[锁相技术]第2章 环路跟踪性能

所引起的误差相位θe(t)的响应,则应研究误差传递函数,
其定义为
H
e
(
s)
e 1
(s) (s)
(2-9)
由图2-2(b)可求得锁相环路的误差传递函数
He(s)
s
s KF (s)
(2-10)
开环传递函数Ho(s)、闭环传递函数H(s)和误差传 递函数He(s)是研究锁相环路同步状态性能最常用的三 个传递函数,三者之间的关系为
图2-1 正弦鉴相特性近似为线性鉴相特性
不会引起明显的误差,θe(t)在±30°之内的误差不大于 5%。因为
ud (t) Ud sine(t)
Kd
dud (t)
de (t)
e 0
Ud
cose (t )
e 0
Ud [V
/ rad ]
用Kdθe(t)取代动态方程(1-28)式中的Udsinθe(t)就得?到 了线性化动态方程
第 2章
第1节 线性相位模型与传递函数 第2节 二阶线性系统的一般性能 第3节 环路对输入暂态信号的响应 第4节 环路对输入正弦相位信号的响应 第5节 环路稳定性 第6节 非线性跟踪
第1节 线性相位模型与传递函数
一、线性相位模型与传递函数的一般形式 锁相环路相位模型的一般形式如图1-13,相应的动 态方程如(1-28)式。因为环路应用了正弦特性的鉴相器, 所以模型与方程都是非线性的。
表 2-2
表 2-3
二、时间响应及其指标
(2-28)式已给出了ζ<1的R-L-C电路,在单位阶跃电 压输入下的输出响应,它是一个衰减振荡。当ζ为不同值 时,输出响应尚有不同的形式。将ζ为不同值时方程(227)
0 1
uo (t) 1
ent sin[
12
1 2nt arctg
12
(2-4)
当研究在锁相环路反馈支路开路状态下,由输入相 位θ1(t)驱动所引起输出相位θ2(t)的响应,则应讨论开环 传递函数Ho(s),其定义为
H
o
(s)=
2 1
(s) (s)
开环
(2-5)
图2-2 锁相环路的线性相位模型
由图2-2(b)可求得锁相环路的开环传递函数
Ho (s)
K
F(s) s
K
Ho (s)
H (s) 1 H(s)
1
s2
s
1
(2-18)
表 2-1
第2节 二阶线性系统的一般性能
一、二阶系统及其描述 二阶系统在电子技术中是最常见的,例如图2-3所示 的R-L-C电路。应用克希霍夫定律,可以建立方程
图2-3 R-L-C电路
L
di(t dt
)
Ri(ห้องสมุดไป่ตู้)
1 C
i(t)dt Ui (t)
以后将会看到,用系统参数ζ、ωn表示传递函数,在 系统设计中会带来不少方便。表2-1所列各种锁相环路 的传递函数是用电路参数τ1、τ2和K表示的。它们同样 也可以用系统参数ζ和ωn表达。当然,要注意的是,各种 环路的系统参数ζ、ωn与电路参数τ1、τ2、K之间的关 系是不同的。它们之间的关系如表2-2所示。
图2-4 二阶系统的输出响应
图2-5 暂态响应的性能指标
图2-3R-L-C电路的暂态过程指标,可从其输出响应 uo(t)的表达式(2-28)直接求得。
令
uo (tr ) 1
arctg(
12
)
tr
n 1 2
duo (t) dt
ttp
0
tp n
12
uo () 1
M p uo (tp ) 1 e( / 1 2 )
(2-34)
(2-35) (2-36)
暂态时间的长短取决于这个时间常数。当0<ζ<0 9时,在±2%的允许范围之内,暂态时间近似为
ts
4
4
a
若在±5％允许误差之内
(2-37)
ts
3
3
a
(2-38)
图2-6 Mp与ζ的关系曲线
三、频率响应
1 uo (t) 1 ent (1 nt)
(2-32)
1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
uo (t) 1 2
2 1(
2 1) 2
2 1(
2
1)
据此可作出二阶系统的输出响应曲线,如图2-4。
由图可见,当0<ζ<1时的响应为衰减振荡,系统称为 欠阻尼系统。这种系统响应的暂态过程,在稳定值的上 下振荡,振荡的频率ωd比ωn小。
(2-6)
当研究锁相环路闭环状态下,由输入相位θ1(t)驱动
所引起的输出相位θ2(t)的响应,则应讨论闭环传递函数,
其定义为
H (s) 2(s)
(2-7)
1(s)
由图2-2(b)可知,锁相环路的闭环传递函数
H (s) KF (s) s KF (s)
(2-8)
当研究锁相环路闭环状态下,由输入相位θ1(t)驱动
pθe(t)=pθ1(t)-K0KdF(p)θd(t)
(2-1)
再令环路增益
K=K0Kd 则方程为
(2-2)
pθe(t)=pθ1(t)-KF(p)θe(t)
(2-3)
相应的线性相位模型如图2-2(a)。
上述方程与模型都是时域表达形式。不难导出其
复频域的表达形式,动态方程为
sθe(s)=sθ1(s)-KF(s)θe(s)
H (s) Ho(s) 1 Ho(s)
H
e
(
s
)
1
1 Ho
(
s)
He(s) 1 H (s)
(2-11)
(2-12) (2-13)
二、二阶锁相环路的线性动态方程与传递函数
本章研究二阶锁相环路所用的环路滤波器均为一 阶滤波器。将具体滤波器的传递函数F(s)代入动态方程 (2-4) 式 , 就 可 以 得 到 该 锁 相 环 路 的 动 态 方 程 。 同 样 , 将 F(s)代入(2-6)、(2-8)和(2-10)式即可得到相应的传递函 数。现分别就采用三种常用滤波器的情况进行讨论。
当采用RC积分滤波器作为环路滤波器时,据(1-18) 式,它的传递函数为
F(s) 1
1 s1
(2-14)
s22 (s)
1
1
se
(s)
K
1
e(s)
s21(s)
1
1
s1(s)
(2-15)
s2 s
H
e
(s)
e(s) 1(s)
s2
s
1
K
1 1
(2-16)
K
H (s)
1
He(s)
s2
1
s
K
1 1
(2-17)
1 C
i(t)dt Uo (t)
(2-19) (2-20)
LsI (s) RI (s) 1 C
1 s
I
(s)
Ui
(s)
1 C
1 s
I
(
s)
Uo
(
s)
LCs2 (s) RCUo (s) Uo (s) Ui (s)
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) DT
uo
(t)
ui
(t)
(2-21) (2-22) (2-23) (2-24)