数学非线性方程求解
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❖ 计算中通过对分区间，逐步缩小区间范围的步骤 搜索零点的位置。
❖ 如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实 存在实根，但又不满足f(a) f(b)<0，这时，我们必须
通过改变a和b的值来满足二分法的应用条件。
2.2.2 对分法求根算法
计算f (x) =0的一般计算步骤如下：
1、输入求根区间[a,b]和误差控制量ε，定义函 数f(x)。 2、判断: 如果f(a)f(b)<0则转下，否则，重新输 入a 和 b的值。 3、计算中点 x=(a+b)/2以及f(x)的值
GoTo 100 Else
Print "please repeat input x1 and x2"
GoTo 80 End If 100 x = (x1 + x2) / 2 y = f(x) If Abs(y) <= 0.001 Then
Print "the function root is "; x Print "y="; y
2.2.2 对分法求根算法
分情况处理
（1）|f(x)|<ε：停止计算 x*= x，转向步骤4 （2）f(a)f(x)<0：修正区间[a,x]→[a,b]，重复3 （3）f(x)f(b)<0：修正区间[x,b]→[a,b]，重复3
4、输出近似根 x*。 右图给出对分法的示意图。
x3 = (x0+ x2) / 2
❖ 而对于具体的化工问题，初值和求解范 围常常可根据具体的化工知识来决定。
2.1 化工实际问题的提出
❖常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷 诺数低于4000时有以下关系式：
1
0.5
1.74
2
lg
2
di
i
18.7
Re
0.5
2.1 化工实际问题的提出
这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经 常碰到。
2.1 化工实际问题的提出
❖对于这个问题的求解，可利用我们下面介绍的 牛顿迭代法进行计算，也可利用其他迭代公式进 行计算，如采用牛顿迭代公式，则可以得到如下 的具体迭代公式：
m zi (1 ki )
an1 an
i 1 m
ki an zi (1 ki )
i1 (ki an )
（2-4）
2.1 化工实际问题的提出
须解决的一个问题。
☺与线性方程相比，非线性方程问题无论是从
理论上还是从计算公式上，都要比线性方程复 杂的多
对于一般的非线性f(x)=0，计算方程的根既
无一定章程可循也无直接方法可言。
2.1 化工实际问题的提出
例如，求解高次方程组7x6-x3+x-1.5 = 0的根，
求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-sin(x) = 0的零点。
p
A
B T
C
lnT
Dp T2
（2-5）
☺因为公式（2-5）两边都有未知变量，并且无法用解 析的方法求解，必须用数值计算的方法求解。
☺ 通过上面的一些例子，我们可以发现，如果没有适 当的手段和办法来求解非线性方程，那么化学化工中 的许多研究、设计等工作将无法展开，这势必影响化 学化工的发展，下面我们将介绍一些实用的非线性方 程求解方法，并提供计算机程序。
❖ 饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然 我们可以通过实验测量来获取饱和蒸气压的数 据。
❖ 我们通常利用前人已经测量得到的数据或回 归的公式来获取，这可以减轻我们大量的基础 实验工作。
❖公式（2-5）是一种常用的饱和蒸气压计算公 式：
ln
p
A
B T
C
Βιβλιοθήκη Baidu
ln T
Dp T2
2.1 化工实际问题的提出
ln
x0
x3
x2
x1
x2= (x0+ x1)/2
2.2.3 对分法VB程序清单
Private Sub Command1_Click() Dim x1, x2, x, y1, y2, y, eer 80 x1 = InputBox("x1") x2 = InputBox("x2") y1 = f(x1) y2 = f(x2) If y1 * y2 < 0 Then
解非线性方程或非线性方程组也是计算方法
中的一个主题。
一般地，我们用符号f(x)来表示方程左端的函
