王福临数学实验作业(函数迭代)

重庆大学

学生实验报告

实验课程名称数学实验

开课实验室DS1401

学院计算机学院年级大二专业计科六班学生姓名王福临学号20115394

开课时间至学年第学期

数理学院制

开课学院、实验室： DS1401 实验时间 ： 2013 年 4月 13 日

实验目的

（1）理解迭代的基本概念；

（2）掌握迭代数列的系列图形表示方法；

（3）以一类特殊二次函数（Logistic 函数）为例，掌握二次函数迭代序列的收敛性分析方法； （4）熟悉编写函数迭代的MATLAB 程序； （5）了解二元函数迭代方法及其图形特征

基础实验

一、实验内容

1、迭代以下函数，分析其收敛性。任选一个完成。

使用线性联结图、蛛网图或费根鲍姆图对参数a 进行讨论与观察，会得到什么结论？

2.生物种群的数量问题

种群的数量（为方便起见以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。记xk(t)为 第t 年初k 岁（指满k-1岁，未满k 岁，下同）的种群数量，bk 为k 岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），dk 为k 岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例），hk 为k 岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。

A. 建立xk(t+1)与xk(t)的关系（k=1,2,...5, t=0,1,...），.如

为简单起见，繁殖量都按年初的种群数量xk(t)计算，不考虑死亡率。

B. 用向量 表示t 年初的种群数量，用bk 和dk 定义适当的矩阵L ，用hk 定义适当的向量h ，将上述关系表成 的形式。

2

41)()();

2)()sin();

[0,1]

3)();f x a x a f x a x a f x x a π=--=∈=-1

1112)()()1(h t x d t x t x --=+T t x t x t x ))

(),(()(51 =h

t Lx t x -=+)()1(

由上图可知：a=0.1,x0=0.5，a=0.3,x0=0.5和a=0.5，x0=0.5时，函数迭代收敛，a=0.8,x0=0.5时函数迭代不收敛。

(2)蛛网模型解法：

a=0.5;

ezplot('x^4-0.5',[-0.6,-0.2]),hold on

ezplot('x',[-0.6,-0.2]);

x1=[];x1(1)=0.2;

for i=2:50

x1(i)=x1(i-1)^4-a;

plot([x1(i-1),x1(i-1)],[x1(i-1),x1(i)]);

plot([x1(i-1),x1(i)],[x1(i),x1(i)]);

end

由上图可知，函数a=0.5,x0=0.2时，函数迭代收敛

(3) 费根鲍姆图解法：

iter.m：

function root=iter(x0,a)

x(1)=x0;

for i=2:100

x(i)=a*sin(pi*x(i-1));

end

root=x;

died.m

clf;

x=[]; x0=0.2;

hold on;

for a=0:0.01:1

root=iter(x0,a);

plot(a.*ones(size(root(51:100))),root(51:100),'.') end

>> xlabel('parameter a');

>> ylabel('迭代序列（51-100）');

由上图可知：x0=0.2时函数迭代不收敛

2、生物种群的数量问题

种群的数量（为方便起见以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。记x k (t )为第t 年初k 岁（指满k-1岁，未满k 岁，下同）的种群数量，b k 为k 岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），d k 为k 岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例），h k 为k 岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b 1=b 2=b 5=0，b 3=2，b 4=4，d 1=d 2=0.3，d 3=d 4=0.2，h 1=400，h 2=200，h 3=150，h 4=100。

A.建立x k (t+1)与x k (t )的关系（k=1,2,⋯5, t=0,1,⋯），

如 为简单起见，繁殖量都按年初的种群数量x k (t )计算，不考虑死亡率。

B. 用向量 T t x t x t x ))(),(()(51 =表示t 年初的种群数量，用b k 和d k 定义适当的矩阵L ，

用h k 定义适当的向量h ，将上述关系表成

的形式。 11112)()()1(h t x d t x t x --=+h t Lx t x -=+)()1(