险-收益集合
收益 E(Rp)
20%
15%
wA =0.6 wB =0.4
组合将是一条直线——直线AB。
曲线总是位于直线的左边——相 同的预期收益率，曲线具有更小的标 准差。也就是说，组合的多元化效应
只存在于曲线；而当ρAB = 1时，不
存在组合多元化效应。
曲线和直线不能同时存在 一个投资者只能在同一条曲线上的 不同的点之间进行选择，而不能在 直线和曲线上的点之间作选择。
3种风险资产的组合二维表示
收益 E(Rp)
1
图3－4B
3 4
2
风险σp
五、多种资产投资组合
收益 E(Rp) V
MV
U
B
图3－5
A
风险 σp
（一）多种资产组合的可能集
当投资者持有超过两种以上的证券时 （现实常常如此），这两种以上的证 券按各种权重所构成的可供选择的组 合同样是无穷的。
不同于两种资产组合的机会集，多种 资产组合的机会集不是线而是面—— 如图3－5中的阴影部分——多种资产 组合的收益和风险的所有可能组合都 将落入该区域内。
二、证券组合的分散原理
为实现收益的最大化和风险的最小化，应 实行投资的分散化。 由于各种证券受风险影响而产生的价格变 动的幅度和方向不尽相同，因此存在通过 分散投资使风险降低的可能。
投资分散化是投资于各种证券，并将 它们组成一个组合。
这一组合的证券种类以及各种证券在 组合中的比重对组合的风险水平也很 重要。
14%
16% σp
（四）有效集Efficient Set
没有投资者愿意持有这样一个组合， 其预期收益率小于最小方差（MV）组 合的预期收益率。
例如，没有人会选择图3-3中的组合 1（5%A+95%B)，预期收益率和标 准差分别为10.5%、0.099。因为最小 方差（MV）组合的预期收益率为 11.43%，标准差为0.0982。