数，方程的一般形式表示为f(x)= 0，方程的 解称为方程的根或函数的零点。
2.1 化工实际问题的提出
❖ 通常，非线性方程的根不止一个，而任 何一种方法只能算出一个根。
❖ 因此，在求解非线性方程时，要给定初 始值或求解范围。
❖当我们已知雷诺数Re，如何根据公式（2-1）求出摩擦 系数λ，这是我们在管路设计中必须首先解决的问题。
❖ 对于方程（2-1）而言，无法用解析的方法求出摩擦系 数，只能用数值求解的方法。如用在下面即将介绍的松 弛迭代法，假设：
x
1
0.5
,
2εi di
0.1, Re 3800,
x0 0, 0.5
第2章 非线性方程求解
2.1 化工实际问题的提出 2.2 实根的对分法 2.3 直接迭代法 2.4 松弛迭代法 2.5 韦格斯坦法 2.6 牛顿迭代法 2.7 割线法 2.8 非线性方程组的牛顿方法 2.9 化工生产中非线性方程组求解应用实例
2.1 化工实际问题的提出
☺求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必
n
i 1
zi (1 ki )
ki
0
2.1 化工实际问题的提出
n
i 1
zi (1 ki
ki
)
0
（2-3 ）
❖ 在方程（2-3）中只有α是未知数，ki为相平衡常 数，zi为进料组分的摩尔浓度，均为已知数。 ❖ 方程（2-3）也无法直接解析求解，必须利用数 值的方法。
❖ 借助于计算机方可精确的计算。
2.2 实根的对分法
❖ 2.2.1 使用对分法的条件 ❖ 2.2.2 对分法求根算法 ❖ 2.2.3 对分法VB程序清单
2.2.1 使用对分法的条件
❖ 对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观 的方法。
❖ 设函数 f(x) 在[a, b]上连续，且 f(a) f(b)<0，则f(x) 在[a, b]上至少有一零点，这是微积分中的介值定理， 也是使用对分法的前提条件。
则利用松弛迭代公式可得：
x( k 1)
0.5 x( k )
0.5 (1.74
2lg
0.1
18.7 5000
xk
,k
1,
2,L
L
L
2.1 化工实际问题的提出
经11次迭代可得摩擦系数为0.07593。
❖同样，在n个组分的等温闪蒸计算中，通过 物料和相平衡计算，我们可得到如下非线性 方程（2-3 ） ：
❖ 如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实 存在实根，但又不满足f(a) f(b)<0，这时，我们必须
通过改变a和b的值来满足二分法的应用条件。
2.2.2 对分法求根算法
计算f (x) =0的一般计算步骤如下：
1、输入求根区间[a,b]和误差控制量ε，定义函 数f(x)。 2、判断: 如果f(a)f(b)<0则转下，否则，重新输 入a 和 b的值。 3、计算中点 x=(a+b)/2以及f(x)的值
GoTo 100 Else
Print "please repeat input x1 and x2"
GoTo 80 End If 100 x = (x1 + x2) / 2 y = f(x) If Abs(y) <= 0.001 Then
Print "the function root is "; x Print "y="; y
2.2.2 对分法求根算法
分情况处理
（1）|f(x)|<ε：停止计算 x*= x，转向步骤4 （2）f(a)f(x)<0：修正区间[a,x]→[a,b]，重复3 （3）f(x)f(b)<0：修正区间[x,b]→[a,b]，重复3
4、输出近似根 x*。 右图给出对分法的示意图。
x3 = (x0+ x2) / 2
❖ 而对于具体的化工问题，初值和求解范 围常常可根据具体的化工知识来决定。
2.1 化工实际问题的提出
❖常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷 诺数低于4000时有以下关系式：
1
0.5
1.74
2
lg
2
di
i
18.7
Re
0.5
2.1 化工实际问题的提出
这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经 常碰到。
2.1 化工实际问题的提出
❖对于这个问题的求解，可利用我们下面介绍的 牛顿迭代法进行计算，也可利用其他迭代公式进 行计算，如采用牛顿迭代公式，则可以得到如下 的具体迭代公式：
m zi (1 ki )
an1 an
