归结法是构造证明法

归结法是构造证明法

归结法是一种常用的构造证明法，它通过逻辑推理和归纳思维，将待

证明的命题转化为一系列子命题，并通过证明这些子命题的真假来推

导出原命题的真假。归结法在数学、逻辑学和人工智能等领域都有广

泛的应用。

一、归结法的基本原理

归结法基于以下两个基本原理：

1. 反证法：假设待证明的命题为假，然后通过逻辑推理得出矛盾，从

而推导出该命题为真。

2. 归纳思维：将待证明的命题分解为一系列子命题，并逐个证明这些

子命题，最终得到原命题的证明。

二、归结法的步骤

归结法通常包括以下步骤：

1. 将待证明的命题转化为合取范式（Conjunctive Normal Form, CNF）或析取范式（Disjunctive Normal Form, DNF）。这样可以将复杂的逻辑表达式转化为简单的合取或析取形式，方便进行后续操作。

2. 对于合取范式，使用反演律将其转化为析取范式；对于析取范式，

使用德摩根定律将其转化为合取范式。这样可以将待证明的命题转化

为一系列子命题的析取或合取形式。

3. 对于每个子命题，进行归结操作。归结操作通过将两个子命题进行

归结，得到一个新的子命题。归结操作的规则包括反演、消解、合一

等。

4. 重复进行归结操作，直到得到一个空子句（empty clause），即一个不包含任何文字的子句。如果能够得到空子句，则原命题为真；如果无法得到空子句，则原命题为假。

三、归结法的应用举例

以下是一个简单的例子来说明归结法的应用：

假设有以下两个前提：

1. 所有人都是动物。

2. 所有猫都是动物。

我们要证明的命题是：所有猫都是人。

将前提转化为合取范式：

1. (¬人(x) ∨ 动物(x))

2. (¬猫(x) ∨ 动物(x))

使用反演律将合取范式转化为析取范式：

1. (¬人(x) ∨ 动物(x))

2. (¬猫(x) ∨ 动物(x))

接下来，我们进行归结操作。根据第1个前提和第2个前提中的第2个子句，我们可以得到一个新的子命题：

3. ¬人(x) ∨ 动物(x)

我们再次进行归结操作。根据第2个前提中的第1个子句和第3个子命题，我们可以得到一个空子句：

4. 动物(x)

由于得到了空子句，我们可以推断出原命题为真：所有猫都是人。

四、归结法的优缺点

归结法作为一种构造证明法具有以下优点：

1. 可自动化：归结法可以通过计算机程序来实现自动化证明，减少人

工推理的复杂性。

2. 适用范围广：归结法不仅适用于数学领域的证明，还适用于逻辑学、人工智能等领域。

3. 简单直观：相对于其他复杂的证明方法，归结法具有简单直观的特点。

然而，归结法也存在一些缺点：

1. 需要转化为合取范式或析取范式：在应用归结法之前，需要将待证

明的命题转化为合取范式或析取范式，这可能会增加一定的复杂性。2. 可能存在无穷逻辑回溯：在某些情况下，归结法可能会陷入无穷逻

辑回溯的情况，导致无法得出结论。

3. 对于复杂问题的效率较低：对于一些复杂的问题，归结法可能需要

大量的计算和推理步骤，导致效率较低。

归结法作为一种常用的构造证明法，在数学、逻辑学和人工智能等领

域都有广泛的应用。通过逻辑推理和归纳思维，将待证明的命题转化

为一系列子命题，并通过证明这些子命题的真假来推导出原命题的真假。虽然归结法具有一定的优点和缺点，但在合适的应用场景下，它

仍然是一种有效且简单直观的证明方法。