2-28 -微分方程及其解几何意义、分离变量方法

1.2 微分方程基本概念及其几何解释

[教学内容] 1. 介绍微分方程及其解的概念、方程分类; 2.介绍一阶微分方程及其解的几何解释; 3. 引入变量分离方法求解一阶微分方程; 4. 介绍积分常数由来引入微分方程定解条件--初值条件和边值条件.

[教学重难点] 重点是知道微分方程分类和定解条件，难点是如何从几何角度来理解一阶微分方程及其解.

[教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标]

1. 会分清常微分方程和偏微分方程、能认清线性微分方程和非线性微分方程、能知道微分方程的阶数;

2. 会用分离变量方法求解一阶微分方程通解及其初值问题;

3. 知道函数相关性和函数无关性，并会用Jacobi 矩阵来判别;

4. 会用方向场和等倾线方法来描述微分方程解的性质.

1. 认识微分方程及其类型

)dx

dy sin(dx dy x y (5) 1,y dx dy (4) ,e y (sin x )dx dy (3) y,dx dy (2) 2x ,dx dy

)1(2x +⋅=+=+⋅=== 0,x dt x d 2dt x d (9) 0,y dt dy t dt dy (8) ,1t y t 11dt dy t 1t dt y d (7)22443

22=++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---+

u y

u βx u α (13) 0,z u y u x u (12) 0,xz yz (11) 0,y u βx u α (10)2222222y x =+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=-=∂∂+∂∂

(1) 方程：是含有 ”未知” 的等式，象532=+虽是等式但不是方程. 若未知的是一个数，

那就是代数方程；若未知的是一个函数，那就是函数方程. 上面13个等式都是方程，未知的都是函数，因此上面13表达式都是函数方程.

(2) 常(偏)微分方程：函数方程中未知的是一元函数且含有其导函数，则称其为常微分方程（如上例(1)-(9)）；若函数方程未知的是多元函数且含有偏导数，则称为偏微分方程.(如上例(10)-(12))

(3) 线性(非线性)微分方程：若方程中出现的未知函数及其导函数或偏导函数都是一次的，则称其为线性微分方程，这里分类不管方程中自变量以何种函数形式出现。(1)-(3)、(7)、(9)、(10)-(12)都是线性的；(4)-(5)、(8)、（13）不是，出现未知函数2

y 和'y sin .

(4) 方程的阶数：微分方程中出现的未知函数导函数或偏导函数最高阶数称之为方程的阶数. 例如(1)-(5)、(8)、(10)、(13)都是一阶微分方程；(7)、(12)是二阶微分方程；(9)是四阶微分方程.

练习 9. 教材P26 习题 1.

2. 微分方程的解与定解条件

考察落体问题，以铅直向上的方向建立直线坐标系，设落体在t 时刻位置为x ，则由牛顿第

二定律知，g x

-= ，其中g 为重力加速度，负号是由于力方向和x 轴正向相反，22dt

x d x = . 考察函数1t t 2

g

ψ(t) x ,t 2g φ(t)x 22+--==-

==，将上述两个函数代入方程g x -=

，易见：左端 = 右端. 于是我们称ψ(t)φ(t),为方程的两个解. 一般地，考察微分方程

y)f(x,dx

dy

=. 若已知函数(x )ϕ=y 代入上述方程使得微分方程等式成立，则称(x)ϕ为微分方程的一个解.

练习10. 教材P27 习题 2.（5）、(6)； 习题3. (2)、(6).

改写方程为微分形式

1c t g dt

dx

,gdt -)dt dx d( gdt, -)dt dx d( g, )dt dx (dt d +-===-=⎰⎰， 21211c t c /2 t g x ,dt )c t g (dx dt, )c t g (dx ++-=+-=+-=⎰⎰，

其中21c ,c 为积分常数. 这里大家很快发现：微分方程g x

-= 解不唯一，有无穷多个. 这里原因是确定解的条件不足. 解释如下：(1) 在时刻t=0，假设落体位置x(0)=10, 落体速度是0(0)x '=，则从10米处自由下落，规律如下10/2 t g (t)x 2

1+-=；

(2) 在时刻t=0，假设落体位置x(0)=20, 落体速度是0(0)x '=，则从20米处自由下落，规律如下02/2 t g (t)x 2

2+-=；

(3) 在时刻t=0，假设落体位置x(0)=10, 落体速度是01(0)x '=，则从10米处先上抛再自由下落，规律如下10 t 10/2 t g (t)x 2

3++-=；

(4) 在时刻t=0，假设落体位置x(0)=10, 落体速度是01(0)x '-=，则从10米处先下抛后下落，规律如下10 t 10/2 t g (t)x 2

4+--=.

(5) 经观察在时刻t=0，落体位置x(0)=10, 在时刻t=2，落体位置为x(2)=20，则先上抛再下

落，规律如下 10 t 20/2 t g (t)x 25++-=，这里取g=102

m/s .

在上述5中情形下方程的解都是确定的，其中(1)-(4)是给出了初始时刻的位置和速度，也就是给出某个时刻的未知函数及其一阶导数的值，这组条件就称之为初值条件；(5)中给出了两个不同时刻的位置，也就是给出了x(0)和x(2)的值，这组条件称之为边值条件. 一般地，我们称含有两个独立任意常数21c ,c 的解为212

c t c /2 t g x ++-=为二阶方程

g x

-= 通解，称在给定初值条件或边值条件下的解为方程的特解, 初值条件和边值条件统