i 1 m
ki an zi (1 ki )
i1 (ki an )
（2-4）
2.1 化工实际问题的提出
须解决的一个问题。
☺与线性方程相比，非线性方程问题无论是从
理论上还是从计算公式上，都要比线性方程复 杂的多
对于一般的非线性f(x)=0，计算方程的根既
无一定章程可循也无直接方法可言。
2.1 化工实际问题的提出
例如，求解高次方程组7x6-x3+x-1.5 = 0的根，
求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-sin(x) = 0的零点。
p
A
B T
C
lnT
Dp T2
（2-5）
☺因为公式（2-5）两边都有未知变量，并且无法用解 析的方法求解，必须用数值计算的方法求解。
☺ 通过上面的一些例子，我们可以发现，如果没有适 当的手段和办法来求解非线性方程，那么化学化工中 的许多研究、设计等工作将无法展开，这势必影响化 学化工的发展，下面我们将介绍一些实用的非线性方 程求解方法，并提供计算机程序。
❖ 饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然 我们可以通过实验测量来获取饱和蒸气压的数 据。
❖ 我们通常利用前人已经测量得到的数据或回 归的公式来获取，这可以减轻我们大量的基础 实验工作。
❖公式（2-5）是一种常用的饱和蒸气压计算公 式：
ln
p
A
B T
C
Βιβλιοθήκη Baidu
ln T
Dp T2
2.1 化工实际问题的提出
ln
x0
x3
x2
x1
x2= (x0+ x1)/2
2.2.3 对分法VB程序清单
Private Sub Command1_Click() Dim x1, x2, x, y1, y2, y, eer 80 x1 = InputBox("x1") x2 = InputBox("x2") y1 = f(x1) y2 = f(x2) If y1 * y2 < 0 Then
解非线性方程或非线性方程组也是计算方法
中的一个主题。
一般地，我们用符号f(x)来表示方程左端的函
数，方程的一般形式表示为f(x)= 0，方程的 解称为方程的根或函数的零点。
2.1 化工实际问题的提出
❖ 通常，非线性方程的根不止一个，而任 何一种方法只能算出一个根。
❖ 因此，在求解非线性方程时，要给定初 始值或求解范围。
❖当我们已知雷诺数Re，如何根据公式（2-1）求出摩擦 系数λ，这是我们在管路设计中必须首先解决的问题。
❖ 对于方程（2-1）而言，无法用解析的方法求出摩擦系 数，只能用数值求解的方法。如用在下面即将介绍的松 弛迭代法，假设：
x
1
0.5
,
2εi di
0.1, Re 3800,
x0 0, 0.5
第2章 非线性方程求解
2.1 化工实际问题的提出 2.2 实根的对分法 2.3 直接迭代法 2.4 松弛迭代法 2.5 韦格斯坦法 2.6 牛顿迭代法 2.7 割线法 2.8 非线性方程组的牛顿方法 2.9 化工生产中非线性方程组求解应用实例
2.1 化工实际问题的提出
☺求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必
n
i 1
zi (1 ki )
ki
0
2.1 化工实际问题的提出
n
i 1
zi (1 ki
ki
)
0
（2-3 ）
❖ 在方程（2-3）中只有α是未知数，ki为相平衡常 数，zi为进料组分的摩尔浓度，均为已知数。 ❖ 方程（2-3）也无法直接解析求解，必须利用数 值的方法。
❖ 借助于计算机方可精确的计算。
2.2 实根的对分法
❖ 2.2.1 使用对分法的条件 ❖ 2.2.2 对分法求根算法 ❖ 2.2.3 对分法VB程序清单
2.2.1 使用对分法的条件
❖ 对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观 的方法。
❖ 设函数 f(x) 在[a, b]上连续，且 f(a) f(b)<0，则f(x) 在[a, b]上至少有一零点，这是微积分中的介值定理， 也是使用对分法的前提条件。
则利用松弛迭代公式可得：
x( k 1)
0.5 x( k )
0.5 (1.74
2lg
0.1
18.7 5000
xk
,k
1,
2,L
L
L
2.1 化工实际问题的提出
经11次迭代可得摩擦系数为0.07593。
❖同样，在n个组分的等温闪蒸计算中，通过 物料和相平衡计算，我们可得到如下非线性 方程（2-3 ） ：